Применение решения задач на проценты.

Решение задач
на проценты
Подготовила: Шишеня Екатерина
ученица 11 класса А
МБОУ СОШ №40 г.Смоленска
Научный руководитель: Мурасёва Ж.В.
Цель:
научиться решать сложные и простые задачи
на проценты, так как они входят в ЕГЭ.
Задачи:
 вспомнить основные соотношения и
выражения для решения простейших задач;
 научиться решать задачи на растворы и смеси,
переливания, на сложные проценты(цена, банк,
рост населения и т.д.), задачи о вкладах и
займах;
 подготовиться к ЕГЭ.
Процент - это одно из математических понятий.
Слово процент происходит от латинского pro centum,
что означает «от сотни» или «на 100»
Например. Из каждых 100 участников лотереи
7 участников получили призы.
7% - Это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

В простейших задачах на проценты
некоторые величина а принимается за
100%, а ее часть b выражается p%.
100% - a
p% - b
100% - a
P% - b




Основные соотношения и выражения при
решении задач на проценты.
1.Предложение «Число a увеличили на p %»
представляется выражением a(1+0,01p).
2. Предложение «Число a увеличили
сначала на p%, а потом еще на q%»
представляется выражением
a(1+0,01p)(1+0,01q).
3. Предложение «Число a уменьшили на
p%» представляется выражением a(10,01p).
4.Предложение «Число a увеличили на p%,
а потом уменьшили на q% » представляется
выражением a(1+0,01p)(1-0,01q).

Чтобы найти процент от числа, надо это
число умножить на соответствующую
дробь.
p
b  a
100
Например. 20% от 45кг сахара
равны 45·0,2=9 кг.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть,
соответствующую этому проценту, разделить на
дробь.
p
a b:
100
Например. Если 8% от длины бруска
составляют 2,4см, то длина всего
бруска равна 2,4:0,08=30см
100%
8%

Чтобы узнать, сколько процентов одно число
составляет от второго, надо первое число
разделить на второе и результат умножить на
100%.
b
p   100(%)
a
Например. 9г соли в растворе
массой 180г составляют
9:180·100%= 5%.
18 0
9


Впервые учащиеся средней школы
встречаются с понятием процента в 5
классе. Там рассматриваются простейшие
задачи на нахождение процента от числа и
нахождение числа по его проценту.
В 6 классе отрабатывается умение находить
процент от числа на простейших задачах
типа « Сколько квадратных метров
составляют 1% гектара, 35% ара и т.д .

В теме «Нахождение числа по его дроби»
рассматриваются задачи «35% от 128,1
составляют 49% неизвестного числа.
Найдите это число» (№660) и «Овощная
база в первый день отпустила 40% всего
имевшегося картофеля, а во второй день –
60% остатка, а в третий день – остальные 72
т. Сколько тонн картофеля было на базе?»
(№662) или «В школе учатся 360 девочек.
Сколько учащихся в школе, если мальчики
составляют 52% всех учащихся?» (№1527).
В 7 классе (учебник «Алгебра 7» под
редакцией С.А.Теляковского) нам
предложены такие задачи на проценты как:
№18. За несколько книг уплатили 320 р.
Стоимость одной из книг составила 30%,
другой 45% израсходованных денег. На
сколько рублей первая книга дешевле
второй?
№19. Площадь участка поля 80 га. Первый
тракторист вспахал 40% этого участка, а
второй 60% оставшейся части. Кто из них
вспахал больше и на сколько гектаров?
№20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц
пшеницы. Применение интенсивной технологии
позволило увеличить производство пшеницы на
той же площади на 25 %. Сколько центнеров
пшеницы с гектара стали собирать на поле?
№45. После того как из бидона отлили 30%
молока, в нем осталось 14л. Сколько литров
молока было в бидоне первоначально? Решение:
пусть первоначально в бидоне было 100%-х л
После того как из него отлили 30 % молока: 70%14л
Отсюда, 0,7х=14, х=20, 20 литров молока было
первоначально в бидоне.
Ответ:20 л.
В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из
них на смеси (№630), три - на сплавы и одна
задача на работу:
№630. В водный раствор соли добавили 100г
воды. В результате концентрация соли в
растворе понизилась на 1%. Определите
первоначальную массу раствора, если известно,
что в нем содержалось 30 г соли.
№631. Сплав золота и серебра содержал 40г
золота. После того как к нему добавили 50г
золота, получили новый сплав, в котором
содержание золота возросло на 20%. Сколько
серебра было в сплаве?
№718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг
цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате
содержание меди в сплаве понизилось на 26%.
Какова была первоначальная масса сплава?
№722. Два слесаря получали заказ. Сначала 1 ч.
Работал первый слесарь, затем 4 ч они работали
вместе. В результате было выполнено 40% заказа.
За сколько часов мог выполнить заказ каждый
слесарь, если первому для этого понадобилось
бы на 5 ч больше, чем второму? Хотя эту задачу
нужно всё таки на совместную работу,
проценты здесь упоминаются вскользь.
Рассмотрим задачи, которые используются в 9
классе.
№340 (учебник «Алгебра 9» под редакцией
С.А.Теляковского)
Два сосуда были наполнены растворами соли,
причем в первом сосуде содержалось на 1 л
меньше раствора, чем во втором. Концентрация
раствора в первом сосуде составляла 10%, а во
втором - 29%. После того как растворы слили в
третий сосуд, получили новый раствор,
концентрация которого составила 16%. Сколько
раствора было в каждом сосуде первоначально?
№477. К раствору. Содержащему 50г соли,
добавили 150 г воды. После этого его
концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько
воды содержал раствор и какова была его
концентрация?
И в конце ученика еще три задачи на проценты:
№968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под
пшеницу – 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали
2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%,
а пшеницы – на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше,
чем в прошлом году. Какова урожайность каждой культуры в
этом году?
Решение: Пусть х ц/га урожайность ржи, а пшеницы – у ц/га в
прошлом году, тогда в прошлом году собрали 20х ц ржи и 30 у
ц пшеницы. Так как всего в прошлом году собрали 2300 ц, то
составим уравнение : 20х + 30У = 2300. В этом году
урожайность ржи составила 1,2х ц/га и пшеницы – 1,3у ц/га,
причем всего ржи собрали 1.2х*20 =24х ц, а пшениц – 1.3у *30
=39у ц.Так как в этом году собрали на 610 ц больше, то
составим уравнение: 24х + 39у =2300 + 610.Составив и решив
систему двух уравнений получим у=50, х =40, тогда 1.2х=48,
и 1.3у = 65. Ответ:48ц, 65 ц.
№970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый
содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком
соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы
получить сплав, содержащий 79% меди?
Решение: пусть масса первого сплава – х, а второго – у,
а содержание меди в них соответственно 0,67х и
0,87у, тогда масса полученного сплава х + у, а меди в
нем – 0,79(х + у). Так как масса меди не изменилась,
то 0,67х + 0,87у = 0,79(х + у). Преобразовав
уравнение получим 0,08у = 0,12х, отсюда получим, что
х:у =0,08 : 0,12 т.е. х : у = 2 :3.
Ответ: 2:3.
№971. Смешали два раствора соли. Концентрация
первого составляла 40%, а концентрация второго –
48%. В результате получился раствор соли
концентрацией 42%. В каком отношении были взяты
первый и второй растворы?
Рассуждая аналогично задачи 970 получим, что растворы
нужно взять в отношении 3 : 1.
РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И
СМЕСИ
Для решения задач этого типа удобно
использовать таблицу
Раствор Масса 1-й компонент
(смесь) раствора
(смеси)
2-компонент
%
масса
%
концен
концент
трации
рации
масса
10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди,
причем все серебра составляет 14 % веса меди.
Сколько серебра в данном сплаве?
Решение:
Пусть х кг меди в сплаве, тогда серебра в нем х*14
/100=х/7(кг).
Т.к. масса сплава 2 кг, то составим уравнение и решим
его:
х+х/7=2
7х+х=14
8х=14
Х=1,75кг
х/7=1,75/7=0,25кг
Ответ:0,25кг.
При решении задач можно пользоваться
соотношениями:
1.Приняв от клиента сумму под а %
годовых, банк должен выплатить
клиенту через 1 год сумму
S0(1+а*0,01)
2.Получив в банке кредит на сумму
под а % годовых, клиент должен
выплатить банку через 1 год сумму
S0(1+а*0,01)
3.Вкладчик положил в банк
100 000руб. из расчета 21%
годовых. Через полгода он снял
деньги. Сколько денег было выдано
вкладчику?
Решение:
Sn=100000*(1+0,21)0,5=100000*1,1=
110000(руб.)
Ответ:110000рублей.
4.Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20%
рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов
увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?
Решение:
Пусть S-объем продукции, которую выполняют все рабочие по плану и 1,34S
объем продукции, которую они выполняли в действительности. Тогда
0,2S- объем продукции, которую должны были выпустить 20% рабочих и
0,8S-остальные.0,2S(1+50*0.01) - объем продукции, которую выпустили
20% рабочих в действительности. Пусть на х % увеличили выпуск
продукции 80% рабочих, тогда 0,8S(1+х*0,01)-объем продукции, который
они выпустили. Т.к. всего выпустили 1,34S, то:
0,2S(1+0,5)+0,8S(1+х*0,01)=1,34S
0,3S+0,8S(1+х*0,01)=1,34S
S(0,3+0,8+0,008х) =1,34S
1,1+0,008х=1,34
0,008х=0,24
х=30На 30% увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха.
Ответ:30%.
5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%.
Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а
остальные - во второй. Через 2 года суммарное число
вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег
положил вкладчик в первый банк?
Решение:
Пусть х рублей вкладчик положил в первый банк и у
рублей - во второй., тогда через 2 года у него будет:
х(1+0,6)2+у(1+0,4)2=2(х+у)
1,62х+1,42у=2х+2у
2,56х+1,96у=2х+2у
0,56х=0,04у
х/у=0,04/0,56
х/у=1/14, т.е. х составляет одну часть, а у-14 частей.
Всего денег 15 частей, значит, х составляет 1/15часть.
Ответ:1/15.
1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного
третьего равна 95. Третье число на 25%
меньше первого, а второе на 50% больше
первого. Найдите третье число.
Решение:
Пусть х- третье число, тогда первое число
100х/75=4/3х, а второе 4/3х*1,5=2х
4/3х+2х+3х=95
19/3х=95
х=15
15-третье число.
Ответ:15.
2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны
меньшему числу. Найдите число, которое на 35%
больше большего из этих чисел.
Решение:
Пусть х - первое число(меньшее), а (96-х) второе.
Тогда:
0,25(96-х-х)=х
96-2х=4х
6х=96
х=16
96-16=80
1,35*80=108
108-искомое число.
Ответ:108.
3.Цена товара после 2-х последовательных
снижений со 125 до 80 рублей.
На сколько процентов снижалась цена товара
каждый раз?
Решение:
Sn=S0(1 а*0,01)n
80=125(1-а*0,01)2
(1-а*0,01)2=0,64
1-а*0,01=0,8
а*0,01=0,2
а=20
На 20% цена товара снижалась каждый раз.
Ответ:20%.
4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%,
затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В
результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше
первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное
снижение цены?
Решение:
Пусть S0- начальная цена, тогда конечная цена товара
S0(100%-19%)/100= 0,81 S0 и на а % дважды понижалась цена, тогда
по формуле повышения/понижения процентов имеем:
S0(1+44*0,01)(1-а*0,01)2=0,81 S0
1,44 S0(1-а*0,01)2=0,81 S0
(1-а*0,01)2=81/144
(1-а*0,01)=9/12
а*0,01=3/12
а*0,01=0,25
а=25%
На 25 % производилось 2-кратное понижение цены.
Ответ: 25%.
5.После двух последовательных снижений цен на одно и
то же число процентов цена одной упаковки лекарства
снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов
снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз?
Решение:
192=300(1-а*0,01)2
(1-а*0,01)2=192/300
(1-а*0,01)2=0,64
(1-а*0,01)=0,8
а*0,01=0,2
а=20%
На 20% снижалась цена одной упаковки лекарства
каждый раз.
Ответ:20%
6.Население города за два года увеличилось
со 20000 до 22050 человек.
Найдите средний ежегодный процент роста
населения города.
Решение:
20000(1+а*0,01)2=22050
(1+а*0,01)2=441/400
(1+а*0,01)=21/20
а*0,01=0,05
а=5%-средний ежегодный процент роста
населения города.
Ответ:5%.
1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких
трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры
в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для
подготовки к ЕГЭ).
Решение:
Пусть первая цифра числа х, вторая цифра у, а третья цифра z.
Т.к. мы используем десятичную позиционную систему счисления, то заданное число
равно 100х+10у+z.
Если переставить третью цифру в начало числа, то новое число запишется в виде
100z+10х+у.
Увеличение положительного числа на р % равносильно умножению его на
коэффициент k1=1+р/100 , а уменьшение - k2=1-р/100
В нашем случае k1=1+187,5/100=23/8
(100х+10у+z)*23/8=100z+10х+у
2220х+222у-777z=0
222у=777z-2220х
у=3,5z-10х
Если z=4,х=1, у=4
Если z=6, х=2, у=1
z=8, х=2, у=8
144,216,288.
216-искомое число.
Ответ:216.
2.Найдите все двузначные числа , равные
удвоенной сумме своих цифр.
Решение:
Пусть х- число десятков, а у- число единиц,
тогда искомое число 10х+у, по условию
10х+у=2(х+у)
10х+у=2х+2у
8х=у
Число единиц в 8 раз больше числа десятков,
следовательно, это число 18.
Других вариантов нет, т.к. 2*10+16 не
подходит.
Ответ:18.
Выбранная
мною
тема
является
актуальной для выпускников школ. В
процессе выполнения работы я научилась
решать задачи на проценты различных
видов, что помогает мне готовиться к ЕГЭ.
Список литературы.
1.ЕГЭ-2007.Математика. Тренировочные задания /
Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелева, В.В.МирошинМосква.: Просвещение ; Эксмо,2007.-80с.
2.Единственные реальные варианты заданий для
подготовки к единому государственному
экзамену. ЕГЭ-2007. Математика./А.Г.Клово.-М.:
Федеральный центр тестирования,2007.-94с.
3.Научно-методический журнал «Математика в
школе».Главный редактор А.И.Верченко.
Июль/август 1998, №4
4.Демонстрационные варианты единого
государственного экзамена 2007,2008 и 2009
года.
5.Задачник для учебных общеобразовательных
учреждений/Л.И.Зваавич, А.Р.Рязановский,2009.