Планирование эксперимента Разделы :

Планирование эксперимента
Разделы :
Лекции - 16 часов
практич. работы - 16 часов
1.Введение. Основные определения.
2. Полный факторный эксперимент.
3. Дробный факторный эксперимент.
4. Анализ и обработка результатов.
5. Метод крутого восхождения.
6. Планы 2-го порядка.
7. Отсеивающие эксперименты.
8. Методы планирования по Тагути.
9. Планирование эксперимента в пакете «Statistica 6.0».
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
Основоположники
Р. Фишер английский статистик,
конец 20-х г.г.
R.A. Fisher “The Design of
Experiment”, 6-th ed.,
London, Oliver and Boyd,
1951
УГТУ-УПИ, ФтФ
В.В. Налимов советский статистик,
60-е г.г.
В.В. Налимов, Н.А. Чернова
«Статистические методы
планирования экстремальных
экспериментов», М., Наука,1965
ПОЭ, лекция 1
Основная литература
 В.И. Асатурян «Теория планирования эксперимента»,
М., Радио и связь, 1983, 248 с.
 В.В. Налимов «Теория эксперимента», М., Наука,
1971, 208 с.
 Ю.П. Адлер, В.Е, Маркова, Ю.В. Грановский «Планирование
эксперимента при поиске оптимальных условий», М., Наука,
1976, 280 с.
 В.Г. Горский, Ю.П. Адлер «Планирование промышленных
экспериментов», М., Металлургия, 1974, 264 с.
 С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров «Методы оптимизации
эксперимента в химической технологии», М.,Высшая школа,
1985,328 с.
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
Дополнительная литература
 Х.Шенк «Теория инженерного эксперимента», М., Мир,
1974, 384 с.
 Н.Джонсон, Ф. Лион, «Статистика и планирование
эксперимента в технике и науке. Методы обработки
данных», М., Мир, 1980, 612 с.
 К. Дэниел «Применение статистики в промышленном
эксперименте», М., Мир, 1979, 301 с.
 Д. Финни «Введение в теорию планирования
экспериментов», М., Наука, 1970, 288 с.
 В.Н. Лавренчик «Постановка физического эксперимента
и статистическая обработка его результатов», М.,
Энергоатомиздат, 1986, 269 с.
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
1. Основные понятия ПЭ
1.1. Общие определения
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и
условий проведения опытов, необходимых и достаточных для
решения поставленной задачи с требуемой точностью
– стремление к минимизации общего числа опытов;
– одновременное варьирование всеми переменными,
определяющими процесс по специальным правилам-алгоритмам ;
– использование математического аппарата, максимально
формализующего действия экспериментатора ;
– выбор четкой стратегии позволяющей принимать обоснованные
решения после каждой серии опытов ;
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
Активный (опыт)
Эксперименты
Интерполяционный
(требуется установить
взаимосвязь между параметром
оптимизации и влияющими
факторами)
Пассивный
(наблюдение)
Экстремальный
(требуется решить задачу
оптимизации, улучшить значение
параметра оптимизации)
Планирование экстремального эксперимента - это
процедура выбора числа и условий проведения опытов,
минимально необходимых для решения поставленной задачи,
т.е. отыскания оптимальных условий.
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
Схема «черного ящика»
x1
x2
Объект
исследований
(«ЧЯ»)
y1
y2
ym
xk
pk
Факторы
Параметры
оптимизации
yj = f(x1, x2, …, xk) - функция отклика
Задача экстремального эксперимента - поиск экстремума функции отклика
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
1.2. Факторы
Фактор - это измеряемая переменная величина, принимающая
в некоторый момент времени определенное значение. Факторы
соответствуют способам воздействия на объект.
Значения, которые принимают факторы в эксперименте,
называются уровнями.
Количественные
И
Качественные
Основные требования :
 управляемость ;
 точность ;
 однозначность ;
УГТУ-УПИ, ФтФ
 совместимость
;
 независимость ;
 и т.д.
ПОЭ, лекция 1
1.3. Параметры оптимизации
Параметр оптимизации - это реакция (отклик) объекта
на воздействие факторов, которые определяют поведение
изучаемой системы.
Количественные
И
Качественные
ограниченная
непрерывная
Область определения
дискретная
УГТУ-УПИ, ФтФ
неограниченная
ПОЭ, лекция 1
Параметры оптимизации
Экономические
Прибыль
Себестоимость
Затраты на
эксперимент
(на сам процесс)
УГТУ-УПИ, ФтФ
Техникоэкономические
Рентабельность
Производ-ть
Надежность,
долговечность
КПД
Техникотехнологические
Выход
продукта
Физикохимические
харак-ки
продукта
Прочие
Психолог.
Эстетич.
Статистич.
Медико-биологические
харак-ки продукта
ПОЭ, лекция 1
Параметр оптимизации должен быть :
 и т.д.
 эффективным с точки зрения достижения цели ;
 универсальным и полным, т.е всесторонне
характеризовать объект ;
 количественным и выражаться одним числом ;
 статистически эффективным ;
 имеющим четкий физический смысл, простым и легко
вычисляемым ;
 однозначным и существующим для всех различных
состояний !!!!
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
1.4. Обобщенный параметр
оптимизации
В общем случае :
разный физический смысл,
несовпадающая размерность.
Необходимо использование безразмерной шкалы !!!
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 1
1.4.1. Простейшая шкала
преобразования откликов
yj - частный отклик
(j = 1, 2, 3,…., m)
всего n опытов
yji - значение j-го отклика в i-ом опыте
(i = 1, 2, 3, … , n)
«0» - брак
«1»- годен
УГТУ-УПИ, ФтФ
~
y ji  {0;1}
ПОЭ, лекция 1
Обобщенный отклик
n
Yi  n  ~
y ji
j 1
Обобщенный отклик
в i-ом опыте
Yi  {0;1}
Все
~
y ji  1
Хотя бы один
УГТУ-УПИ, ФтФ
~
y ji  0
Yi = 1
Yi = 0
продукт годен
брак
ПОЭ, лекция 1
Пример
Создание нового автомобильного двигателя.
Параметры оптимизации :
y1 - масса двигателя, кг ;
1, если y1i <= 600
~
y1i  {
0, если y1i > 600
y2 - максимальная скорость автомобиля, км/ч ;
1, если y2i >= 200
~
y2i  {
0, если y2i < 200
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 2
далее :
y3 - расход топлива на
100 км, л ;
1, если y3i <= 10
~
y3i  {
0, если y3i > 10
y4 - максимальное
давление масла, кг/см2 ;
1, если y4i <= 150
~
y4i  {
0, если y4i > 150
y5 - максимальное число
оборотов коленвала, об/мин ;
1, если y5i <= 5000
~
y5i  {
0, если y1i > 5000
УГТУ-УПИ, ФтФ
y6 - время разгона автомобиля
до 100 км/ч, с ;
1, если y6i <= 10
~
y6 i  {
0, если y6i > 10
y7 - ресурс работы, тыс. км ;
1, если y7i >= 500
~
y7 i  {
0, если y7i < 500
ПОЭ, лекция 2
Комплексная оценка
Учет требований разработчика и заказчика :
~
~
~
~
~
~
~
Y1i  y1i  y2i  y3i  y4i  y5i  y6i  y7i
7
Учет требований только заказчика :
Y2i  3 ~
y2i  ~
y3i  ~
y7i
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 2
Результаты испытаний
Преобразованные
Преобразованные
отклики
отклики
Обобщенные
Обобщенные
отклики
отклики
Номер
опыта
Натуральные
отклики
y1i
y2i
y3i
y4i
y5i
y6i6i
y7i7i
1
570
270
8.7
165
5300
9
600
1
1
1
0
0
1
2
590
250
10
145
4800
9
550
1
1
1
1
1
3
480
90
10.5
138
4800
11
800
1
0
0
1
4
550
250
10.3
150
4700
9
750
1
1
0
5
590
300
9.2
150
5000
8
800
1
1
6
650
220
9.0
145
4500
9
750
0
7
570
220
9.2
160
5500
12
700
8
590
220
9.8
140
5000
9
9
580
220
9.0
140
4800
10
730
170
9.8
140
4800
УГТУ-УПИ, ФтФ
~
y~
y11ii
~
y~
y22ii
~
y~
y33ii
~
y~
y44ii
~
y~
y55ii
~
y~
y66ii
~
y~
y77ii
Y
Y1i1i
Y
Y2i2i
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
800
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
800
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
450
0
0
1
1
1
1
0
0
0
ПОЭ, лекция 2
Близость к «идеалу»
yj0 - наилучшее («идеальное») значение j-го отклика,
(j = 1, 2, 3,…., m)
yji - yj0 - мера близости
 y ji  y j 0 

Yi   
 y

j 1
j0

m
2
Цель оптимизации :
Yi  0
aj - статистический вес j-го отклика
 y ji  y j 0 

Yi   a j 
 y

j 1 
j0

m
УГТУ-УПИ, ФтФ
2
m
, где
aj 1
j 1
и
aj  0
ПОЭ, лекция 2
1.4.2. Шкала желательности
Обобщенная функция желательности Харрингтона
Стандартные отметки на
шкале желательности
Желательность
Очень хорошо
Отметка на
шкале, dj
1.00 – 0.80
Хорошо
0.80 – 0.63
Удовлетв-но
0.63 – 0.37
Плохо
0.37 – 0.20
Очень плохо
0.20 – 0.00
УГТУ-УПИ, ФтФ
dj - частная желательность
dj = 0
неприемлемое значение
dj = 1
наилучшее значение
dj = 0.37  1/e
dj = 0.63  1 - 1/e
ПОЭ, лекция 2
Функция желательности
d e
e
 y  , где y - кодированный отклик
1,0
dj
0,998
0,951
0,800
0,638
0,368
0,192
0,000
УГТУ-УПИ, ФтФ
Хорошо
dj
y'
6
3
1,5
0,8
0
-0,5
-3
Очень хорошо
0,5 Удовлетворительно
Плохо
Оч. плохо
0,0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y'
ПОЭ, лекция 2
далее
1,0
0,5
0, если yj < ymin
dj {
1, если yj  ymin
dj
0,0
1,0
0,5
Очень хорошо
Хорошо
Удовлетворительно
Плохо
Очень плохо
0,0
ymin
УГТУ-УПИ, ФтФ
y'
ПОЭ, лекция 2
Далее
0, если yj < ymin и yj > ymax
dj {
1, если ymin  yj  ymax
1,0
0,5
dj
0,0
1,0
Очень хорошо
Хорошо
0,5
0,0
Удовлетворительно
Плохо
Очень плохо
ymin
УГТУ-УПИ, ФтФ
y'
ymax
ПОЭ, лекция 2
Обобщенная желательность
m
Di  m  d ji
j 1
Обобщенная желательность
в i-ом опыте
Di оцениваем по той же шкале желательности
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 2
Пример
dj
y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
0.95
0.80
0.63
0.37
0.2
3.0
1.5
0.8
0.0
-0.5
500
550
570
600
700
280
250
220
200
170
8
8.5
9
10
11
130
135
145
150
170
4500
4700
4800
5000
5500
8
8.5
9
10
11
1000
800
700
500
400
y
-0.5
170
УГТУ-УПИ, ФтФ
0.0
200
0.8
220
1.5
250
3.0
280
y2
ПОЭ, лекция 2
Оценка
Учет требований разработчика и заказчика :
D1i  7 d1i  d 2i  d 3i  d 4i  d5i  d 6i  d 7i
Учет требований только заказчика :
D2i  3 d 2i  d 3i  d 7i
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 2
Результаты
Номер
Номер
Номер
опыта
опыта
опыта
11
22
33
44
5
5
6
dd111
ddd222
ddd333
ddd444
ddd555
ddd666
ddd777
DD11
0.63 0.90
0.90 0.73
0.73 0.24
0.24 0.30
0.30 0.63
0.63 0.50
0.50 0.51
0.51
0.46 0.8 0.37 0.5 0.63 0.63 0.44 0.53
1 0.31 0.29 0.75 0.63 0.20 0.80 0.49
Желате
Желате
Желате
льность
льность
льность
удовл.
удовл.
удовл.
удовл.
D
D222
D
Желате
Желате
Желате
льность
льность
льность
0.69
0.69 хор.
хор.
0.50 удовл.
0.42 удовл.
6
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 2
1.5. Факторное пространство
- это пространство, образованное осями факторов
x1
x1max
Область
определения
x1min
x2min
УГТУ-УПИ, ФтФ
x1max
x2
ПОЭ, лекция 3
Метод сечений
x1
x1max
x1min
x2min
УГТУ-УПИ, ФтФ
x1max
x2
ПОЭ, лекция 3
Функция отклика
Основные предположения :
 непрерывная ;
 гладкая ;
 единственный оптимум ;
Можно представить в виде степенного ряда
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 3
Полиномиальные модели
y  b0
y
y  b0  b1x1  b2 x2
2
 b0  b1x1  b2 x2  b12x1x2  b11x1
2
 b22x2
Полиномиальный класс моделей
Основные
требования
простота
адекватность
Способность модели предсказывать
результаты эксперимента в исследуемой
области с требуемой точностью
УГТУ-УПИ, ФтФ
ПОЭ, лекция 3