Помехоустойчивое кодирование. Циклические коды
advertisement
Помехоустойчивое кодирование Циклические коды – подкласс линейных кодов Примеры использования линейных кодов • Пример 1. Протокол передачи данных по телефонному каналу ISDN-D, в котором используется формат передачи данных LAPD. 1 2 1(2) F A C max 260 I 2 1 FCS F Примеры использования линейных кодов • F=01111110 (flag) • А – поле адреса (address) • С поле команд (control) • I –информационное поле (information) • FCS – проверочные разряды (frame check sequence) • Общая длина 266х8=21128 бит, проверочных – 16 бит • F 1 A C 2 1(2) I max 260 FCS F 2 1 Примеры использования линейных кодов • Пример 2. Протокол передачи данных в 802.3 CSMA/CD для передачи данных в локальных сетях связи (LAN) Преамбула Разделитель Адрес получателя Адрес источника Данные Контроль четности 7 1 2(6) 2(6) 65-1518 4 Линейные циклические коды Циклические коды интенсивно изучаются, так как: • Циклические коды обладают богатой алгебраической структурой, что используется в различных приложениях. • Для циклических кодов чрезвычайно кратко формулируются технические требования (спецификации). • Циклические коды легко реализуются с помощью сдвиговых регистров. • Многие практически важные коды являются циклическими. Линейные циклические коды Линейный (n,k)-код С называется циклическим, если циклический сдвиг любого кодового слова из С также принадлежит С: x0 x 1 ... xn 2 xn 1 (1) xn 1 x 0 ... xn 3 xn 2 Замечание • Для задания произвольного кода из 2k слов длины n необходимо выписать все 2k кодовых слов длины n. • Для задания линейного кода из 2k слов длины n достаточно выписать k базисных слов длины n (порождающая матрица). • Для задания линейного циклического кода из 2k слов длины n достаточно выписать одно ненулевое кодовое слово. Реализация циклического сдвига Циклический сдвиг реализуется с помощью регистра сдвига длины n с обратной связью: x0 x1 x2 … xn2 xn 1 Реализация циклического сдвига Регистр сдвига на такте 1 xn 1 x0 x1 … xn 3 xn2 Регистр сдвига на такте 2 xn2 xn 1 x0 … xn4 xn 3 Представление кодовых слов в виде кодовых многочленов a0 a 1 n 1 ... a( x) a0 a1 x ... an 1 x a n2 an 1 Представление кодовых слов в виде многочленов Циклический сдвиг многочлена a( x) a0 a1 x ... an 1 x a ( x) an 1 a0 x ... an 3 x n2 n2 n (1) a0 x ... an 3 x an 2 x n 1 n 1 an 2 x n 1 an 1 x (mod x 1) x a( x)(mod x 1) n n Пример a( x) 1 x x , n 7 1101000 3 Пример (1 x x 1101000 0110100 1000110 4 )a( x) (1 x x )(1 x x ) 4 0011010 x x x 2 3 5 3 Пример (1 x x )a( x) (1 x x )(1 x x ) 4 4 3 1 x x x x x x x x 4 2 5 3 4 1 x x x x 2 3 5 7 x x x mod( x 1) 2 3 5 7 7 Циклический сдвиг многочлена (i ) an i a n i 1 i n ... x a( x)(mod x 1) an i 2 an i 1 Важные теоремы • Теорема 1. Циклический код содержит единственный кодовый многочлен минимальной степени. • Теорема 2.Если g (x ) – кодовый многочлен минимальной степени, то его младший коэффициент g 0 1. • Теорема 3.Пусть g (x )-кодовый многочлен минимальной степени. Многочлен a(x) является кодовым многочленом тогда и g (x). только тогда, когда он кратен Порождающий многочлен Пусть g (x ) -кодовый многочлен минимальной степени, этот многочлен называется порождающим многочленом. Пусть степень порождающего многочлена равна r. Базис подпространства С (порождающая матрица): g ( x), x g ( x), x 2 g ( x) ,..., x k 1 g ( x) Степень порождающего многочлена deg g ( x) n k Теоремы о порождающем многочлене • Теорема1.Порождающий многочлен циклического кода g (x ) делит без остатка n x многочлен 1. . • Теорема 2.Если некоторый многочлен g (x ) степени n-k делит многочлен x n 1 без остатка, то g (x). порождает циклический (n,k)-код. Кодирование • Кодирование циклического кода – умножение информационного многочлена на порождающий многочлен Циклический (7,4)-код • Пример. g ( x) 1 x x 3 • (разложение x 7 1 ( x 1)(1 x x3 )(1 x 2 x3 ) ) инф.сл. кодовое сл. 0000 0000000 1000 1101000 0100 0110100 1100 • 1011100 0010 0011010 1010 1110010 0110 0101110 1110 1000110 0001 0001101 многочлен 0 g ( x) 1 g(x) x g(x) (1 x) g ( x) x 2 g(x) (1 x 2 ) g ( x) ( x x 2 ) g ( x) (1 x x 2 ) g ( x) x 3 g(x) 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111 Заполните самостоятельно Циклический (7,4)-код • Минимальный вес (7,4)-кода равен 3, код исправляет 1 ошибку • Это циклический код Хэмминга Замечания (1) •По сравнению с линейными, циклические коды редки. Например, существует 11 811 линейных двоичных (7,3)-кодов, но только два из них являются циклическими. Замечания (2) •Тривиальные двоичные циклические коды. •Код без информации – код из нулевого слова. •Код с повторением – код состоящий из двух слов: 00…0 и 11…1. • Код с проверкой на четность – код из слов четного веса. •Код без проверки – код из всех слов длины n. •В некоторых случаях (например n = 19), не существуют циклические коды, кроме описанных выше четырех кодов. Порождающая матрица циклического кода 1 g1 g 2 0 1 g1 GТ 0 0 1 k n 0 ... ... ... g n k 1 ... g n k 2 ... ... 0 1 1 g n k 1 ... g1 0 1 g n k 1 g2 0 ... 0 ... 1 ... ... g n k 1 0 0 0 1 Проверочный многочлен циклического кода • Так как порождающий многочлен циклического кода g (x ) делит без остатка многочлен x n 1, то x 1 h( x ) g ( x ) n • Многочлен h(x) – проверочный многочлен Проверочная матрица циклического кода • Всякое кодовое слово можно представить как c( x) a ( x) g ( x), deg a ( x) k 1 • Тогда c ( x ) h( x ) a ( x ) g ( x ) h( x ) n a( x) (1 x ) n a ( x) a ( x) x • поэтому deg c( x) h( x) k 1 Проверочная матрица циклического кода • Поэтому коэффициенты при степенях x старше k-1 равны 0. • Тогда c0 hk c1 hk 1 ... ck h0 0 c1 hk c2 hk 1 ... ck 1 h0 0 c2 hk c3 hk 1 ... ck 2 h0 0 cn k 1 hk cn k hk 1 ... cn 1 h0 0 Проверочная матрица циклического кода hk 0 H 0 ( n k )n 0 hk 1 hk 2 ... h1 h0 0 0 ... 0 hk hk 1 ... h2 h1 h0 0 ... 0 0 hk ... ... ... h1 h0 ... 0 ... ... 0 hk hk 1 hk 2 ... h1 h0 Порождающий многочлен дуального кода h x hk hk 1 x ... h0 x 1 h ( x) x h( x ) * k k Параметры циклического кода Хэмминга n 2m 1 • Длина кода • Число информационных символов k n m 2m 1 m • Минимальное расстояние - 3 • Число исправляемых ошибок - 1
