

(Класс 11, модуль I, урок 2)
Урок 2. Показательные и логарифмические неравенства
План урока
 2.1. Простейшие показательные неравенства
 2.2. Простейшие логарифмические неравенства
 2.3. Приведение к дробно-рациональному неравенству
 2.4. Приведение к неравенству между логарифмами с одним основанием
 2.5. Приведение к неравенству между степенями с одним основанием
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
Рассмотреть способы решения показательных и логарифмических
неравенств, обратить внимание на то, что при решении таких неравенств
могут возникать проблемы из-за особенностей области определения частей
неравенств.
2.1. Простейшие показательные неравенства
Напомним, что в зависимости от числа a показательная функция
f ( x)  a x ведет себя по-разному.
При a  1 функция a строго возрастает. Это означает, что из
неравенства x  y следует неравенство a x  a y , и обратно, из неравенства
a x  a y следует неравенство x  y . Таким образом, при a  1 неравенства
a x  a y и x  y равносильны.
При 0  a  1 функция a x строго убывает. Это означает, что при
таком значении a неравенство a x  a y равносильно неравенству x  y .
Различие в характере поведения показательной функции a x в
зависимости от числа a заставляет быть внимательным при решении
простейших неравенств вида a x  b , a x  b , a x  b , a x  b .
Пример 1. Решить неравенство 3x  13 
Решение. Заметим, что
1
3
 31 . Поэтому неравенство можно записать в виде
3x  31 . Так как основание 3 показательной функции y  3x больше 1, то
неравенство 3x  31 равносильно неравенству x  1. Решениями
последнего неравенства являются все точки луча (1) .
Этот же ответ можно также получить с помощью графика функции
y  3x , проведя прямую y  13 и отметив все x , для которых точки графика
лежат ниже проведенной прямой (рисунок 1).
Пример 2. Решить неравенство 3x  4 x .
Решение. Так как 4 x  0 при любом x , то данное неравенство равносильно
x
x
0
x
неравенству 34x  1 . Отсюда имеем  34   1 ,  34    34  . Так как основание 3
показательной функции
 
3 x
4
4
меньше 1, то неравенство
   
3 x
4
3 0
4
равносильно неравенству x  0 .
Ответ: [0) .
Этот же ответ можно получить и с помощью графика (рисунок 2).
Пример 3. Решить неравенство
 12 
x
 1  0
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
значения
показательной
функции
 12 
x
только
 12 
x
 1 . Так как
положительны,
то
неравенство    1 неверно при каждом x .
Ответ: Множество решений пусто.
1 x
2
Пример 4. Решить неравенство ( 5  1) x  2
Решение.
Заметим,
что
основание
показательной
функции
x

y  ( 5  1) больше 1, а 2  ( 5  1) , где   log 5 1 2 . Поэтому данное
неравенство равносильно неравенству x  a , то есть x  log
Ответ: (log
5 1
5 1
2.
2) .
Вопрос. Как решить неравенство 1x  2
(Предполагаемый ответ. Значение функции y  1x равно 1 при
каждом x , что меньше 2. Поэтому множество решений неравенства – Это
множество всех действительных чисел).
2. 2. Простейшие логарифмические неравенства
В зависимости от числа
логарифмическая функция
a
y  log a x ведет себя по-разному.
При a  1 функция log a x строго возрастает, то есть неравенство
log a x  log a y равносильно при x  0 , y  0 неравенству x  y .
При 0  a  1 функция log a x строго убывает, то есть неравенство
log a x  log a y равносильно при x  0 , y  0 неравенству x  y .
Как и при решении показательных неравенств различие в характере
поведения показательной функции log a x в зависимости от числа a
заставляет быть внимательным при решении простейших неравенств вида
log a x  b , log a x  b , log a x  b , log a x  b . Кроме этого следует также
учитывать, что функция log a x определена при a  0, a  1, x  0 .
Пример 5. Решить неравенство log3 (2 x  1)  12 
Решение. Пусть z  2x 1. Относительно переменной z получаем
неравенство log3 z  12 или log3 z  log3 3 . Левая часть неравенства
определена при z  0 , а так как основание логарифмов больше 1, то в
области определения неравенство log3 z  log3 3 равносильно неравенству
z  3 . Полученные значения все входят в область определения. Подставляя
z  2x 1, получаем 2 x  1  3 , откуда x  12 3 .

Ответ:  12 3  .
Пример 6. Решить неравенство log 1 x  2  0
2
Решение. Левая часть неравенства определена при x  0 . Запишем данное
неравенство в виде log 1 x  2 или log 1 x  log 1 4 . Так как основание
2
2
2
логарифмов меньше 1, то в области определения неравенство log 1 x  log 1 4
2
2
равносильно неравенству x  4 . Выбирая x , входящие в область
определения, получаем 0  x  4 .
Ответ: (0 4] .
Этот же ответ можно получить и с помощью графика (рисунок 3).
2. 3. Приведение ва к дробно-рациональному неравенству
Один из способов решения логарифмических и показательных
неравенств связан с составлением алгебраического неравенства
относительно новой неизвестной вида log a x или a x .
Пример 7 Решить неравенство
1
log2 4 x
 log14 2 x 
Решение. Части неравенства определены при x  0 , 4 x  1 , 2 x  1 , то есть на
множестве  0 14    14  12    12   .
Обозначим log 2 x через z и выразим все логарифмы через логарифмы по
основанию 2:
log 2 4 x  log 2 4  log 2 x  2  z
log 4 2 x 
log 2 2 x 1
1
 (log 2 2  log 2 x)  (1  z )
log 2 4 2
2
Относительно z получаем неравенство
1
2
2
1
4  2 z 1  z

 или

 0
 0
2  z 1 z
1 z 2  z
(1  z )(2  z )
z 3
 0
( z  1)( z  2)
Методом интервалов (рисунок 4)находим решения этого неравенства:
z  3 , 2  z  1 . Подставляя z  log 2 x , получаем две задачи.
I. log 2 x  3 , log 2 x  log 2 18 , откуда с учетом области определения 0  x  18 .
II. 2  log 2 x  1 , log 2 14  log 2 x  log 2 12 , откуда 14  x  12 , причем все такие
x входят в область определения.
Ответ:  0 18    14  12  .
Пример 8 Решить неравенство
9  27 x1
27 2 x  7 x1  3
 4
7x
z . Так как
Решение. Обозначим
через
2x
x 2
2
7  (7 )  z , то относительно z получаем неравенство
9  14 z
8 z 2  28 z  12  9  14 z

0

 0
2z2  7z  3
2z2  7z  3
Решим вспомогательные уравнения:
8 z 2  14 z  3  0
4
z1 
7  49  8  3 7  5 3

 
8
8
2
7 x 1  7 x  7  7 z ,
914 z
 4 , или
2 z 2  7 z 3
8 z 2  14 z  3
 0
2z2  7 z  3
z2 
75 1
 
8
4
2 z 2  7 z  3  0
7  49  24 7  5 1
75

  z4 
 3
4
4
2
4
После этого неравенство можно представить в виде
8  z  14   z  32 
 0
2  z  12  ( z  3)
Методом интервалов (рисунок 5) находим решения этого неравенства:
1
3
1
z  3  z   z  
2
2
4
z3 
Подставляя z  7 x , получаем три задачи.
I. 7 x  14 , откуда x  log 7 14 
II. 12  7  32 , откуда log 7 12  x  log 7 23 .
III. 7 x  3 , откуда x  log7 3 .
Ответ: ( log7
1
4
  (log7 12  log7 23  (log7 3) .
2.4. Приведение к
основанием
неравенству между логарифмами
с
одним
Один из способов решения логарифмических неравенств связан с
приведением неравенства к виду
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)
(или к виду log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x))
Далее следует рассмотреть два случая:
а) при h( x)  1 получается неравенство f ( x)  g ( x) (или f ( x)  g ( x) );
б) при 0  h( x)  1 получается неравенство f ( x)  g ( x) (или f ( x)  g ( x) ).
Учитывая в каждом из случаев условия области определения частей
неравенства, приходим к ответу.
Пример 9. Решить неравенство log x 2  1
Решение. Левая часть неравенства определена при x  0 и x  1 .
В области определения неравенство можно записать в виде
log x 2  log x x . Далее рассмотрим два случая.
I. Пусть x  1 . Тогда неравенство log x 2  log x x равносильно неравенству
2  x . Все такие x удовлетворяют условию x  1 и входят в область
определения исходного неравенства, а поэтому являются его решениями.
II. Пусть 0  x  1 . Тогда из неравенства log x 2  log x x следует неравенство
2  x . Выбирая x , удовлетворяющие условиям 0  x  1 и входящие в
область определения, получаем 0  x  1 .
Рассмотрев два случая, объединяем найденные множества решений.
Ответ: (01)  [2) .
Пример 10. Решить неравенство log x2 1 (3x 1)  log x2 1 x2 
Решение. Область определения частей неравенства задается условиями:
x 2  1  0 , x 2  1  1 , 3x 1  0 , x 2  0 . Решая каждое из этих неравенств и
выбирая x , удовлетворяющие всем условиям, получаем множество
(1 2)  ( 2 ) .
Далее рассмотрим два случая.
I. Пусть x 2  1  1 или, с учетом области определения, x  2 . Тогда из
начального неравенства следует неравенство 3x  1  x 2 , или x 2  3x  1  0 .
Решая это квадратное неравенство, получим x  32 5 , или x  32 5 . Выбирая
x , удовлетворяющие условию x  2 , находим x  32 5 .
II. Пусть 0  x 2  1  1 или, с учетом области определения, 1  x  2 . Тогда
из начального неравенства следует неравенство 3x  1  x 2 , или
3 5
3 5
x 2  3x  1  0 .
Решения
этого
неравенства
2  x 2
 32 5 . Выбирая
x , удовлетворяющие условиям 1  x  2 , находим
1 x  2 .
Рассмотрев два случая, объединяем найденные множества решений.
Ответ: (1 2)  32 5  .


В этом пункте мы рассмотрели один из способов решения неравенств
вида
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)
Разберем еще один далеко не очевидный способ решения. Для этого
проанализируем,
к
чему
приводит
перебор
случаев
h( x )  1 и 0  h( x )  1 .
В первом случае, когда h( x)  1 , мы заменяем исходное неравенство
на неравенство f ( x)  g ( x) и находим x , удовлетворяющие одновременно
двум неравенствам h( x)  1 и f ( x)  g ( x) . Эти два неравенства можно
заменить на неравенства h( x)  1  0 и f ( x)  g ( x)  0 . Все x , одновременно
удовлетворяющие этим неравенствам, являются также решениями
неравенства
(h( x)  1)  ( f ( x)  g ( x))  0
Во втором случае, когда 0  h( x)  1 , мы заменяем исходное
неравенство на неравенство f ( x)  g ( x) и находим x , удовлетворяющие
двум неравенствам h( x)  1  0 , f ( x)  g ( x)  0 . Все x , удовлетворяющие
этим неравенствам, также являются решениями неравенства
(h( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0
В результате приходим к тому, что все решения исходного неравенства
удовлетворяют одному неравенству
(h( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0
С другой стороны, если число x , является решением последнего
неравенства и входит в область определения исходного неравенства, то либо
h( x0 )  1  0 и f ( x0 )  g ( x0 )  0 , либо h( x0 )  1  0 и f ( x0 )  g ( x0 )  0 . Как в
первом, так и во втором случае, число x0 является решением исходного
неравенства.
Таким образом, в области определения исходного неравенства
неравенство
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)
равносильно неравенству (h( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0
Пример 11. Решить неравенство log x2  1
4

1
2

 4x  x2  1
2
Решение. Запишем неравенство в виде
 1 x x2 
1

log x2  1      log x2  1  x 2   
4
4
4

2 4 2 
На основании установленного в этом пункте свойства получаем, что данное
неравенство равносильно системе неравенств
 x 2  14  0
 2 1
 x  4  1
 1 x x2
 2  4  2  0
 x 2  1  1 1  x  x2  x 2  1  0.
2 4 2
4
4



Удаляя очевидные и повторяющиеся условия, приходим к одному
неравенству
2
x 1
 2 3  x
 x         0
4  2 4 4 

или
 2 3  2 x 1 
 x   x     0
4 
2 2


3 
3
1

x

 x 

 ( x  1)  x    0

2 
2 
2


Методом интервалов (рисунок 6) находим решения этого неравенства.

Ответ: 
3
2
 
 12 
3
2

1 .
2.5. Приведение к неравенству между степенями с одним основанием
Один из способов решения неравенств, содержащих неизвестное в
показателях степеней, связан с приведением неравенства к виду
h( x) f ( x )  h( x) g ( x )
или к виду
h( x) f ( x )  h( x) g ( x ) 
Получив такое представление, можно поочередно рассмотреть случаи:
h( x)  1 h( x)  1 0  h( x)  1
Пример 12. Решить неравенство
 2 1
x  
2

3 x2 10 x  2

2
2x 1
2

Решение. Область определения частей неравенства задается условием
x 2  12  0 , которое выполняется при всех x .
Заметим,
что
2
2 x2 1

1
x2  12
  x2  12  .
1
Поэтому
неравенство
можно
представить в виде
3 x2 10 x  2
1
1
 2 1

  x2   
x  
2
2


Далее рассмотрим три случая.
I. Пусть x 2  12  1 , или x 2  12 , x1  12 , x2   12 . При каждом из этих
значений x левая и правая части неравенства равны 1, а поэтому
неравенство выполняется. Следовательно, найденные значения — решения
исходного неравенства.
II. Пусть x 2  12  1 , или x   12  12  . В этом случае основание

 

x  12 показательной функции больше 1, а поэтому из данного неравенства
2
следует, что 3x 2  10 x  2  1 , или 3x 2  10 x  3  0 . Решая это квадратное
неравенство, получаем x  12 , или x  3 . Выбирая x , удовлетворяющие
условию x 2  12  1 , находим еще часть решений исходного неравенства:
    [3) .
1
2

III. Пусть x 2  12  1 или x  
1
2

1
2
.
В этом случае основание x 2  12
показательной функции меньше 1, а поэтому из данного неравенства следует
неравенство 3x 2  10 x  2  1 , или 3x 2  10 x  3  0 . Его решения 13  x  3 .

Выбирая x из промежутка 

1
2

1
2
 , находим еще часть решений исходного
неравенства:  13  12 .
Рассмотрев все три случая, объединяем найденные множества решений.
Ответ:  12    32  12   [3) .

Проверь себя. Показательные и логарифмические неравенства
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какое из указанных множеств является множеством решений неравенства
( 2  1) x  2  1 ?
 1.
 2.
 3.
 4.
1; 
1;0
 ; 1
 0;  
(Правильный вариант: 3)
Какое из указанных множеств является множеством решений неравенства
log 2 x 2  2 ?
 1.  2;  
 2.  0; 2 
 3.   2;0 
 0;
2 
 4.  ;  2   2;  
(Правильный вариант: 4)
Какое из указанных множеств является множеством решений неравенства
log x 3  2 ?
 1.  3;  
 2.  0;1  3;  
 3. 1; 3 
 4.  0;1 1; 3 
(Правильный вариант: 2)
Какое из указанных множеств является множеством решений неравенства
x x2  1 ?
 1.  2;  
 2. 1  2;  
 3.  0;1  2;
 4.  0;1  2; 
(Правильный вариант: 4)
В примере 11 было найдено, что множество решений неравенства
 1 x x2 
log x2  1      1 есть множество  23  12  23 1 . Какое множество
4
2 4 2 

решений имеет неравенство

 1.  ; 
3

2 


3
 2.  ;  
2 

 1
 ;
 2
 1
 ;
 2
 

 1 x x2 
log x2  1      1
4
2 4 2 
3

2 
1;  
3

2 
1;  

 1 3
  ;


 2 2 

3  1 3
 4.  ;     ; 
2   2 2 

(Правильный вариант: 2)
 3.  ; 
3

2 
1;  
1;  
Проверь себя. Показательные и логарифмические неравенства
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство вида
log x 10  log x 100 ?
1
2
 1.

lg x lg x
 2. lg x  2 lg x
1
 3.
0
lg x
 4. lg x  0
(Правильные варианты: 1, 3)
Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство вида
x 3
log 2 ( x  1)( x  2)  log 2
1?
x2
 1. log 2 ( x  1)  log 2 ( x  3)  1
 2. ( x  1)( x  3)  2
2( x  2)
 3. log 2 ( x  1)( x  2)  log 2
x 3
2
 4. x  1 
x 3
(Правильные варианты: 2, 3)
Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство вида
log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x) ?
 1. log h ( x ) f ( x)  log h ( x ) g ( x)  0
f ( x)
0
g ( x)
 3. (h( x)  1)  ( f ( x)  g ( x))  0
 4. h( x) f ( x )  h( x) g ( x )
(Правильные варианты: 1)
 2. log h ( x )
Каким из перечисленных неравенств равносильно неравенство вида
h( x) f ( x )  h( x) g ( x ) ?
 1. h( x) f ( x ) g ( x )  0
 2. h( x) f ( x ) g ( x )  1
 3. lg h( x)  ( f ( x)  g ( x))  0
 4. (h( x)  1)  ( f ( x)  g ( x))  0
(Правильные варианты: 2, 3)
Домашнее задание
1. Решите неравенство: а) 2 x  4 б) 3x  13  в) 4 x  2 г) 52 x  125 д) 2 x  1 .
2. Решите неравенство: а) 2
x 2  x  12
 2 ; б) 7 x
3. Решите неравенство: а) 5x  53 x  20 ; б)
в) 25
x 2
x 2
 16  10  5
2
 x2
 1 ; в)
 12    98 
2
x

27
64
.
8x1  42 x ;
; г) log 1 x  1; д) log3 x  2 .
3
4. Решите неравенство: а) log x 18  log x 13 ; б)
1
3x 5
 3x11 1  в)
 12 
42 x
 27 ;
г) log 1 (1  3x)  1 ; д) log5 ( x  4)  2 .
7
5.
Решите
а) (5x  2 x 1 ) 52 x  5x 1  2 x 1  5  22 x 2  0 ;
неравенство:
б) (3x  2 x ) 32 x  3x 1  2 x 1  3  22 x 1  0 .
6. Решите неравенство: а) log x 1 53x x 8  1 ; б) log x 33xx73  1.
7. Решите неравенство:
а) log 3 1 ( x  20)2  log 3 1 (2  3) log (2 3)  ( x  20)( x 2  2 x  8)  ;
б) log 2
3
 ( x 11)( x

2



 4 x  5)   log 2 3 ( 2  1) log
8. Решите неравенство: а)
2 1
 1  loglog(2x(2xx3)1) ; б)
1
log2 ( x2  x 1)
2
( x  1) 2 .
1
log3 ( x 3)
1 
log3 ( x2  4 x 5)
log3 ( x 3)
.
9. Решите неравенство: а) log 2 (4 x 4  3 x 2  6)  log 1 ( x 2  1)  log 2 (3 x 2  6) ;
2
б) log 5 (3 x  x  6)  log 1 (2 x  6)  log 5 ( x  1) .
4
2
2
2
5
10.
Решите
б) log 1  2 
x
3
3
а) log 2 1  1x   log 1 1  4x   1 ;
неравенство:
2
  log3  3    1 .
2
x
11. Решите неравенство: а)  x 2  23 
x2  2 x  14
12. Решите неравенство: а)
x 1
( x 1)log3 x 2  x  12
13. Решите неравенство: а)
9 5 x2
352 x  25 x1  3


 3 x232 ; б) ( x2  x  1) x
 0 ; б)
 4 ; б)
x 3
( x 1)log5 x 2 5 x  13
2
13 23x1
232 x 3x 2  9


2
2 x 2

1
x2  x 1
.
0.
 2.
14. Решите неравенство: а) log x  2 (9 x  16  x 2 )  2 ; в) log x 1 (3x 2  x  1)  2 .
15.
Решите
неравенство:
б) log5 2 ( x 2  4 x  1)  log
1
5 2
а) log3 2 ( x 2  6 x  4)  log
(2  5 x  x 2 )  0 .
1
3 2
5 
9x
2

 x2  0 ;
2
16. Решите неравенство: а)  x  1 2
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-1-01.eps
Рисунок 2. 11-1-02.eps
Рисунок 3. 11-1-03.eps
Рисунок 4. 11-1-04.eps
Рисунок 5. 11-1-05.eps
Рисунок 6. 11-1-06.eps
x2
 x  1 x1 ; б)  x  1 2
x 3
 x  1 1 x .