Теория вероятностей (ТВ) Изучает закономерности массовых случайных явлений Случайное явление – такое, которое при воспроизведении опыта происходит каждый раз несколько иначе Основные понятия и термины ТВ • Наблюдения, опыты и измерения • Испытание - осуществление каждого отдельного наблюдения, опыта или измерения • Комплекс условий - совокупность условий, при которых выполняется каждое отдельное испытание Основные понятия и термины ТВ • Результат испытания называется событием • Событие - любой факт, который может произойти в результате испытания • События обозначают начальными заглавными буквами латинского алфавита: • А, В, С,… или А1, А2, А3, … Основные понятия и термины ТВ • Каждое событие обладает объективной возможностью наступления Основные понятия и термины ТВ • В любом опыте имеется определенное множество возможных исходов ωi, (i = 1, 2,…n) называемых элементарными исходами или элементарными событиями • Все возможные исходы опыта образуют пространство Ω элементарных событий (элеметарных исходов) этого опыта Основные понятия и термины ТВ • Например, 1 1 ,2 Г, Ц • - пространство элем. исходов опыта, связанного с подбрасыванием одной монеты; 2 1 ,2 ,3 ,4 ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ • - пространство элем. исходов опыта, связанного с подбрасыванием двух монет Основные понятия и термины ТВ • Событие A выпадение "герба" 1 Г • - подпространство пространства 1 • Событие B хотя бы один "герб" 1 ,2 ,3 ГГ, ГЦ, ЦГ • - подпространство пространства 2 Виды событий в ТВ • В зависимости от объективной возможности наступления: • 1. Достоверное А U • 2. Невозможное • 2. Случайное A V A,B,C ,... или A1 ,A2 ,...,An Виды случайных событий • 1. Простое - не может быть разложено на составляющие. • Например: • Событие A Г - при бросании монеты; • Событие B 2 - при бросании игральной кости; • Событие C 0 - при измерениях ( - случайная ошибка измерений) Виды случайных событий • 2. Сложное (составное) событие описывается несколькими простыми событиями. • Например: событие C нечетная цифра 1,3,5 • - при бросании игральной кости Виды сложных событий • а) Логическая сумма (объединение) простых событий – сложное событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из нескольких событий. • Например: S1 = четная цифра 2 ,4 ,6 • 1) • 2) появление хотябыодной S 2 положительной случайной ошибки при двух измерениях Виды сложных событий • Общепринятая запись суммы (объединения) двух событий: S A1 A2 или S А1 А2 • что означает: S = или А1 ,или А2 ,или А1 и А2 • - символ логического сложения. Виды сложных событий • Сумма (объединение) трех событий: • S A1 A2 À3 • что означает: или S А1 А2 А3 , èëè À1 ,èëè À2 ,èëè À3 ,èëè À1èÀ2 , S = èëè À1èÀ3 ,èëè À2èÀ3 ,èëè À1èÀ2èÀ3 Виды сложных событий • б) Логическое произведение (пересечение) простых событий сложное событие, которое заключается в совместном наступлении одновременно или последовательно друг за другом нескольких событий. Виды сложных событий • Например, событие П 1 выпадение цифры6 на обеих костях • - при бросании двух игральных костей. • Или событие появление двух положительных П 2 случайных ошибок при двух измерениях Виды сложных событий • Общепринятая запись произведения (пересечения): • Ï A1 A2 À3 или П A1 A2 А3 , • что означает: П иА1 ,иА2 ,иА3 ; • • - символ логического умножения. Виды случайных событий (продолжение) • 3. Равновозможные события – имеют одинаковую объективную возможность наступления при данном комплексе условий. • Например, события: A Г равновозможны B Ц при бросании монеты Виды случайных событий • События А1 1 А2 2 равновозможны ............... А6 6 при бросании игральной кости ; Виды случайных событий • События • C 0 и D 0 , • где - случ. ошибка измерений, равновозможны при однократном измерении некоторой величины. Виды случайных событий • 4. Единственно возможные события – такие, когда в результате испытания может произойти одно и только одно из этих событий • Так, в предыдущих примерах события Аi единственно возможны, равно как и события С и D • Система единственно возможных событий данного опыта образует пространство Ω элементарных событий этого опыта Виды случайных событий • 5. Не совместные и совместные события – такие, которые в одном испытании не имеют или имеют общие элементарные исходы. • Например, при бросании игральной кости события А 3 и В 2, 4, 6 не совместны, а события В 2, 4, 6 и С 4 - совместны. Виды случайных событий • 5. Независимые и зависимые события – такие, у которых объективная возможность появления не зависит или зависит от того, появилось или нет другое событие. Виды случайных событий • Система единственно возможных несовместных событий называется полной группой событий. • Так события • А Г и В Ц при одном бросании монеты составляют полную группу событий, • равно как и события А ,А ,...,А 1 2 • при бросании игральной кости. 6 Виды случайных событий • 6. Противоположные события – два простых или сложных события, образующих полную группу. • Событие, противоположное событию А обозначается А Виды случайных событий • Так, противоположны события: • А Г и А Ц • • А 2, 4, 6 А 3 и и ; А 1, 3, 5 ; А 1, 2, 4, 5, 6 • Конечное число несовместных равновозможных событий, образующих полную группу, называются случаями, шансами, элементарными исходами опыта. • Например, при бросании монеты возможны только два элементарных исхода: Г - “герб” и Ц - “цифра”, а при бросании игральной кости – шесть, а именно: 1, 2, 3, 4 , 5, 6. • Про опыт говорят, что он сводится или не сводится к схеме случаев (шансов, элементарных исходов). • Элементарный исход называется благоприятствующим данному событию, если его осуществление влечет за собой наступление этого события. • Например, в опыте 1 1 ,2 Г, Ц • выпадению герба благоприятствует один исход (Г); • В опыте 2 1 ,2 ,3 ,4 ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ • выпадению хотя бы одного герба благоприятствуют три исхода (ГГ,ГЦ,ЦГ) • Численная мера объективной возможности появления события называется вероятностью события. • Вероятность – важнейшая характеристика случайного события. • Существует несколько определений вероятности, мы рассмотрим два из них: классическое и статистическое. Классическое определение вероятности • Оно не связано с проведением опытов, т.е. вероятность события определяется исходя лишь из условий опыта. • Но при этом необходимо, чтобы возможные исходы опыта составляли схему случаев, т.е. были бы все равновозможны, несовместны, образовывали полную группу и их число должно быть конечным. Классическое определение вероятности • Тогда вероятность события может быть получена по формуле M P N I • где N – общее число возможных элементарных исходов опыта; • M – число исходов опыта, благоприятствующих наступлению интересующего нас события. Классическое определение вероятности • Согласно формулы ( I ), • При одном бросании монеты: • Р(Г) = 1/2. • При одном бросании игральной кости: • P(6) = 1/6; • Р{четная цифра} = 3/6 = 1/2. Классическое определение вероятности • В формуле (I) M N • или 0 M N , • т.е. 0 P 1 • Т.о. предельное числовое значение вероятности вообще есть единица. Классическое определение вероятности • При M N имеем P( )1 • - вероятность достоверного события равна единице. • При M 0 имеем P(V ) 0 • - вероятность невозможного события равна нулю. • При 0 M N имеем 0 P 1 • - вероятность случайного события может изменяться в пределах от нуля до единицы, не достигая их. Классическое определение вероятности • Обозначим P( A ) p и , P( A ) q • Тогда • p q 1 , т.к. M N M 1 N N , • т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Классическое определение вероятности • Недостаток: опыты редко сводятся к схеме случаев и чаще всего нарушается требование равновозможности исходов. • Поэтому формула ( I ) имеет ограниченное (но достаточно широкое ) применение. Статистическое определение вероятности • Связано с проведением опытов и с понятием относительной частоты Q – частости- появления интересующего нас события в опытах: • k , Q n • где n – число испытаний; • k – число появлений события в этих испытаниях (абсолютная частота). Статистическое определение вероятности • Свойство устойчивости относительной частоты в опытах отражено в теореме Бернулли: k P p 1 n • где ε и δ - бесконечно малые числа. • Или k lim n p n Статистическое определение вероятности • На основании теоремы Бернулли : вероятность – это предел, к которому стремится относительная частота Q события при неограниченном увеличении числа испытаний. Статистическое определение вероятности • Практически статистическая вероятность может быть найдена по приближенной формуле k P n (II) Статистическое определение вероятности • Недостаток - необходимость выполнения бесконечного числа опытов или достаточно большого их числа, что не всегда возможно, а чаще вообще невозможно. • Формулы ( I ) и ( II ) выражают прямые способы определения вероятностей случайных событий. • Они являются главными, но не основными. • Основными следует считать косвенные способы. Косвенные способы вычисления вероятностей • Позволяют по известным вероятностям одних событий вычислять вероятности других, с ними связанных. • Это сводит необходимый эксперимент к минимуму. • Вся ТВ есть система таких косвенных способов. Косвенные способы вычисления вероятностей • • • • • • К ним относятся: - теоремы (аксиомы) ТВ; - формула полной вероятности; - формула Байеса; - формула Бернулли; - формула использования вероятности противоположного события и др. Основные теоремы ТВ • Используются для вычисления вероятностей сложных событий. • Их две – теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. • Строго могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. • Для других событий применяются как аксиомы, принципы, постулаты. Теорема сложения вероятностей • Суммой событий называется сложное событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. SA B Теорема сложения вероятностей • Теорема: Вероятность суммы двух или нескольких совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е. P( A B ) P( A ) P( B ) P( AB ) Теорема сложения вероятностей • Доказательство: • n – общее число всех возможных исходов опыта; • m - благоприятствуют наступлению события А; • k –благоприятствуют наступлению cобытия В; • l исходов благоприятствуют одновременно событиям А и В. Теорема сложения вероятностей • Очевидно, что событию A B A B благоприятствуют все n m k l исходов. Запишем вероятности этих событий: Или P( A m k P( A ) , P( B ) , n n l mkl P( AB ) , P( A B ) n n m k l B ) P( A ) P( B ) P( AB ) n n n Ч.т.д. Теорема сложения вероятностей • Для несовместных событий l = 0. • В этом случае P( A B ) P( A ) P( B ) т.е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие. Сумма вероятностей событий A1, A2,…,An , образующих полную группу, равна единице - как вероятность достоверного события: n P( A i 1 i ) P( U ) 1 Теорема сложения вероятностей • Задача 1. В лотерее 1000 билетов. На один билет падает выигрыш в 500 рублей, на 10 по 100 рублей, на 50 – по 20 рублей и на 100 – по 5 рублей. Какова вероятность выиграть на один билет: • а) не менее 20 рублей; • б) любую сумму денег? Теорема сложения вероятностей • Решение: Обозначим события: A1 âû è ãðû ø 500 ð.í à î äè í áè ëåò ; A1 âû è ãðû ø 100 ð.í à î äè í áè ëåò ; A1 âû è ãðû ø 20 ð.í à î äè í áè ëåò ; A1 âû è ãðû ø 5 ð.í à î äè í áè ëåò . • Найдем вероятности этих простых событий по формуле P M : N Теорема сложения вероятностей 1 10 P( A1 ) 0.001; P( A2 ) 0.010; 1000 1000 50 100 P( A3 ) 0.050; P( A4 ) 0.100. 1000 1000 Теорема сложения вероятностей • Введем обозначения для интересующих нас событий:  âû è ãðû ø í å ì åí åå 20 ð. À1 À2 À3 À1 À2 À3 • - сумма 3-х несовместных событий; Ñ âû è ãðû ø ëþ áî é ñóì ì û A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 B A4 • - сумма 4-х несовместных событий. Теорема сложения вероятностей • Вычислим вероятности этих событий по тереме сложения вероятностей несовместных событий: P( B ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.001 0.010 0.050 0.061; P( C ) P( A1 A2 A3 A4 P( B ) P( A4 ) 0.061 0.100 0.161. Условие независимости событий • Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Условие независимости событий • Вероятность события, вычисленная в предположении, что одно или несколько событий к этому моменту уже произошли, называется условной вероятностью этого события и обозначается: • P( A B ) - условная вероятность события А относительно события B; • P(  À ) - условная вероятность события В относительно события A. Условие независимости событий • События А и В независимы, если их условные вероятности равны “безусловным”,т.е. тот факт, что событие В произошло к моменту вычисления вероятности события А, не изменил вероятности последнего события. Условие независимости событий • Аналитическая запись условия независимости событий: P( A B ) P( A ) или P( B A ) P( B ) Условие независимости событий • Условная вероятность события может быть получена по формуле P( AB ) P( A / B ) P( B ) • Ясно, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А и наоборот. Условие независимости событий • Задача . Из колоды карт в 36 листов берут наугад одну карту. Рассмотреть события: À ï î ÿâëåí è å ò óçà  ï î ÿâëåí è å êàðò û ÷åðí î é ì àñò è Ñ ï î ÿâëåí è å ò óçà ï è ê • Определить их парную независимость (или зависимость). Условие независимости событий • Решение. Вычислим “безусловные” вероятности событий: 4 1 P( A ) ; 36 9 18 1 1 P( B ) ; P( C ) . 36 2 36 • Вычислим необходимые условные вероятности: 2 1 P( A / B ) ; P( A / C ) 1; P( B / C ) 1. 18 9 Условие независимости событий • Выводы: • 1. P( A B ) P( A ) , следовательно, события А и В независимы. • 2. P( A Ñ ) P( A ) , следовательно, события А и С зависимы. • 3. P( Â Ñ ) P(  ) , следовательно, события В и С зависимы. . . Условие независимости событий • Задача . Зависимы или нет противоположные события? • Решение. Запишем условие независимости для противоположных событий: P( A À ) P( A ). • А - случайное событие. • Его вероятность P( A ) p 0. • Но P( A À ) 0, т.к. A и A не совместны в одном испытании. • Вывод: события зависимы, т.к. P ( A А ) P ( A ) Теорема умножения вероятностей • Произведением двух или нескольких событий называется сложное событие, состоящее в совместном появлении одновременно или последовательно одно за другим всех этих событий. Теорема умножения вероятностей • Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другого т.е. P( A B ) P( A )P( B / A ). Теорема умножения вероятностей • Доказательство: • n – общее число всех возможных исходов опыта; • m - благоприятствуют наступлению события А; • k –благоприятствуют наступлению cобытия В; • l исходов благоприятствуют одновременно событиям А и В. Теорема умножения вероятностей • Запишем вероятности этих событий: m k l P( A ) , P( B ) , P( AB ) . n n n • Условная вероятность события В: l P( B / A ) m • Подставив все эти вероятности в доказываемую формулу, получим тождество: l m l l l ; , n nm n n • что и подтверждает правильность доказываемой формулы. Теорема умножения вероятностей • Аналогично для трех и более событий: • а) P( ABC ) P( A )P( B / A )P( C / AB ) • б) P( A1 A2 ...An ) P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )... ...P( An / A1 A2 A3 ...An1 ) • Для независимых событий А и В: P( B / A ) P( B ) - по условию независимости событий. • Поэтому для независимых событий P( AB ) P( A )P( B ). Теорема умножения вероятностей • Задача. На карточках написаны буквы Т, Т, С и О. Карточки перемешаны и перевернуты, а затем вскрываются по одной. • Определить вероятность того, что в порядке появления букв получится слово ТОСТ. Теорема умножения вероятностей • Решение. • Событие  ÒÎ ÑÒ по определению есть произведение событий. • Вскрытые карточки обратно не возвращаются, поэтому элементарные события, образующие событие В зависимы (изменяются условия опыта). Теорема умножения вероятностей • (Т, Т, С , О) • Поэтому для решения задачи применим теорему умножения вероятностей зависимых событий: P( ) P ÒÎ ÑÒ P(T)P(O / T)P(C/TO)P(T/TOC) • Тогда 2 1 1 1 P( B ) P(TOCT ) 1 0.083 4 3 2 12 Формула полной вероятности • Является следствием обеих теорем – сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности • Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий • H1, H2,…, Hn, • образующих полную группу и называемых гипотезами. Формула полной вероятности • А – событие • H1, H2,…, Hn • гипотезы Формула полной вероятности • Тогда вероятность события А вычисляется как n P( A ) P( H i )P( A / H i ) i 1 • т.е.как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе. Формула полной вероятности • Доказательство. • Так как гипотезы H i ( i 1,2,...,n ) образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: A H1 A H2 A H 1 A H 2 A ... H n A ... Hn A Формула полной вероятности • Так как гипотезы H i ( i 1,2,...,n ) несовместны, то и комбинации H 1 A, H 2 A, ..., H n A - тоже несовместны • Тогда по теореме сложения вероятностей: P( A ) P( H 1 A ) P( H 2 A ) ... P( H n A ) n P( H i A ) i 1 Формула полной вероятности • Применяя к событиям H i A ( i 1,2,...,n ) теорему умножения зависимых событий, получим n P( A ) P( H i )P( A / H i ) i 1 • , • что и требовалось доказать. Формула полной вероятности • Задача. Имеются три одинаковые с виду урны. В первой - а белых и b черных шаров, во второй – с белых и d черных, а в третьей – только белые шары. • Некто подходит к одной из урн и вынимает из нее один шар. • Найти вероятность того, что этот шар белый. Формула полной вероятности • Решение. A ï î ÿâëåí è å áåëî ãî ø àðà • Событие • Обозначим события-гипотезы: • 1-я урна • H1 2-я урна 3-я урна H2 H3 • Т.к. выбор урны происходит случайно, наугад, то вероятность каждой гипотезы 1 P( H 1 ) P( H 2 ) P( H 3 ) 3 Формула полной вероятности • Найдем вероятность вынуть белый шар из 1-й урны, т.е. a P( A / H 1 ) • затем – из 2-й: • и, наконец, из 3-й: ab c P( A / H 2 ) cd P( A / H 3 ) 1 Формула полной вероятности • По формуле полной вероятности найдем 1 a 1 c 1 P( A ) 1 3ab 3cd 3 1 a c ( 1) 3 ab cd Формула Байеса (теорема гипотез) • Является следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной вероятности. Формула Байеса (теорема гипотез) • Пусть имеется полная группа несовместных гипотез: • H1, H2,…, Hn • Пусть вероятности этих гипотез до опыта известны и равны P( H 1 ), P( H 2 ), ...,P( H n ) • Пусть проведен опыт, в результате которого наступило некоторое событие А Формула Байеса (теорема гипотез) • Вопрос: как следует изменить вероятности гипотез в связи с наступлением этого события? • По существу нужно найти «новую» (условную) вероятность P( H i / À ) • для каждой гипотезы. Формула Байеса (теорема гипотез) • По теореме умножения вероятностей имеем: •P( A / H i ) P( A )P( H i / A ) P( H i )P( A / H i ) • или P( A )P( H i / A ) P( H i )P( A / H i ) , • • откуда • P( H i )P( A / H i ) ( i 1,2 ,...,n ) P( H i / A ) P( A ) Формула Байеса (теорема гипотез) • Выражая P(A) с помощью формулы полной вероятности, имеем P( H i / A ) P( H i )P( A / H i ) n P( H i 1 i ( i 1,2 ,...,n ) )P( A / H i ) • Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта Формула Байеса (теорема гипотез) • Задача. Два стрелка стреляют в одну мишень, делая каждый по одному выстрелу. • Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.8, а для второго 0.4. • После стрельбы в мишени обнаружена пробоина. • Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. Формула Байеса (теорема гипотез) • Решение. p1 = 0.8, p2 = 0.4 • До опыта возможны следующие гипотезы: P( H 1 ) 0.2 0.6 0.12 H1 ( ) • H2 ( ) H3 ( ) H4 ( ) . Их вер-ти: P( H 2 ) 0.8 0.4 0.32 P( H 3 ) 0.8 0.6 0.48 P( H 4 ) 0.2 0.4 0.08 Формула Байеса (теорема гипотез) • Условные вероятности наблюденного события • А = {пробоина} • при этих гипотезах равны: P( A / H 1 ) 0 ; P( A / H 2 ) 0 ; P( A / H 3 ) 1; P( A / H 1 ) 1 Формула Байеса (теорема гипотез) • После опыта гипотезы H 1 и Н 2 становятся невозможными. • Вероятности гипотез H3 и Н4 будут равны: 0.48 1 6 P( H 3 / A ) 0.48 1 0.08 1 7 0.08 1 1 P( H 4 / A ) 0.48 1 0.08 1 7 Формула Байеса (теорема гипотез) • Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку, равна 6 7 . Испытания Бернулли. Формула Бернулли • Испытания Бернулли – это повторные многократные, независимые испытания с двумя возможными исходами и с вероятностью успеха, не меняющейся от испытания к испытанию. • Классический пример – многократное бросание монеты. Испытания Бернулли. Формула Бернулли • • • • • Итак, имеем: n – число испытаний A – наблюдаемое событие P(A) = p = const - в каждом испытании ( q = 1 – p) Испытания Бернулли. Формула Бернулли • В условиях этих испытаний представляют интерес два вопроса: • 1. Какова вероятность того, что наблюдаемое событие наступит ровно k раз в n испытаниях? • 2. Сколько раз вероятнее всего наступит наблюдаемое событие? Испытания Бернулли. Формула Бернулли • Ответ на 1-й вопрос дает формула Бернулли: Pk n C p q k n k n k • Pk n - вероятность наступления события k раз в n испытаниях; • p - вероятность наступления события в одном испытании; • q = 1 – p - вероятность не наступления события в одном испытании; Испытания Бернулли. Формула Бернулли n! Ñ k !( n k )! k n 0! 1 Испытания Бернулли. Формула Бернулли • При ответе на 2-й вопрос по существу требуется определить наивероятнейшее число k0 появлений события в n испытаниях, т.е. такое число k0, которому соответствует максимальная вероятность: Pk0 ( n ) Pk0 1( n ) Pk0 ( n ) Pk0 1( n ) Испытания Бернулли. Формула Бернулли • Можно показать, что эти условия приводят к неравенству np q k0 np p • Замечания: • 1. k0 – целое число; • 2. Может быть несколько наивероятнейших целых чисел, тогда – им соответствует одинаковая в точности максимальная вероятность. Испытания Бернулли. Формула Бернулли • Задача. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится ровно 3 раза? Сколько раз вероятнее всего появится герб? • Решение: 1. По формуле Бернулли с учетом n = 5, k = 3, p = q = ½ : 3 3 53 P3( 5 ) C p q 3 5 2 5! 1 1 3! 2! 2 2 1 2 3 4 5 1 10 1 10 0.31. 1 2 3 1 2 2 32 2 5 5 Испытания Бернулли. Формула Бернулли • 2. Найдем k0 из неравенства np q k0 np p • с учетом n = 5 и p = q = 1/2: 1 1 1 1 5 k0 5 2 2 2 2 2 k0 3 Испытания Бернулли. Формула Бернулли • Т.о. имеем два наивероятнейших числа: k0 2 è k0 3 • Поэтому должно быть • Убедимся в этом: 2 P2( 5 ) C 52 p 2 q 5 2 Ð2( 5 ) Ð3( 5 ) 3 5 5! 1 1 10 1 10 0.3125 2! 3! 2 2 32 2 3 P3( 5 ) C 53 p 3q 5 3 2 5 5! 1 1 10 1 10 0.3125 3! 2! 2 2 32 2 Использование противоположного события • При независимых многократных испытаниях для вычисления вероятности суммы событий вместо теоремы сложения вероятностей удобнее использовать вероятность противоположного события, особенно, когда число слагаемых n > 2. Использование противоположного события • Пусть Ai i 1,2,...,n – наступление события A в i-м испытании. • По определению, сумма событий – наступление события хотя бы один раз: ò ÿ áû î äè í ðàç A B íõîàñò 1 óï è ëî • Противоположное событие • í è ðàçó B í å í àñò óï è ëî A1 A2 A2 ... ... An An Использование противоположного события • Противоположные события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е. P( B ) P( B ) 1 • Отсюда P( B ) 1 P( B ) 1 P A1 A2 ... An Использование противоположного события • По теореме умножения вероятностей независимых событий P( B ) 1 P( B ) 1 P( A1 )P( A2 )...P( An ) 1 q1q2 ...qn • где q i • Итак, P( Ai ) ( i 1, 2, ... n ) . ò ÿ áû î äè í ðàç 1 q q ...q P( B ) P íõîàñò 1 2 n óï è ëî • Если P( Ai ) p è P( Ai ) q ( i 1, 2 , ...n ) , • то n õî ò ÿ áû î äè í ðàç P í àñò óï è ëî 1q Использование противоположного события • Задача. Три стрелка стреляют в цель с вероятностью успеха p1 0.6 , p2 0.7 , p3 0.8. • Найти вероятность поражения мишени. • Решение. Введем обозначения событий: A1 ï î ï àäàí è å ï åðâî ãî ñò ðåëêà A2 ï î ï àäàí è å âò î ðî ãî ñò ðåëêà A3 ï î ï àäàí è å ò ðåò üåãî ñò ðåëêà Использование противоположного события • Событие ï î ðàæ åí è å õî ò ÿ áû î äí î B A1 ì è ø åí è ï î ï àäàí è å • Вычислим вероятности противоположных событий: q1 1 p1 0.4 , q2 1 p2 0.3, q3 1 p3 0.2. A2 À3 Использование противоположного события • Тогда вероятность события B: P( B ) 1 q1q2 q3 1 0.3 0.4 0.2 0.986