Квазистационарные токи

пятница, 6 мая 2016 г.
Колебания и волны. Геометрическая и
волновая оптика
Кузнецов Сергей Иванович
доцент кафедры
ОФ ЕНМФ ТПУ
Сегодня: пятница, 6 мая 2016 г.
Тема 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
4.1 Переменный ток
4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
4.4 Вынужденные электрические колебания
4.5 Работа и мощность переменного тока
2
4.1 Переменный ток
При рассмотрении электрических колебаний
приходится иметь дело с токами, изменяющимися
во времени – переменными токами:
I = I0 sin(t + )
Закон Ома и вытекающие из него правила
Кирхгофа были установлены для постоянного тока.
Однако они остаются справедливыми и для
мгновенных значений изменяющегося тока.
3
Электромагнитные сигналы распространяются
по цепи со скоростью света с.
• Пусть l – длина электрической цепи.
• Время распространения сигнала в данной цепи
t  l / c.
• Если t  T то такие токи называются
квазистационарными (Т – период колебаний тока).
• При этом условии мгновенное значение силы
тока во всех участках цепи будет постоянным.
• Для частоты f  50 Гц условие
квазистационарности будет выполняться при
длине цепи ~ 100 км.
• Рассматривая в дальнейшем электрические колебания,
4
мы будем считать, что токи квазистационарны.
1. Сопротивление в цепи переменного тока
Ток в цепи I = I0 sin t ;
По закону Ома:
U = IR = I0 R sin t - напряжение
изменяется синфазно с током;
U0 = I0 R - амплитуда напряжения.
С, L
пренебрежимо малы
Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:
2. Емкость в цепи переменного тока
R  0, L  0
I = I0 sin t,
dq
По определению I 
dt
Ток в цепи:
Заряд конденсатора:
1
RC 
C
-кажущееся
сопротивление
емкости
q
I0

cos t
I0
I0
q


U  
cos t 
sin  t  
C
C
C
2

Напряжение отстает по фазе от тока
на π/2
-амплитуда
I
U  0
0
C
напряжения
3. Индуктивность в цепи переменного тока
Рассмотрим цепь с R  0
при наличии переменного тока в катушке
возникает ЭДС самоиндукции:    L dI
C
dt
По закону Ома для участка цепи с ЭДС:
U = IR – εC = - εC
RL  L
Кажущееся
сопротивление
индуктивности
(основа работы
дросселей)
dI


U  L  LI0 sin  t  
dt
2

Напряжение опережает по фазе ток на π/2
U 0  I 0 L
-амплитуда напряжения
4. Закон Ома для переменного тока
Напряжение при
последовательном
соединении R, L, C :
U  U  U R  UC  U L
Сумма U 0C  U 0 L
1  - реактивная

 U p  I 0  L 
 составляющая
C  напряжения

U0R  U a  I0 R
- активная составляющая
напряжения
Результирующее
колебание:
l
L
U = U0 sin (t + )
Фаза:
1
U p L  C
tg  

Ua
R
U 0  I 0 Rпол
- закон Ома для переменного тока
Амплитуда напряжения:
U0  I0
1 

R   L 

C 

2
2
Полное сопротивление цепи:
Rполн
U0
1 

2

 R   L 

I0
C 

2
R – активное (омическое) сопротивление
1 

Х =  L 

C 

- реактивное сопротивление
R – активное сопротивление отвечает за потерю
мощности в цепи.
X
– реактивное сопротивление, определяет
величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.
Элементы цепи и соответствующие им импедансы:
Импеданс соединений:
Z   Z k - последовательного
k
1
1

- параллельного
Z
k Zk
Закон Ома в
комплексной форме

I 
Z

1 

R  i  L 

C 

4.2 Свободные колебания в электрическом
контуре без активного сопротивления
Цепь, содержащая индуктивность (L) и ёмкость (С)
называется колебательным контуром.
Рисунок 1
Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив
конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток.
Т.к. R=0, то полная энергия контура E=const
12
Если энергия конденсатора равна нулю (потенц. энергия), то
13
энергия магнитного поля максимальна (кинетич.) и наоборот...
Из сопоставления электрических и механических
колебаний следует, что:
2
q
• энергия электрического поляU 
аналогична потенциальной энергии
2
C
упругой деформации
• энергия
магнитного
поля
аналогична
кинетической энергии;
• Индуктивность L играет роль массы т
• 1/С – роль коэффициента жесткости k
• Заряду q соответствует смещение маятника х
• Силе тока I ~ скорость υ
• Напряжению U ~ ускорение а
14
В соответствии с законом Кирхгофа (и законом
сохранения энергии)
q
dI
 L
C
dt
R=0
dq
I
,
dt
(4.2.1)
2
d q 1

q0
2
dt
LC
dI
Ei   L ,
dt
Вновь мы получили диф. ур. второго порядка:
(4.2.2)
d 2q
2


0 q  0,
2
dt
0 
1
LC
Собственная
частота
контура
Решение уравнения - гармоническая функция:
q  qm cos(0t   )
(4.2.3)
15
q  qm cos(0t   )
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора
изменяется по гармоническому закону с частотой
ω0 – собственная частота контура.
Период колебаний определяется по формуле
Томсона:
1 2
(4.2.4)
T 
 2 LC
T  2 LC
 0
16
qm
U
cos0t     U m cos0t   
C
Um  Im
L
C
Закон Ома
для контура
Напряжение
на
конденсаторе
L – волновое
сопротивл.
C
[Ом].
Ток в цепи:
dq


I
 0 qm sin 0t     I m cos 0t    
dt
2

I m  0 qm
Амплитуда тока
На емкости ток опережает напряжение на π/2.
На индуктивности наоборот напряжение
опережает ток на π/2.
17
4.3 Свободные затухающие электрические
колебания
Всякий реальный контур обладает активным
сопротивлением R. Энергия, запасенная в
контуре, постепенно расходуется в этом
сопротивлении на нагревание, вследствие чего
колебания затухают.
18
Рисунок 3
По второму закону Кирхгофа
q
dI
IR    L
c
dt
Уравнение свободных
d q
dq
2
затухающих колебаний в

2



0q  0
2
dt
dt
контуре R,L и C
решение этого уравнения имеет вид:
2
q  q0 e
  R / 2 L,
1
0 
LC
   
2
0
 t
cos(t   ),
- коэффициент затухания
- собственная частота контура
2
или  
2
1
R
 2
LC 4 L
Частота
затухающих
19
колебаний
Вид затухающих колебаний заряда q и тока I:
q  q0 e  t cos(t   )
• Колебаниям q соответствует x – смещение
маятника из положения равновесия,
20
• силе тока I – скорость υ.
Рисунок 4
A(t )
T
е
A(t  T )
Декремент
затухания
A(t )
  ln
 T
A(t  T )
Логарифмический декремент
21
затухания
R
Т.к. коэффициент затухания  
2L
2
Период затух. колебаний T 
;
Тогда
R
  T 
L

R, L, ω – определяются параметрами контура,
следовательно, и χ является характеристикой
контура.
2
2



Если затухание невелико
0
  0 
1
,
LC
C
  R
L
22
Добротность колебательного контура Q
определяется как величина обратно

Q
пропорциональная χ (Чем меньше
затухание, тем выше добротность)
1



Время затухания – время за которое
амплитуда колебаний уменьшается в е раз

1
Ne  
T T
Число колебаний совершаемых
за время затухания
1

то Q  N е
Nе
W
Q  2
W
W – энергия контура в данный момент,
ΔW – убыль энергии за один период, следующий
23
за этим моментом
При  2  02 , т.е. при
(Т  ):
R / 4 L  1 / LC
2
2
Колебаний не будет
q 
0
t 
апериодический разряд
Сопротивление контура, при котором колебательный
процесс переходит в апериодический, называется
критическим сопротивлением:
2
Rk
2
1

4 L LC
L
Rk  2
 2 Rволн
C
Критическое
сопротивление
24
4.4 Вынужденные электрические колебания
К контуру, изображенному на рис. подадим
переменное напряжение U : U  U m cos t (4.4.1)
2
Um
d q
dq
2
 2
 0 q 
cos t
2
dt
dt
L
уравнение вынужденных электрических колебаний
совпадает с вынужденными механическими колебаниями.
(4.4.2)
25
Это уравнение совпадает с дифференциальным
уравнением механических колебаний.
Решение уравнения при больших t:
(4.4.3)
q  qm cos(t   )
Здесь амплитуда колебаний заряда:
2
1 

2
2
qm  U m /  R   L 

U
/

R

(
R

R
)

m
L
C
C 

2
26
Как мы уже говорили величина
1 

Z  R   L 

C 

2
2
а величина
1
X  RL  RC  L 
C
называется полным
сопротивлением цепи
(импеданс)
– реактивным
сопротивлением.
R – активное сопротивление отвечает за
потерю мощности в цепи.
X – реактивное сопротивление, определяет
величину энергии пульсирующей в цепи с
27
частотой 2ω.
Резонанс напряжений (последовательный резонанс)
При последовательном
соединении R, L, С, при
L 
рез    2
2
0
2
1
C
– наблюдается резонанс.
При этом угол
сдвига фаз между током и
напряжением обращается
в нуль (φ = 0) и
Z R
Тогда
U  U R , а UC и UL одинаковы по амплитуде
и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется
28
резонансом напряжения или последовательным резонансом.
U L рез  U C рез
L
1 L

Im 
U m  QU m
C
R C
Таким образом, при последовательном резонансе,
на ёмкости можно получить напряжение с амплитудой
QU  U
в узком диапазоне частот.
Этот эффект широко используется в различных
29
усилительных устройствах.
Резонансом токов (параллельный резонанс).
В цепях переменного тока содержащих
параллельно включенные ёмкость и индуктивность
наблюдается другой тип резонанса:
I1  I m1 cos(t  1 )
I2=Im2 cos(ωt - φ2)
  ðåç 
1
LC
1  2  
I mC  0
I mL  
30
При R = 0, L = 0:
Um
I m1 
1 / C
I1  I m1 cos(t  1 )
(4.4.6.)
tg φ1 = - ∞ т.к. φ1 = (2n +3/2 )π,
где n = 1,2,3….
Аналогично, при R =0, C =∞: I2=Im2 cos(ωt - φ2)
(4.4.7)
Im2 = U /ωL
tg φ2 = +∞ , т.е. φ2= (2n + 1/2 ) π
где n = 1,2,3…..
1  2  
31
Из сравнения (4.4.6) и (4.4.7) вытекает, что
разность фаз в ветвях цепи 1  2  
т.е. токи
противоположны по фазе
I m  I m1  I m 2
Если
то
1
 U m C 
L
  ðåç 
I m1  I m 2
и
1
LC
(4.4.8)
,
Im  0
Ёмкость конденсатора можно подобрать так, что в
результате резонанса ток в подводящих цепях резко32
уменьшается, зато ток через индуктивность возрастёт
  ðåç 
1
LC
Явление уменьшения амплитуды тока во внешней
цепи и резкого увеличения тока в катушке
индуктивности,
при
приближении
частоты
приложенного напряжения ω к ωрез называется резонансом
токов, или параллельным резонансом
(Используется в резонансных усилителях, приемниках,
а также в индукционных печах для разогрева металла).33
4.5 Работа и мощность переменного тока
1. При наличии только активного сопротивления:
(вся работа переходит в тепло):
Напряжение на концах участка цепи: U = U0 sin t
Переменный ток в цепи: I = I0 sin t
Мгновенное значение мощности: Pt = IU = I0 U0 sin2 t
34
Работа переменного тока за dt:
A = Pt dt = Im Um sin2 t dt
Работа переменного тока за период Т:
1
А  I mU mT
2
1
Cредняя мощность  P   I mU m или
2
1 2
 P   RIm
2
Действующие (или эффективные) значения тока и
напряжения:
Im
I
2
Um
U
2
35
При наличии реактивного сопротивления
- колебания
мгновенной
мощности с
переменой знака
(средняя
мощность
уменьшается)
1
Работа переменного тока за период Т: À  I mU mTcos 
2
Cредняя мощность:
ÀÒ 1
P
 I mU m cos
Ò 2
Cos  - коэффициент мощности.
При сos  = 0 Р = 0
Колебания
механические
Дифференциальное уравнение
Масса
Коэффициент
жесткости
Смещение
Скорость
электромагнитные
R
1
r
k



q0
x  x  x  0 Дифференциаль- q  q 
L
LC2
m
m2
ное уравнение
q  2q  0 q  0
x  2 x  0 x  0
m
k
x  xm sin( t   )
  dx / dt
Индуктивность
катушки
L
Обратная
величина емкости
1
C
Заряд
q  qm sin( t   )
Сила тока
I  dq / dt
q 2 CU 2
W

2C
2
Потенциальная
энергия
kx 2
W
2
Энергия электрич.
поля
Кинетическая
энергия
m 2
K
2
Энергия
магнитного поля
LI 2
K
2
Собств. частота
пружинного
маятника
0 
Собств. частота
колебательного
контура
Период колеб.
Формула Томсона
T  2 m / k
Период колебаний
Циклич. частота
затухающих
колебаний
k
m
k  r 


m  2m 

Коэффициент
затухания

2
r
2m
Циклич. частота
затухающих
колебаний
A(t )
  ln
 T
A(t  T )
Логарифмич.
декремент
затухания
Добротность
пружинного
маятника
 1
Q 
km
 r
Добротность
колебательного
контура

 02  2 2
ðåç
Резонансная
частота
1
LC
T  2 LC
1
R2
 2
LC 4 L

Коэффициент
затухания
Логарифмич.
декремент
затухания
Резонансная
частота
0 

R
2L
C
  T  πR
L
Q

 1 L

 R C
 02  2 2
ðåç
39