Уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнения:
2х + 3у = 8
х * у =12
-7х + у = 5
5z + у2 = -9
х2 + у2 = 20
Все приведенные примеры являются уравнениями с двумя переменными.
Определение: Линейным уравнением с двумя переменными называется
уравнение вида ах + ву = с, где х и у – переменные, а , в и с- некоторые числа.
Примеры линейных уравнений с двумя переменными:
1.
5х + 2у = 10
5.
8х + 3у = 1
2.
2х + 3у =8
6.
х – 5у = -3
3.
-7х + у = 5
7.
0х – 3у =7
4.
х–у=5
8.
4х
+
0у
=
-1
Определение: Если в уравнении ах + ву = с; а /= 0, в /= 0, то его называют
уравнением первой степени с двумя переменными.
Среди линейных уравнений первые шесть также являются уравнениями
первой степени с двумя переменными.
Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара
значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнение х – у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное равенство, т. к.
8 – 3 = 5, значит, пара значений (8; 3) является решением этого уравнения,
другими словами, на первом месте пишется значение переменной х, а на втором
переменной у.
Определение: Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными
обладают теми же свойствами, как и уравнения с одной
переменной:
1. если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив
его знак, то получится уравнение, равносильное данному ;
2. если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное
от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .
Например, уравнение 8х = 7 + 3 * (1 – 2у) можно преобразовать так:
8х = 7 + 3 * 1 – 3 * 2у;
(1)
8х = 7 + 3 – 6у;
8х = 10 – 6у,
если разделить обе части на 2, получим:
4х = 5 – 3у;
4х + 3у = 5;
3у = 5 – 4х;
У 
5 4
 Х.
3 3
Уравнение
у 
(2)
(2)
равносильно
уравнению
(1).
Пользуясь
формулой
5 4
 х , можно найти бесчисленное множество решений уравнения (1). Для
3 3
этого достаточно взять произвольное значение х и вычислить соответствующее
ему значение у.
Например,
если х = 0, то у =
5 4
5
2
 *0   1 ;
3 3
3
3
если х = 3, то у =
5 4
5
1
 * 3   4  2 ;
3 3
3
3
2
3
1
3
Пары чисел (0; 1 ); (3; -2 ) – решения уравнения (1).
Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными х и у,
изображается в координатной плоскости точкой и координатами (х; у): х –
абсцисса, у – ордината.
Определение: Графиком уравнения с двумя переменными называется
множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются
решением этого уравнения.
Выясним, что представляет собой график линейного уравнения
3х + 2у = 6.
(3)
Выразим переменную у через х:
2у = 6 – 3у;
у = 3 – 1,5х.
(4)
Уравнения (3) и (4) равносильны. Найдем несколько решений уравнения (4):
х
0
1
2
3
4
-1
-2
у
3
1,5
0
-1,5
-3
4,5
6
Все полученные решения (0; 3), (1; 1,5), (2; 0), (3; -1,5), (4; -3), (-1; 4,5), (-2; 6)
лежат на прямой.
Итак, графиком линейного уравнения является прямая, значит, достаточно
находить только два решения линейного уравнения с двумя переменными.
Y
3
2
1
x
-3 -2 -1
1 2 3
-2
-3
3x+2y=6
Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными:
1.
Выразить из данного уравнения одну из переменных через другую;
2.
Найти любые два решения уравнения;
3.
Записать координаты точек, через которые проходит график;
4.
Изобразить найденные точки в системе координат и провести прямую.
Пример:
Построим график уравнения 0,5х = -1,5.
Это уравнение можно записать в виде 0,5х + 0у = -1,5. Выразим х: х = -3, т.
е. решениями данного уравнения служат пары чисел, в которых х = -3, у –
произвольное число. График уравнения является прямая, проходящая через точку
(-3; 0) и параллельную оси у.
y
0,5x=-1,5
3
2
1
x
-3 -2 -1
1 2 3
-2
-3
Задания к теоретическому материалу:
1. Являются ли указанные уравнения линейными уравнениями с двумя
переменными:
а) х2 – 2у = 3;
в) ху + 2х = 9;
б) 3х – у = 17;
г) 13х + 6у = 0?
2. Является ли пара чисел х = 5 и у = -2 решением уравнения: 5х – 2у = 10?
3. Найти какие–то два решения уравнений:
а) 2х + у = 7;
б) 2х – 3z = 10.
4. Замените звездочки числами так, чтобы пары (1; *), (2; *), (*; 2), (*; 0)
удовлетворяли уравнению х + 3у = 10.
5. Найти пару одинаковых чисел, которые являются решением уравнения х +
3у = 36.
6. Найти значение коэффициента в уравнении ах + 5у = 1, если пара х = 3,
у = -4 является решением этого уравнения.
7. Из линейного уравнения 4х – 3у = 12 выразите:
а) у через х;
8.
б) х через у.
Из линейного уравнения 2u + v = 4 выразите:
а) переменную v через u;
б) переменную u через v.
9. Выразите из данного уравнения переменную у через х. Используя
полученную формулу, найдите какие-нибудь решения:
а) х + у = 27;
б) 2х – у = 4,5.
10.Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными,
решением которого служит пара чисел: х = 2; у = 4,5.
11.Имеет ли решения уравнения с двумя переменными:
а) х2 + у2 = -1;
б) х2 + 3у2 = 0;
в) (5 – х)2 + (у – х)2 = 0?
12.Принадлежат ли точки А(4; 1), В(1; 3), С(-6; -7,5) графику уравнения
3х + 4у = 16?
13.Постройте график уравнения:
а) 2х – у = 6;
б) 1,5х + 2у = 3;
в) х + 6у = 0.
14.Постройте график уравнений:
а) х – у – 1 = 0;
б) 2 * (х – у) + 3у = 4;
в) (х + у) – (х – у) = 4.
15.На прямой, являющейся графиком уравнения 21х – 5у = 100, взята точка,
абсцисса которой равна 3. Найти ординату этой точки.
Ответы для самоконтроля:
1. Линейными являются уравнения б; г.
2. Если х = 5у = -2, то 5 * 5 – 2 * (-2) = 29 = 10, т.е. указанная пара не является
решением.
3. а) у = 7 – 2х
б) 2х = 10 + 3z; х = 5 + 1,5z.
х
0
1
х
5
8
у
7
5
z
0
2
Решения (0; 7), (1; 5).
Решения х = 5; z = 0 или х = 8; z = 2.
4. х + 3у = 10
х + 3у =10
3у = 10 – х
х = 10 – 3у
х
1
у
3
у= 3
1
1

х
3
3
2
х
4
10
2
3
у
2
0
2
2
3
Ответ: 3; 2 , 4; 10 соответственно.
5. х + 3у = 36.
Пусть (с; с) – искомая пара чисел; она удовлетворяет данному уравнению,
поэтому с + 3с = 36, т. е с = 9
Ответ: (9; 9).
6. ах + 5у = 1.
Если х = 3, у = -4, то 3а – 20 = 1
3а = 21
а=7
Ответ: а = 7.
7. а) у =
4
х – 4;
3
8. а) v = 4 – 2u;
9. а) у = 27 – х
б) х = 3 +
3
у.
4
б) u = 2 -
1
v.
2
(1; 26), (2; 25), (5; 22)
б) у = 2х – 4,5
(0; -4,5), (1; -2,5), (2; -0,5).
10.2х + 5у = 26,5
11.а) решений нет.
б) х2 = у2 = 0, т. е. х = у = 0;
5  х  0
 у  3х  0
(0; 0) – решение.
х  5

 у  15
в) 
(5; 15) – решение.
12.Графику принадлежит точка А.
13.а) у = 2х – 6
х
0
2
у
-6
-2
А (0; -6), В(2; -2).
y
3
2
1
x
-3 -2 -1
-2
-3
-4
-5
-6
2x-y=6
1 2 3
B(2;-2)
A(0;-6)
б) – г) у = 1,5 – 0,75х
y
1,5y=6
4
x+6y=0
x
1,5x+2y=3
14.
y
(x+y)-(x-y)=4
2
1
x
1
x-y-1=0
15. Если х = 3, то
2(x-y)+3y=4
21 * 3 – 5у = 100
-5у = 100 – 63
у = 37 : (-5)
у = -7,4
Контролирующий тест:
1. Какое из указанных уравнений является линейным:
а) ху + 2 = 0;
б) 2х + 3у = 5;
в) х2 + у = -2?
2. Какие из пар чисел является решением уравнения 5х – 4у = 7:
а) А (0; -1,75);
б) В (1; 2);
в) С (0; 3)?
3. Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется:
а) две точки координатной плоскости;
б) отрезок;
в) прямая.
4. Выразите из уравнения 3з – 2у = 6 переменную у через х.
а) у = 2х – 5;
б) у = 1,5х – 3;
в) у = 3х + 2.
5. Выразите переменную х через у из уравнения 7х – 8у = 15:
а) у =
15
8

у;
7
7
б) х =
15
8

у;
7
7
в) х = 15 + 8у.
6. Построить график уравнения: 2х + у = 8.
Y
Y
A(2;4)
A(2;3)
B(4;2)
B(3;2)
1
1
x
-1
1
x
1
2x+y=8
2x+y=8
:
Задача: сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 2. Найти эти числа.
Обозначим первое число буквой х, а второе буквой у. По условию задачи
сумма чисел равна 12, т. е. х + у = 12.
Так, как разность чисел равна 2, то х – у = 2.
Мы составили два уравнения с двумя переменными. Чтобы ответить на
вопрос задачи, надо найти такие значения переменных, которые обращают в
верное равенство каждое из уравнений х + у = 12 и х – у = 2, т. е. найти общие
решения этих уравнений. В таких случаях говорят, что требуется решить систему
уравнений.
Систему уравнений принято записывать с помощью одной скобки:
 х  у  12

х  у  2
Пара значений переменных х = 7, у = 5 служит решением каждого уравнения
системы, т. к. оба равенства 7 + 5 = 12 и 7 – 5 = 2 являются верными.
Определение:
Решением
системы
уравнений
с
двумя
переменными
называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в
верное равенство.
Решить систему уравнений значит найти все ее решения или доказать, что
решений нет.
Существует три способа решений систем уравнений с двумя переменными:
1. графический;
2. способ подстановки;
3. способ сложения.
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки нужно:
1. выразить из какого - нибудь ее уравнения одну переменную через другую;
2. подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной
полученное выражение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти соответствующее значение второй системы.
2 х  у  11
5 х  2 у  41
Пример: Решить систему уравнений: 
Решение:
а) Выразим из первого уравнения переменную у через переменную х и подставим
полученное выражение в другое уравнение:
 у  11  2 х

;
5 х  22  4 х  41
 у  11  2 х

5 х  2 * (11  2 х)  41
б) Решением получившегося уравнения с одной переменной:
 у  11  2 х

9 х  41  22
 у  11  2 х

х  7
 у  11  2 х

9 х  63
в) Найдем соответствующее значение второй переменной:
х  7

 у  11  *7
х  7

 у  3
Ответ: (7; -3).
Итак, способом подстановки удобно пользоваться тогда, когда коэффициент
при какой – либо переменной в уравнении равен 1 или (-1).
Если в уравнениях системы ни один из коэффициентов не равен  1, то
иногда используют способ сложения.
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом сложения:
1. умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы
коэффициенты при одной из переменных стали противоположными
цифрами;
2. складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3. решают, получившиеся уравнение с одной переменной;
4. находят соответствующее значение второй переменной.
2 х  5 у  15
3 х  8 у  1
Пример: Решить систему уравнений: 
Решение:
а) Умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2).
2 х  5 у  15

3х  8 у  1
*3
* ( 2)
6 х  15 у  45

 6 х  16 у  2
б) Сложим почленно левые и правые части и решим полученное уравнение:
- у = 47;
у = - 47.
в) Найдем значение второй переменной, подставив полученное значение в одно из
уравнений данной системы:
2х + 5 * (-47) = 15;
2х = 15 + 235;
2х = 250;
х = 125.
Ответ: (125; -47).
Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными графическим
способом:
1. Построить в одной системе координат графики обоих уравнений системы.
2. Найти точку пересечения графиков и записать ее координаты.
3. Записать ответ
Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя
переменными:
1. Если
отношение
коэффициентов
при
одноименных
переменных
и
свободных членах не равны между собой, то прямые – графики данных
уравнений – пересекаются, т. е. система имеет единственное решение.
2. Если отношение коэффициентов при одноименных переменных равны, но
не совпадают с отношением свободных членов, то прямые параллельны, а
система не имеет решения.
3. Если
отношение
коэффициентов
при
одноименных
переменных
и
свободных членах равны, то прямые совпадают, а система имеет
бесчисленное множество решений.
Практические занятия:
1. Решить системы уравнений всеми способами:
а)
12 х  3 у  5

6 у  24 х  10;
х  у  0
б) 
2 х  3 у  5
6 х  3 у  4
в) 
 у  2х  5
4 х  3 у  1
г) 
10 х  4 у  1;
 х  3 у  12
д) 
2 х  4 у  90;
2 х  5 у  15
е) 
3х  8 у  1;
3 * ( х  5)  1  6  2 х
ж) 
3 * ( х  у )  7 у  4
Ответы для самоконтроля:
а) решений нет;
б) (-1; -1);
в) решений нет;
г) (0,5; 1);
д) (31,8; 6,6);
е) (125; -47);
ж) (4,4; 1,72).