Презентация "Шахматы и математика"
advertisement
«Шахматы и математика» Автор: Мурзаев Александр, 8 класс Руководитель: Забродина Елена Петровна учитель математики Цель: Систематизировать игру в шахматы; Проследить закономерность между шахматами и математикой. Задачи: Познакомиться с историей возникновения шахмат Выяснить виды игры в шахматы Собрать и решить математические задачи, сюжетом которых является шахматная доска и шахматные фигуры Классифицировать математические задачи на шахматную тему Выявить используемые при решении таких задач математические методы Объект исследования: математические задачи на шахматную тему Гипотеза: «Шахматы- это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ развития мышления, памяти, познания себя и окружающего мира» Методы: Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; Практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы; Анализ полученных в ходе исследования данных. Актуальность: привлечение учащихся к решению логических математических задач, повышению их интереса к математике Результаты анкетирования 1) Умеете ли вы играть в шахматы? 80 70 60 5 класс 50 6 класс 40 7 класс 30 8 класс 20 9 класс 10 0 Результаты анкетирования 2) Знаете ли вы нетрадиционные виды игры в шахматы? 25 20 5 класс 15 6 класс 7 класс 10 8 класс 5 9 класс 0 Результаты анкетирования 3) Знаете ли вы типы математических задач на шахматную тему? 25 20 5 класс 15 6 класс 7 класс 10 8 класс 5 9 класс 0 Результаты анкетирования 4) Какие оценки у вас преобладают? 35 30 25 5и4 20 только 4 15 4и3 10 только 3 5 0 Результаты анкетирования 5) На какие отметки обучаются школьники, умеющие играть в шахматы. 50 40 5и4 30 20 только 4 4и3 только 3 10 0 Легенда: Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Мудрец скромно потребовал 1 + 22 + 23 + 24 + … + 263 = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615 зерен. Чатуранга Чатурангой в древней Индии называлось войско, состоявшее из боевых колесниц (ратха) и слонов (хасти), конницы (ашва) и пеших воинов (падати). Игра символизировала битву с участием четырёх родов войск, которыми руководил предводитель (раджа). В игре для четырёх игроков использовались комплекты фигур четырёх цветов: чёрные, зелёные, жёлтые и красные. Играли пара на пару. Каждый комплект содержал восемь фигур: раджу (короля), слона, коня, колесницу (аналог ладьи) и четыре пешки. Не было таких понятий, как шах, мат и пат Белые и Черные союзники, играют против Синих и Зеленых. Шашечница (см. рис.) ставится так, что у белого справа белая клетка. Белые и Черные ферзи ставятся на белые клетки, Синие и Зеленые - на черные. Игроки ходят последовательно белые - зеленые черные - синие. У каждого игрока справа есть квадрат 4х4 (крепость), куда ставятся ладья, конь, слон, которые располагаются кто, где хочет. Основные правила игры в четверные шахматы - такие же, как в классических шахматах. Отличия заключатся в следующем: Игра ведется двое на двое. Игроки, сидящие друг против друга - союзники. Каждый играет только своими фигурами. Ходят поочередно, по часовой стрелке. Фигуры союзников взаимодействуют. Игрокам разрешается совещаться только в тот момент, когда одному из них дан мат. Японские шахматы (Сёги, Shogi) Играют два игрока, чёрные и белые (сэнтэ 先手 и готэ 後手). Доска разделена на прямоугольные клетки или поля. Клетки никак не обозначены и не имеют цвета. Каждый игрок имеет набор из двадцати фигур. Фигура представляет собой плоский брусок дерева в форме обелиска (вытянутый пятиугольник), на обеих поверхностях которого иероглифами записано название фигуры. Все фигуры одноцветные, а различаются только по ориентации на доске Китайские шахматы (Сянци) В сянци играют на прямоугольной доске, расчерченной линиями по вертикали и горизонтали. Размер доски — 9×10 линий, причём фигуры ставятся в пересечения линий, а не на клетки. Между двумя центральными горизонталями находится река (кит. 河 , хэ), которая влияет на движение генералов, советников (мандаринов) и слонов. Квадраты 3×3, отмеченные двумя диагональными линиями называются дворцы или крепости. Их не могут покидать генералы и советники. Русские шахматы - разновидность шахмат, основанная на древнерусской игре таврели. Игра ведётся на обычной шахматной доске 8x8. Название фигур (таврелей) в русских шахматах отличается от принятых в международных шахматах названий, однако состав фигур и правила их передвижения практически полностью одинаковы. Хелги — особая фигура в русских шахматах. В Хелги превращается ратник, стоявший в начале партии перед волхвом и достигший в ходе игры последней горизонтали противника. Хелги объединяет в себе свойства Князя и Всадника. Это самая сильная таврель в русских шахматах. В Шведские шахматы играют две команды. Каждая команда состоит из двух игроков, играющих на двух отдельных досках, белыми на одной доске и черными на другой. Партия состоит из двух игр, одновременно играемых на соответствующих досках. Обе игры начинаются одновременно. Съеденная фигура передается партнеру по команде и может быть использована им в игре. Обе доски расположены друг около друга, а часы на внешних сторонах так, чтобы каждый игрок мог видеть время на обоих часах. Комплекты фигур соответствуют обычным шахматам, только каждой стороне добавляется ещё один слон и одна пешка. Правила движения фигур похожи на классические шахматы, если считать, что роль горизонталей выполняют косые линии полей, параллельные одной из невертикальных сторон доски, а роль диагоналей — линии полей одного цвета. Вся игра состоит из 11 раундов, где четные — бокс (битва), а нечетные — сражение (быстрые шахматы). Между раундами существует пауза в 1 минуту. Исход состязания определяется нокаутом на ринге, либо матом на шахматной доске, если ни первого, ни второго не происходит в течение 11 раундов, победу присваивают арбитры. Если происходит ничья, то победа присуждается игроку за черные фигуры. Задачи на раскрашивание шахматной доски Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 8х8, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд! Решение: Можно закрасить 42 клетки, закрасить 43 клетки невозможно. Задачи на раскрашивание шахматной доски Задача 4. В квадрате 7х7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки. При решении задач на раскрашивание шахматной доски нет какого-то определенного используемого математического метода, нужно просто быть внимательным при решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения. Задачи на разрезание шахматной доски Задача 5. Разрежьте изображённую на рисунке доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки. Для решения таких задач единого алгоритма нет, нужны небольшие математические расчеты, хорошее внимание и, конечно, строгие логические рассуждения. Шахматная доска и домино Задача 10.Можно ли целиком покрыть домино квадрат 8х8, из которого вырезаны противоположные угловые клетки Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще. Окрасим урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и h1. При любом покрытии доски каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических головоломок. Неторопливый король Задача 14. Какое максимальное число королей можно расставить на доске так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. не стояли рядом? Решение: Разобьем доску на 16 квадратов (рис. 16). Если мы хотим, чтобы короли не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих квадратов надо поместить не более одного из них. Это означает, что больше шестнадцати королей, удовлетворяющих условию задачи, расставить невозможно. Итак, максимальное число мирных королей на доске 8х8 равно 16. Ферзь на шахматной доске Задача 17. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они не угрожали друг другу, то есть никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали? Решение: Очевидно, больше восьми ферзей расставить невозможно, тогда хотя бы на одной вертикали и горизонтали их окажется не меньше двух. Найти несколько решений несложно, одно из них показано на рисунке. Прямолинейная ладья Задача 19. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при обходе всех полей доски nхn? Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали. На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n–2)+1+1=2(n–1). Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из маршрута, приведенного на рис. 20,а; при n=8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов (рис. 20,б). Задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске и числа путей передвижения фигур более сложные, чем задачи на раскрашивание и разрезание доски. Для их решения нужны более сложные расчеты и умение найти математическую закономерность в найденном ряде чисел. Здесь уже большую помощь в решении задачи может оказать умение играть в шахматы. Лабиринты на шахматной доске. Ход конем Задача 20. Задача о коне Аттилы. На доске находятся две фигуры – белый конь и черный король. Некоторые объявляются «горящими». Конь должен дойти до неприятельского короля, повернуть его и вернуться в исходное положение. Ему запрещено занимать как «горящие» поля, так и поля, уже пройденные им однажды. Методы решения подобных задач, называемых лабиринтами, хорошо известны в теории графов. Впрочем, для коня Аттилы искомый путь нетрудно найти и непосредственно. Задачи о перестановках фигур на шахматной доске Задача 25. Старинная головоломка. В углах доски размером 3х3 стоят два белых и два чёрных коня. Требуется поменять местами белых и чёрных коней за наименьшее число ходов. Наиболее изящно задача решается при помощи «метода пуговиц и нитей», открытого известным мастером математических головоломок Г. Дьюдени. На каждое поле маленькой доски, кроме центрального (на него кони попасть не могут), поместим по пуговице (на рис. их заменяют кружки). Если между двумя полями возможен ход коня, то соответствующие пуговицы свяжем нитью (на рисунке нити – это отрезки прямой). Полученный клубок пуговиц и нитей распутаем так, чтобы все пуговицы расположились по кругу. Теперь задача решается почти автоматически. Выбрав одно из направлений движения по кругу, будем переставлять коней до тех пор, пока они не поменяются местами. Чтобы переместить коней на доске, нужно заменить пуговицы соответствующими полями. Нетрудно убедиться, что решение состоит из 16 перемещений коней (восьми белых и восьми чёрных), причём кони противоположного цвета могут ходить по очереди. Выводы: Древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека. «В шахматах,- говорил великий русский писатель Л.Н. Толстой,- нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями». Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам. Этим и я объясняю свой интерес к данной теме. Классификация задач: задачи на раскрашивание шахматной доски; задачи на разрезание шахматной доски; задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске, числа путей передвижения фигур; лабиринты на шахматной доске; задачи о перестановках фигур на шахматной доске. Методы решения задач: метод раскраски, разрезания фигур; использование теории игр; использование теории графов; использование комбинаторных вычислений; «метода пуговиц и нитей». Практическая значимость: собранный материал можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков, для подготовки к олимпиадам, а также для общего развития. В дальнейшем в этом направлении более подробно можно исследовать следующие темы: 1. «Шахматы в олимпиадных задачах», 2. «Комбинаторика на шахматной доске», 3. «Математика шахматных турниров», 4. «Шахматы и ПК» и т.д. Гимнастика для ума Сломанная шахматная доска Предание гласит, что шахматная доска от удара разломилась на тринадцать частей. На рисунке вы видите их; это двенадцать кусочков разной формы, каждый из которых содержит пять клеток, и только один меньший кусочек состоит из четырех клеток. Таким образом, у нас есть все 64 клетки шахматной доски, а головоломка состоит в том, чтобы сложить из них правильную шахматную доску. Части легко можно вырезать из бумаги в клеточку, и если их наклеить на картон, то они могут служить в доме источником постоянного развлечения. Гимнастика для ума Ромео и Джульетта Видите этих двух улиток? Их зовут Ромео и Джульетта. Джульетта стоит на балконе, поджидая своего возлюбленного, но Ромео за ужином напрочь забывает номер ее дома. Квадраты изображают шестьдесят четыре дома, и влюбленный простак должен посетить каждый дом только по одному разу, прежде чем доберется до своей возлюбленной. Помогите ему это сделать с наименьшим числом поворотов. Улитка может двигаться вверх, вниз, поперек доски и вдоль диагоналей. Начертите ее путь. Эта головоломка как раз из тех, которые решаются либо с первого взгляда, либо не решаются и за шесть месяцев.
