Лекция2. Знаковое представление информации
advertisement
Лекция 2 Знаковое представление информации, суждение, умозаключение, основы математической логики. Представление информации может осуществляться с помощью языков, которые являются знаковыми системами. Каждая знаковая система строится на основе определенного алфавита и правил выполнения операций над знаками. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две группы • Позиционная система счисления • Непозиционная система счисления Позиционная система счисления Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная 2 0,1 Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11),C(12), D(13), E(14), F(15) Математическая логика- наука о формализации мышления Математическая логика занимается формальными законами построения суждений и доказательств. Логика — это множество правил манипулирования формулами, представляющими формы рассуждений. Соотношение моделей и реальных явлений Логика изучает формы мышления и способы их выражения в языке. Формальная математическая логика решает проблемы проверки правильности рассуждений в естественном языке (реальный мир). Логика высказываний Логика высказываний имеет дело только с узким кругом утверждений — повествовательных предложений, которым может быть приписано значение «истина» либо «ложь». Формулы логики высказываний определяются индуктивно над неограниченным множеством атомов (элементарных высказываний) А с помощью двух символов операций (связок) ¬, => и скобок «(» и «)»: 1. Любой атом из А есть формула. 2. Если Р — формула, то ¬(Р) тоже формула. 3. Если Р, Q— формулы, то (Р => Q) — тоже формула. 4.Никаких других формул в логике высказываний нет. В логике для сокращения формул используются записи: True для Р => Р, False для ¬ True (можно рассматривать True и False как логические константы). (PvQ) для ((¬P)Q) (PQ) для ¬(¬(P)(¬Q)) (PQ) для (PQ)(QP) Эти соотношения позволяют определить дополнительные логические операции через две базовые операции — импликацию => и отрицание ¬. р ¬P ложь истина истина ложь Р Q PQ ложь ЛОЖЬ истина ложь истина истина истина ложь ложь истина истина истина Каждому атому, входящему в формулу, можно приписать значение истина или ложь. Каждая возможная комбинация таких истинностных значений, приписанных атомам формулы, называется интерпретацией. Значения формул для возможных интерпретаций атомов определяются на основе таблиц истинности для основных операций (связок) ¬, . Формулы, принимающие одно и то же значение истина на всех интерпретациях называются общезначимыми или тавтологиями. Формула, принимающая значение ложь на всех интерпретациях своих аргументов, называется невыполнимой. Импликации в естественном языке соответствует связка «если ... то ...». Рассмотрим рассуждение: «Если бы он не сказал ей, она бы и не узнала. А не спроси она его, он и не сказал бы ей. Но она узнала. Следовательно, она спросила». Это рассуждение представляет собой конъюнкцию трех утверждений, за которыми следует некоторый вывод. Логическое следствие Формула R называется логическим следствием формулы Ф (или R логически следует из Ф) тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации на которой формула Ф истинна, R тоже истинна. Логическим следствием формулы Ф является False тогда и только тогда, когда Ф невыполнима. Метод резолюции Этот метод использует тот факт, что если некоторая формула является невыполнимой, то наиболее сильное следствие этой формулы — константа False. N Дизъюн кт Откуда он получен Интерпретация (D Cкv¬У Первое утверждение Известно, что: «Если бы он не сказал ей, она бы не узнала»; (2) Сп v ¬Ск Второе утверждение и что «Если бы она его не спросила, он бы не сказал ей»; (3) У Третье утверждение и что «Она узнала» (4) ¬Cn Отрицание следствия Докажем, что «Она спросила». Предположим противное, то есть что «Она не спросила» (5) ¬Ск Резольвента 2 и 4 Отсюда следует (поскольку по (2): «Если бы она его не спросила, он бы не сказал ей»), что «Он не сказал ей» (6) ¬У Резольвента 1 и 5 Отсюда следует (поскольку по (1): «Если бы он не сказал ей, она бы не узнала»), что «Она не узнала» (7) У Резольвента 3 и 6, пустой дизъюнкт Мы пришли к противоречию: ведь известно (3), что «Она узнала». Следовательно, наше предположение «Она не спросила» неверно (оно противоречит фактам), поэтому утверждение «Она спросила» верно Графическое представление доказательства методом резолюции (3)У (1)Скv¬У (2)Спv¬Ск ¬Cк ¬У (4)¬Cп(отрицания следствия)
