План лекции. 1. Метод наименьших квадратов. 2. Дифференциальные уравнения.

План лекции.
1. Метод наименьших квадратов.
2. Дифференциальные уравнения.
1. Метод наименьших квадратов.
В естествознании, в частности в физических и
биологических науках, основным методом
исследования являются наблюдения, опыты
эксперименты. В связи с этим возникает
необходимость в нахождении эмпирических
формул, составленных на основании опыта и
наблюдения. Одним из лучших методов
получения таких формул является мет од
наименьших квадрат ов, который является
эффективным приложением теории
экстремумов функции нескольких переменных.
Итак, пусть дана таблица
измерений в некотором
опыте, связывающая
переменные величины X
иY .
xi
yi
Значения
xi
x1
и
y1
yi
x2 … … …
y2 … … …
xn
yn
будем считать также, как декартовые
координаты точек на координатной плоскости XOY .
Требуется найти аналитическую зависимость y  (x ) ,
,
наилучшим образом отображающую опытную зависимость.
Выберем “подходящую” функцию y   ( x, a, b,...) , где
а,b… - параметры, так, чтобы соответствующие кривые
для различных a, b, … проходили вблизи точек
из опыта ( xi ; yi ) .
Найдём такой единственный набор значений
параметров, чтобы соответствующая кривая располагалась ближе всех других к точкам из опыта ( xi ; yi ) ,
т.е. чтобы ошибки выбора формулы - отклонения
значений Yi из опыта

от соответствующих значений yi   ( xi ) из
Формулы были наименьшими по абсолютной
величине.
Для этого составляется сумма
n
S (a, b,...) 
( y   ( x , a, b,...)) 2 ,

i 1
i
i
где суммируются квадраты указанных ошибок
выбора формулы.
Тогда ошибки выбора будет наименьшими (по
абсолютной величине), если наименьшей будет
сумма S .
Следовательно, нужно решить задачу на экстремум
функции S (a, b, …): найти минимум функции
нескольких переменных a, b, … .
Согласно необходимому условию экстремума должна
выполнятся следующая система :
 S
 a  0

 S  0

 b
...
...

(*)
Решение этой системы даст те значения параметров
a, b, …
, при которых функция y   ( x, a, b,...)
будет наилучшей. (Можно доказать, что необходимое
условие экстремума при решении таких задач будет
и достаточным).
Пример.
Дана таблица измерений.
xi
yi
1
1
3
2
5
3
7
6
Найти подходящую
эмпирическую формулу
y   (x )
Нанесем на координатную плоскость XOY точки
( xi ; yi ) из опыта:
y
6
3
2
1
1
3
5
7
x
Все точки лежат вблизи некоторой прямой.
Найдем наилучшую из таких прямых, т.е. найдем
линейную зависимость  ( x )  ax  b , наиболее
точно описывающую опытную зависимость.
Для такой зависимости система (*) имеет вид:
n
n
 n
2
y
x

a
x

i  b  xi  0
 i i
 i 1
i 1
i 1
 n
n
 y  a x  bn  0


i
i

i 1
 i 1
(**)
В нашем случае n=4 и система(**) перепишется :
4
4
 4
2
y
x

a
x

i  b  xi  0
 i i
 i 1
i 1
i 1
 4
(***)
4

yi  a  xi  4b  0


i 1
 i 1
Для решения этой системы составим следующую
расширенную таблицу и заполним пустые клетки:
4

i 1
1
yi 1
xi2 1
xi yi 1
xi
3
2
9
6
5
3
25
15
7
6
49
42
16
12
84
64
4
x
i 1
 1  3  5  7  16
i
4
y
i 1
 1  2  3  6  12
i
4
x
i 1
2
i
4
x
i 1
i
1  9  25  49  84
yi  1  6  15  42  64
Найденные суммы подставляем в систему (***):
64  84a  16b  0 |: 4
16  21a  4b  0



12  16a  4b  0 |: 4
3  4a  b  0
1

b


16  21a  4(3  4a)  0 
5


b  3  4a
a  4
 5
Найденные значения коэффициентов а и b
подставляем в уравнение линейной функции:
4
1
 ( x)  x 
5
5
x
y
-1
-1
4
3
По двум точкам строим эту
прямую на координатной
плоскости , данной выше:
y
4
1
y  x
5
5
-точки из опыта
6
-точки для построения
прямой
-прямая
3
 (x )
2
1
-1
-1
1
4
5
7
x
Нетрудно видеть, что ошибки выбора
формулы достаточно малы (могут быть
порядка ошибок измерения).
2. Дифференциальные
уравнения.
Рассмотрим физическую задачу: найти закон
прямолинейного движения, при котором в каждый
момент времени путь в 2 раза больше скорости
движения.
Путь S(f) – путь, пройденный к моменту t , тогда S=2S’
V(f)- скорость движения
Решение этого дифференциального уравнения, в
которое входит производная, дает искомый закон
движения S(t) .
Определение.
Уравнение, связывающее независимую переменную,
функцию и ее производные или дифференциалы
различных порядков, называются обыкновенным
дифференциальным уравнением.
* Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
y ' Sinx  yCosx  1
-первого порядка
d2y
 Sinx -второго порядка
2
dx
y ' ' '2 y ' '3 y '  x
-третьего порядка
и т.д.
*Решением дифференциального уравнения
называется функция y  y ( x ) , удовлетворяющая
этому уравнению.
Нахождение этого решения называется
интегрированием дифференциального уравнения.
*Если решение уравнения получено в неявном виде
 ( x, y )  0 , то оно называется интегралом
уравнения.
*Задача Коши.
Задача Коши для уравнения
y ( n )  f ( x, y, y ' ,..., y ( n 1) )
(1)
ставится таким образом: среди всех решений уравнения
(1)
найти решение y  y (x ) , удовлетворяющее
системе следующих условий:
 y ( x0 )  y0 ,

 y ' ( x0 )  y '0
(2)

.................
.................

( n 1)
( n 1)

( x0 )  y0
y
где
'
0
y0 , y ,..., y
( n 1)
0
,
- заданные числа
Эти условия (2) называются начальными
условиями, а соответствующее решение
y = y(x) - частным решением уравнения (1).
*Общее решение уравнения (1)- это решение в виде
y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) зависящее от
произвольных постоянных
n
C1 , C2 ,..., Cn
Частные решения уравнения (1) также могут быть
получены из общего решения при некоторых
числовых значениях констант C , C ,..., C
Пример.
1.Показать что функция y
уравнения y ' '4 y  0
1
2
 Sin 2 x
n
есть решение
Найдем y’’:
y '  ( Sin 2 x )'  2Cos 2 x
y ' '  ( 2Cos 2 x )'  4 Sin 2 x
Подставляем y’’ и y в уравнение:
 4Sin 2 x  4Sin 2 x  0  0  0, т.е. функция y  Sin 2 x
является решением исходного дифференциального
уравнения.
2.Общий интеграл дифференциального уравнения
x  yy '  0 имеет вид x 2  y 2  c , (с – const) (*)
Найти его частный интеграл, удовлетворяющий
начальному условию y ( 3)  4
Найдем значение С, соответствующее искомому
частному интегралу, подставив в общий интеграл (*)
заданные начальные условия.
У нас  x  3

, тогда
y

4

( 3) 2  4 2  C  C  25
Подставляем найденное С в (*):
x  y  25
2
2
Это и есть искомый частный интеграл.
1.Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися
переменными.
Такие уравнения имеют вид:
M1 ( x)  N1 ( y)dx  M 2 ( x)  N2 ( y)dy  0
Характерной чертой этих уравнений
является то, что множители, стоящие перед
dx и dy , зависят только от одной
переменной.
Для решения уравнения разделим переменные x и y
по своим слагаемым , для чего поделим обе части
уравнения на произведение N1 ( y)  M 2 ( x)  0 :
M 1 ( x )  N1 ( y )
M 2 ( x)  N 2 ( y )
dx 
dy  0 
N1 ( y )  M 2 ( x )
N1 ( y )  M 2 ( x )
M 1 ( x)
N 2 ( y)

dx 
dy  0
M 2 ( x)
N1 ( y )
Переменные разделены. Общий интеграл получим
почленным интегрированием левой и правой частей
уравнения:
M 1 ( x)
N 2 ( y)
dx

dy

C
 M 2 ( x )  N1 ( y )