Тема: Показательные неравенства

Поурочные планы по математике в 10 классе
На базе учебников : Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М.В.,
Шабунин М. И. «Алгебра и начала математического анализа 10».
Профильный уровень. – М.: Мнемозина, 2006.» Учебник рекомендован
Министерством образования и науки Российской Федерации.
«Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений
/ Атанасян Л.С.,. Бутузов В.Ф и др. – М.: Просвещение, 2007.»
Тема: ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Цели урока: Знать определение показательной функции, три основных свойства показательной
функции, формировать умение строить графики показательных функций
, если
или
; развить умение читать графики функций, выделяя их свойства.
Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций,
прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям.
Л. Эйлер.
L Организационный момент.
П. Анализ контрольной работы и работа над ошибками. При проверке контрольной работы учитель
делает ее анализ, отмечая все ошибки и недочеты, допущенные учащимися. Определяет наиболее часто
встречающиеся ошибки. В соответствии с этим выстраивает работу над ошибками: подготавливает
карточки с аналогичными заданиями для индивидуальной работы, тест для фронтальной работы (по
наиболее типичным ошибкам). Например, учащиеся испытывали затруднения с преобразованием
графиков.
ТЕСТ
1. С помощью каких пребразований получается график функции у = f^x) из графика функции у = g(x),
если
д) f(x) = 2g(x)
ж) f(x) = g(4x)
з) f(x) = g(x/2)
a) f(x) = g(x) +3
б)f(x) = g(x)-2
е) f(x) = g(x)/ 3
в)f(x) = g(x+l)
r)f(x) = g(x-5)
Ответ: параллельный перенос вдоль:
а)
оси Оу вверх на 3 единицы;
б)
оси Оу вниз на 2 единицы;
в)
оси Ох влево на 1 единицу;
г)
оси Ох вправо на 5 единиц;
д) растяжение вдоль оси Оу в 2 раза;
е) сжатие вдоль оси Оу в 3 раза;
ж) сжатие вдоль оси Ох в 4 раза;
з) растяжение вдоль оси Ох в 2 раза.
2. Укажите, какой функции: а) у = (х - 2) 2 ; б) у = х 2 - 2;
в) у = (х + 2)2; г) у = (х - З)2 + 1; д) у = -х2 + 1; е) у = 4 - (х - З)2
соответствует график:
])
2)
3)
3
-2
'3
Объясните почему. О т в е т: 1) - а); 2) - д); 3) - в); 4) - г); 5) - б); 6) - е).
К работе над ошибками нужно привлекать консультантов из | числа успевающих учеников.
III. Изучение нового материала.
1. Сравните формулы двух функций: у = х2 и у = 2х.
Первая - степенная, вторая - показательная. Подумайте, почему они так называются. Постройте их
графики (показательную по точкам).
Попробуйте построить графики функции у = аx,если а = 3; 1/2; 1; -2. Сделайте вывод.
2. Функция вида у = аx, где а > 0, а ≠ 1, называется показательной функцией. Она обладает
следующими свойствами:
1) Область определения - множество R всех действительных чисел.
2) Область значений - множество всех положительных чисел.
3)Если а> 1, то показательная функция возрастает, если 0<а< 1, то убывает.
График показательной функции проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох.
3.№121-на доске по желанию.
Ответ: 1) 1,7; 2) 2,1; 3)0,6; 4)0,2.
№ 122(3,4)-за доской.
№124-устно.
Ответ: 1) 1.73 > 1; 2) 0,32 < 1; 3) 3,21,5 < 3,21,6; 4) 0,2 -3> 0,2-2,
IV. Домашнее задание: № 122 (1, 2), № 125.
V. Итог урока. Приведите пример показательной функции. Является ли функция у = (-2)"
показательной? Почему?
Математика 10
урок №____
дата_________________________
Тема: Показательная функция, ее свойства и график
Цели урока: закрепить навыки решения заданий на применение свойств показательных
функций; формировать умение решать уравнения вида:
и неравенства вида
,
развивающие: развивать навыки самоконтроля, взаимоконтроля, умения сравнивать,
анализировать.
воспитательные: воспитывать умения работать в паре, воспитывать культуру общения.
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
Проверка домашнего задания.
Учитель разбирает решение домашней работы, задавая вопросы по вариантам, только с теми,
кто справился с домашней работой.
Вариант 1
Вариант 2
1. Опишите график функции, сравнивая с
или
122(1)
№122 (2)
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на промежутках:
,
125
3. Назовите возрастающие функции
Работа по карточкам.
,
3. Назовите убывающие функции
Во время проверки домашней работы, учащиеся, не решавшие ее, работают по карточкам.
Карточка 1
Карточка 2
1. Дана функция
. Найдите
наибольшее и наименьшее значения
1. Дана функция
.
Найдите наибольшее и наименьшее
функции на отрезке
.
2. Найдите значение аргумента x, при
значения функции на отрезке
.
2. Найдите значение аргумента x, при
котором функция
котором функция
значение, равное
принимает
значение, равное
.
Карточка 3
принимает
.
Карточка 4
1. Дана функция
. На каком
отрезке данная функция принимает
наибольшее значение, равное 25,
наименьшее значение, равное 1?
1. Дана функция
. На каком
отрезке данная функция принимает
наибольшее значение, равное 17,
наименьшее значение, равное3?
2. Сравните числа
2. Сравните числа
и
Карточка 6
и 1.
Карточка 5
1. Дана функция
. Найдите
координаты точки пересечения графика
данной функции с графиком функции
.
2. Исследуйте на монотонность функцию
.
1. Дана функция
.
Найдите координаты точки пересечения
графика данной функции с графиком
функции
.
2. Исследуйте на монотонность функцию
.
Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала (стр. 43 -48):
1. Решение уравнений вида:
.
2. Решить уравнения:
,
,
,
3. Решение неравенств вида:
и
.
4. Решить неравенства:
,
,
,
5. Решить уравнение и неравенства:
,
Закрепление нового материала.
Решить задания из №127(1) - учитель с классом,
.
.
.
,
.
№127(3) – на доске по желанию
№ 128 – устно, № 130(1) – учитель с классом,
№ 130(2, 3, 4) – самостоятельно по вариантам,
№ 135 – устно,
№134(1, 3) –на доске по желанию,
№ 136(1) – учитель показывает на доске решение: у = 2|𝑥|
№ 136(2, 3, 4) – работа в группах.
№ 138 – учитель с классом
Подведение итогов.
Домашнее задание: №127(2, 4); №134(2, 4); №137. теория в учебнике стр. 43-48.
Математика 10
урок №______
дата_________________________
Тема: Показательные неравенства
Цели урока: ввести понятие показательное неравенство; формировать умение решать
показательные неравенства;
содействовать развитию логического мышления у учащихся, развивать умения анализировать,
рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;
воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к
преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
Математический диктант.
Вариант 1
Вариант 2
Решите неравенства
1) 2х = 4;
1
1) 2х = 8;
2) 2х = ;
1 х
2
3) 3х = 81;
4) (5) =
5) 32х-4 =27;
6) . (3)
1
1 х
2) 2х =
1
;
16
1
3) (3) = 27;
4) 0,2х = 0,04;
5) 54х+1 = 125; 6) 0,13х-9 = 0,001.
;
125
2 2х−1 4
=9
Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала - §8 (стр. 52-53): (презентация)
1. Показательное неравенство – это неравенство, содержащее неизвестное в показателе
степени.
2. Решение неравенств:
а). Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > ав
(ах < ав ); если а>1, то функция у = ах возрастает, и х>в (х < в);
Если 0< а < 1, то функция убывающая, и х < в (х > в)
или
.
б). Некоторые показательные неравенства заменой ах = t сводятся к квадратным
неравенствам, которые решают, учитывая, что t > 0.
в) Графическое решение неравенства сводится к построению графиков функций из левой
и правой частей неравенства. На интервале I большие (меньшие) значения принимает та
функция, график которой расположен выше (ниже) графика другой функции.
3. Решить неравенства:
Закрепление нового материала.
5). Решить №156(1, 3)- на доске,
№ 157 – работа в группах;
№158(1) – учитель с классом,
;
;
.
№ 158(3) – на доске по желанию;
№ 158(2, 4) – самостоятельно по вариантам;
№ 166(1) – учитель показывает на доске решение;
№ 166(2,3,4) работа в группах
Домашнее задание: № 156(2, 4); 179(2, 4), тренажер №4
При изучении этой темы раздела «Показательная и логарифмическая функции», собирайте
исторический материал, иллюстрации и интересные задачи по этой теме, которые вы можете в
дальнейшем использовать на зачете.
Объясните алгоритм решения показательного неравенства. На что нужно обращать
особое внимание?
Итог урока.
Математика 10
урок №______
дата_________________________
Тема: Показательные неравенства
Цели урока: раскрыть содержание понятий «показательные неравенства» и «неравенства,
сводящиеся к этому виду»; ознакомиться с основными приемами и методами решения
неравенств этого вида; отработать навыки решения показательных неравенств основными
методами.
Ход урока:
Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
Математический диктант.
Вариант 1
Вариант 2
Решите неравенства
1)
;
2)
3)
;
;
4)
1)
;
5)
Решение заданий по теме.
1.
14 х
2
х
 196;
14 х
2
х
 14 2 ;
;
3)
;
5)
.
2)
4)
;
;
Так как a=14>1, то функция у=14t- возрастающая, то
х2+х ≤ 2;
х2+х-2≤ 0;
Пусть f(x)=x2+x-2 – квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви направлены
вверх, т.к. a=1>0. Найдем нули функции:
х2+х-2 = 0;
по теореме обратной теореме Виета имеем
х1+х2=-1,
х1∙х2=-2;
-2
х1= -2, х2=1.
Ответ: -2 ≤ х ≤ 1.
2).
1
х
8
а )3 2 х 1  3 2 х 3  ;
3
1 1  8
32 x     ;
 3 27  3
8 8
32 x 
 ;
27 3
8 8
32 x  : ;
3 27
2x
3  9;
Так как a=3>1, то функция у=3t – возрастающая, то
2х<2;
x<1.
Ответ: х<1.
б) 0,36х-1- 0,36х≥ 0,7;
0,36х(0,3-1-1)≥0,7;
7
0,36 х    0,7;
3
7 7
0,36 х  : ;
10 3
6х
0,3  0,3;
Так как 0< a=0,3<1, то функция у=0,3t- убывающая, то
6х ≤ 1;
х
1
.
6
1
Ответ: х  .
6
3).
32х+1-10∙3х+3<0;
3∙32х-10∙3х+3< 0;
Пусть 3х= z, z>0;
3z2-10z+3<0;
Пусть f(x)=3z2-10z+3 – квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви
направлены вверх, т.к.a=3>0. Найдем нули функции:
3z2-10z+3=0;
D=100-4∙3∙3=64>0;
1
z1=3, z2= .
3
1/3
3
x
1
 z  3;
3
3-1<3х<3;
Так как a=3>1, то функция у=3t- возрастающая, то -1< х < 1.
Ответ: -1 < x < 1.
4).
5х ≤ - х + 6; Решим неравенство графически. у= 5х – показательная функция,
х
-1
0 1 2
у
0,2 1 5 25
у= - х + 6 – линейная функция, графиком является прямая.
х
0 1
у
6 5
Ответ: х ≥ 1.
Проверочная работа.
Уровень
Решить неравенство:
1)
2)
Вариант 1
Уровень
Решить уравнение:
;
1)
2)
;
3)
.
1)
2)
;
3)
.
Вариант 3
Уровень
Решить неравенство:
;
2)
Уровень
Решить уравнение:
3)
.
Уровень
Решить уравнение:
;
2)
;
3)
.
Подведение итогов.
Уровень
Решить систему
;
2)
3)
.
Вариант 4
Уровень
Решить неравенство:
Уровень
Решить систему
;
;
1)
;
1)
.
1)
2)
;
1)
;
3)
Вариант 2
Уровень
Решить неравенство:
Уровень
Решить систему
;
3)
.
Уровень
Решить уравнение:
1)
2)
Уровень
Решить систему
;
;
3)
.
Домашнее задание: №189(2, 4); 190 (2); теория в учебнике стр. 51-53.
Математика 10 класс



I.
II.
урок №____
дата____________________
Тема: Системы показательных уравнений.
Цели урока: повторить алгоритм решения систем уравнений способом подстановки,
способом сложения; научить решать системы показательных уравнений;
Развитие логического мышления, зрительной памяти, математически грамотной речи,
сознательного восприятия материала.
Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.
Ход урока.
Организационный момент.
Повторение и закрепление знаний.
Учащиеся работают по карточкам.
Карточка № 1.
1. Изобразите схематически график функции у = 4х, опишите ее свойства.
2.
1 2
1 7
Сравните числа: а) 1,73 и 1,75; б) (3) и (3) ; в)5−0,5 и 5−3,2.
3. Решите уравнение: а) 3х-2 = 3; б) 3х-2 + 3х+1 =28; в) 9х - 6∙ 3х – 27 = 0.
4.
Карточка № 2.
1
1. Решите уравнение: а) 0,5х = ; б) 25∙ 5х = 1; в) 4х = 9х.
2
2. Решите неравенство: а) 0,7х < 0,49; б) 9х - 4∙ 3х + 3 > 0.
Карточка № 3.
3 −1
1. Решите уравнение: а) 3х
1 1−х
= (3)
1 1−х
2. Решите неравенство: 4х + (3)
; б) 4х - 3х+2 = 7∙ 3х - 8∙ 22х.
-8 ≥ 0.
III.
Изучение нового материала.
1. Повторить алгоритм решения систем уравнений способом подстановки, способом
сложения.
2. Определить, какие из систем уравнений решаются способом подстановки, какие –
способом сложения.
Решить №240(1) способом подстановки, № 242(1) – способом сложения.(Алимов)
3. Система показательных уравнений сводится к системе линейных уравнений. Учитель
4х ∙ 2у = 32
22х ∙ 2у = 25
показывает начало решения: { 8х+1
↔
{
3
= 33у
38х+1 = 33у
2х + у = 5
{
…. Далее учащиеся решают самостоятельно. Ответ: х= 1; у = 3.
8х + 1 = 3у
4. Учитель начинает решение, учащиеся продолжают:
5х − 5у = 100
5х − 5у = 100
5х − 5у = 100
1
{ х−1
{
{
….
х
у
(5 + 5 ) = 30
5
+ 5у−1 = 30
5х + 5у = 150
5
IV.
V.
Затем − способ сложения.
16у − 16х = 24
16у − 16х = 24
{
{ х
.
х+у
16
= 256
16 ∙ 16у = 256
𝑎 − 𝑏 = 24
Пусть 𝑎 = 16у , b = 16х , тогда {
𝑎 ∙ 𝑏 = 256.
Затем − способ подстановки.
х+1
5 ∙ 5х ∙ 3у = 75
5х ∙ 3у = 15
3у = 75
{5 х ∙ у−1
{
3х ∙ 5у : 5 = 3
3х ∙ 5у = 15
3 ∙ 5
=3
Перемножим уравнения системы:
5х ∙ 3у∙ 3х ∙ 5у = 15 ∙ 15;
15х+у = 152; х + у = 2
х = 2 – у и т.д.
Домашнее задание.
Итог урока.
Дополнительные задания для сильных учащихся : № 244; 245 ( Алимов)
Математика 10 класс
урок №____
дата____________________
Тема: Системы показательных неравенств.
Цели урока: повторить алгоритм решения систем показательных уравнений; научить
решать систем показательных неравенств;
o продолжить развитие таких познавательных процессов, как восприятие, внимание, память.
o воспитывать устойчивый познавательный интерес к предмету ;
o воспитывать
такие качества личности, как активность, самостоятельность и аккуратность в
работе;
Ход урока.
Организационный момент.
Проверка знаний учащихся.
I.
II.
Самостоятельная работа(15 – 20 мин.)
Вариант 1.
Вариант 2.
1. Изобразите схематически график функции:
у = 2,3х
2. Сравните числа:
2−√2 и 2−√3
5√3 и 5√2
3. Решите уравнение:
2 2х+3
(9)
у = 0,7х
= 4,5х-2
9х = 27
4. Решите неравенство:
2 −3
40,5х
2 −3
90,5х
>8
< 27
5. Решите систему уравнений:
2
{
III.
IV.
V.
VI.
3х − 3у = 8 3
{
3х ∙ 3у = 3
2х + 3у = 100
2
− 2 ∙ 3у = −2
х+1
Решение заданий.
№ 160(1) – учитель с классом
№ 160(2) – на доске по желанию.
№ 155( 1) – учитель с классом;
№ 155(3, 5) – на доске по очереди;
№ 244(1, 2) (Алимов) – на доске;
Домашнее задание: изучить § 7, 8 ; решить №155(2, 4, 6); № 160(2, 4).
Итог урока.
Дополнительное задание. № 187, 188.
Математика 10 класс
урок №____
дата____________________
Тема: Системы показательных уравнений и неравенств.
Цели урока:
 повторить алгоритм решения систем уравнений способом подстановки, способом
сложения;
 закрепить навыки решения системы показательных уравнений и неравенств;



развивать вкус к исследованию и поиску зависимостей;
воспитывать устойчивый познавательный интерес к предмету математика через показ
практического применения темы;
воспитывать такие качества личности, как активность, самостоятельность и аккуратность в
работе.
Ход урока.
I.
II.
III.
Организационный момент.
Анализ самостоятельной работы.
Повторение и закрепление знаний.
1) Изобразить график показательной функции при а > 1 и при 0 < а < 1, перечислить уу
свойства.
2) Чем отличаются графики функций у = ах и у = а-х?
3) Работа с графическим лото. Учащимся выдается карта и набор карточек. Задание –
определить, какой функции соответствует график.
Набор карточек:
1) у = 2х+1
2) у = 2х
3) у = 2х – 1
4) у = 2-х
5) у = 2|𝑥|
6) у = 21-х + 3 7) у = 2−|х|
8) у = 2х + 1 9) у = 21-х 10) у = 2|х| + 1.
4) Построить график функции у = 4х – 2х+1.(1 ученик)
Исследование:
1) Исследуйте вспомогательную функцию g(t) = t2 – 2t при t > 0, определив:
a) промежутки постоянного знака;
b) корни;
c) область значений;
d) промежутки монотонности.
2) Исследуйте данную функцию, используя результаты предыдущего пункта.
3) Постройте график функции у = 4х – 2х+1.
Ответ:
5). Исследовательская работа.(1 ученик).
Функция f(x) =
2х
.
4х+ 1
1) Выразите f(x) как функцию от t, где t = 2х.
2) Исследуйте вспомогательную функцию у =
𝑡
𝑡 2+ 1
3) Найдите область значений функции у = f(x).
4) Постройте график функции у = f(x).
при t > 0.
2
5) Решите уравнение f(x) = .
5
6) Решите неравенство f(x) ≤
4
.
17
7) При каких значениях а уравнение f(x) = а имеет 2 корня.
Ответ: 1) f(t) =
4)
IV.
V.
𝑡
𝑡2 + 1
. 2) D(f); t> 0; корней нет; у > 0 при t > 0. 3) (0; 0,5].
5) х1 = 1; х2 = -1. 6) х ≤ -2, х ≥ 2. 7) а Є (0;0,5).
Домашнее задание: № 195(2,4); 526(1); 193(2,4).
Итог урока. Учащиеся сами анализируют свои работы.
Использованы материалы пособия для учителя «Алгебра и начала анализа. 10 класс» Авт.-сост. Г.И.Григорьева,
ресурсы Интернет.