11 класс. МОУ СОШ №256 г.Фокино. Цели урока: • Ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов. • Рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах. • Показать применение скалярного произведения векторов при решении задач. Проверка выполнения д/з: № 439(а) • Дано: О0;0;0 А4;0;0 В0;6;0 у АОВ - прямоугольный • Найти: 1) К х; у; z - центр окружности, В описанный около АОВ. 2) АК R К 1 О 1 1 А х z Проверка выполнения д/з: № 439(а) • Решение: Центр окружности К – середина гипотенузы АВ. Найдем координаты К. 00 06 40 0 3 z х 2 у 2 2 2 4 2 Ответ: 2 0 3 0 0 13 2;3;0; В К К (2; 3; 0) R АК у 2 2 13 х А 1 О 1 1 z Повторение: • Какие векторы называются равными? а a b, если a b ; а b b • Как найти длину вектора по координатам его начала и конца? В АВ х хА уВ у А 2 2 А • Какие векторы называются коллинеарными? а b или а b а b В x1 x2 а b y1 y 2 z z 2 1 Повторение. (Устно) Векторы в пространстве. А 3;2;4 В 4;3;2 1) Дано: Найти: АВ 30 А2;3;1 В4;5;0 С 5;0;4 D7;2;3 2) Дано: Равны ли векторы АВ и CD ? Нет, т.к.равные векторы имеют равные координаты. АВ2;2;1 CD2;2;1 3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ? А1;3;4 В5;1;2 С 2;0;1 D4;2;2 АВ8;4;6 CD2;2;1 Нет Угол между векторами. b ОА а ОВ b ab а Если а b, то 0 А α О аb 0 В Если а b то ab 180 0 Если а b то ab 90 0 Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой. 00 а 450 О c и f d и a a и f a и b b 300 450 d 1800с f 1150 1350 Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. а b a b a b cos Скаляр – лат. scale – шкала. Ввел в 1845 г. У. ГАМИЛЬТОН, английский математик. Вспомним планиметрию… a b a b cos b , то cos 90 0 0 a b 0 Если a Если a b Если а b Если a b , то a b a a a a a a Скалярное произведение a a называется , то , то cos180 1 a b a b 0 cos 0 1 a b a b 0 скалярным квадратом вектора 2 2 Пример применения скалярного произведение векторов в физике. F α S Если F S , то A F S cos Скалярное произведение векторов. Формула скалярного произведения векторов в пространстве. аx1 ; y1 ; z1 bx2 ; y2 ; z2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Докажем формулу скалярного произведения в координатах для случая, когда векторы неколлинеарны. Желающий выходит к доске. Подсказки - на экране. Для доказательства потребуется вспомнить теорему косинусов. В АВ 2 ОА2 ОВ2 2 ОА ОВ cos b О OA a α а А OB b AB b a Ваше доказательство: Дома, следуя рекомендациям в учебнике, вывести формулу cos α для двух ненулевых векторов в пространстве, зная их координаты. cos x1 x2 y1 y2 z1 z 2 x y z x y z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 «Геометрия 10-11», глава V, § 2, п.47. + №№ 141 (в – з); 443 (д; е) 2 2 Решение задач. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: B1 В1 В и В1С 450 б) ВС и АС 450 а) C 1 A1 D1 B в) DA и B1 D1 1350 A C D № 443 (г) Дано: куб АВСDA1B1C1D1; АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1 Найти: ВА1 ВС1 1 способ: ВА1С1 правильный ВА1 ВС1 а 2 ВА ВС 60 C1 D1 A1 B1 1 0 1 ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos60 а 0 Ответ: а2 D 2 A C B № 443 (г) Дано: куб АВСDA1B1C1D1; АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1 Найти: ВА1 ВС1 2 способ: ВА1 ВА АА1 ВС1 ВС СС1 C1 D1 ВА1 ВС1 ? A1 B1 ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1 ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС D АА1 СС1 0 0 0 а а cos0 a 0 2 A C B Ответ: а2 № 443 (г) Дано: куб АВСDA1B1C1D1; АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1 Найти: ВА1 ВС1 3 способ: Введем прямоугольную систему координат. A1 ВА1 а;0; а Ответ: а2 х C1 D1 ВС1 0; а; а ВА1 ВС1 а 0 0 а а а а z B1 у 2 D A C B Решаем по группам: № 443 1 – а) а2 2 – б) -2а2 3 – в) 0 Дополнительная задача: Вычислите угол между вектором а и координатным вектором i. а2;1;2