Полное исследование функции(образец)

СХЕМА ПОЛНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Найти область определения функции.
Исследовать четность и периодичность функции.
Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Найти y  . Определить точки экстремума, интервалы возрастания и
убывания функции.
7. Найти y  . Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости.
8. Построить график функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕР 1. Провести полное исследование и построить график функ5x 2
y

ции
.
x2  9
1) Область определения функции D( y)  ℝ \ {3}.
2) Область определения функции симметрична относительно начала
координат и
5x2
5( x) 2

 f ( x) .
f ( x) 
( x) 2  9 x 2  9
Следовательно, функция четная, и ее график симметричен относительно оси Oy .
3) Функция имеет две точки разрыва: x  3 и x  3 . Определим
тип разрывов:
5x2
5x2
lim f ( x)  lim 2
 lim

x  3 0
x  3 0 x  9
x  3 0 ( x  3)  ( x  3)

  45   45 
5  32
  
 
  
   ,

(
3

0

3
)

(
3

0

3
)
(

0
)

6

0




 
5x2
5x2

lim

x  3 0 x 2  9
x  3 0 ( x  3)  ( x  3)

  45   45 
5  32

  

  
   .

(
3

0

3
)

(
3

0

3
)
(

0
)

6

0






lim f ( x)  lim
x  3 0
1
Итак, точка x  3 является точкой разрыва II рода, прямая x  3 – вертикальная асимптота графика функции.
Учитывая симметрию графика функции относительно оси Oy , для
точки x  3 получаем:
5x2
5x2
lim f ( x)  lim


lim
f
(
x
)

lim
  .
и
x   3 0
x   3 0 x 2  9
x   3 0
x   3 0 x 2  9
Следовательно, точка x  3 тоже является точкой разрыва II рода, прямая x  3 – вертикальная асимптота графика функции.
4) Функция определена при сколь угодно больших x . Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При x   имеем:
 5x2 
f ( x)
5x2

  lim  5   0 ,
k1  lim
 lim

lim
x x
x    ( x 2  9) x
x    x 3  x    x 


 5x2

 5x2 
5x2
lim  2
 0  x   lim 2
 lim  2   5 .
x
x x  9

 x    x  9 x    x 
Следовательно, прямая y  0  x  5 (т.е. прямая y  5 ) является
наклонной асимптотой правой части графика функции. Та же прямая
y  5 будет наклонной асимптотой и для левой части графика функции
(так как график функции симметричен относительно оси Oy ).
b1  lim
 f ( x)  k1  x  
5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью Ox :
5x2
 0 , ⇒ 5x 2  0 ,
y0
⇒ 2
x 9
⇒ x0
Пересечение с осью Oy :
5  02
0
02  9
Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в
начале координат O(0; 0) .
x0
⇒ y
6) Найдем производную функции и критические точки первого рода.
Имеем:
2
2
 5x2  
2
x

(
x

9
)

x
 2x
90 x
  5
y   2


,
2
2
2
2

x

9
(
x

9
)
(
x

9
)


⇒ а) y  0 при x  0 ;
б) y   при x  3  D( y) .
Таким образом, критической точкой первого рода является только
точка x  0 .
2
Критическая точка x  0 и точки разрыва x  3 разбивают область
определения функции на четыре части. Определим знак производной в
каждой из них. Получим:




x
3
3
0
Следовательно, функция возрастает на интервалах (;  3) и
(3; 0) , функция убывает на интервалах (0; 3) и (3;  ) . Точка x  0 –
точка максимума. Максимум функции:
ymax  y (0)  0 .
7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:

90 x  
1  ( x 2  9) 2  x  2  ( x 2  9)  2 x 270 ( x 2  3)




y   2
 90 

,
2
( x 2  9) 4
( x 2  9)3
 ( x  9) 
⇒ а) y  0 при x  D( y ) ;
б) y  при x  3  D( y) .
Таким образом, критических точек второго рода функция не имеет.
Значит, график функции не имеет точек перегиба.
Точки разрыва x  3 разбивают область определения функции на
три части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:



x
3
3
Следовательно, график функции выпуклый на интервале (3; 3) , график функции вогнутый на интервалах (;  3) и (3;  ) .
8) На основании проведенного исследования строим следующий график:
y
5
3
3
3
x
ПРИМЕР 2. Провести полное исследование и построить график функ3
ции y  x3  6x 2 .
1) Область определения функции D( y)  ℝ.
2) Область определения функции симметрична относительно начала
координат, но
f ( x)  3 ( x)3  6( x)2   x3  6x 2 ,
3
⇒ f (  x )  f ( x ) и f (  x)   f ( x ) .
Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси Oy или начала координат.
3) Функция не имеет точек разрыва. Следовательно, график функции
не имеет вертикальных асимптот.
4) Функция определена при сколь угодно больших x . Следовательно, возможно существование наклонных асимптот. При x   имеем:
k1  lim
x3  6 x 2
x3
 x
 lim
 lim    1 ,
x x
x    x 
x
3
3
x 
b1  lim
x
 f ( x)  k1  x  
lim
x

3

x3  6 x 2  1  x 
  6x2 
  2 .
 lim
 lim 
2
2 
x 3 3
x



3
 3x 
x  6 x 2  x  x3  6 x 2  x 2
Следовательно, прямая y  x  2 является наклонной асимптотой
правой части графика функции. Та же прямая y  x  2 будет наклонной
асимптотой и для левой части графика функции, так как при вычислении
x3  6 x 2  x3


x3  6 x 2
k2  lim
и b2  lim  f ( x)  k2  x  мы будем в точности поx
x
x
вторять все действия, выполненные при вычислении k1 и b1 .
3
5) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью Ox :
y0
⇒
3
x 3  6 x 2  0 , ⇒ x 2  ( x  6)  0 ,
⇒ x  0 или x  6 .
Пересечение с осью Oy :
x0
⇒ y  03  6  02  0 .
Следовательно, график функции пересекает обе координатные оси в
начале координат O(0; 0) и пересекает ось Ox еще и в точке A(6; 0) .
3
4
6) Найдем производную функции и критические точки первого рода.
Имеем:
 1 3x 2  12 x
x4
3
y  x 3  6 x 2  

,
3 3 ( x3  6 x 2 ) 2 3 x  ( x  6) 2


⇒ а) y  0 при x  4 ;
б) y при x  0 и x  6 .
Таким образом, критическими точками первого рода являются точки
x  0, x  4, x  6.
Критические точки разбивают область определения функции на четыре части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:




x
6
0
4
Следовательно, функция возрастает на интервалах (; 0) и (4;  ) ,
функция убывает на интервале (0; 4) . Точка x  0 – точка максимума,
точка x  4 – точка минимума. Максимум функции и минимум функции:
ymax  y (0)  0 , ymin  y (4)  3 32  3,2 .
7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:
( x  6) 2  x  2  ( x  6)
2
3
 1  x  ( x  6)  ( x  4) 


3  3 x 2  ( x  6) 4
x4


y 


4
 3 x  ( x  6) 2 
3 2
x  ( x  6)


8

,
3 4
x  ( x  6) 5
⇒ а) y  0 при x  D( y ) ;
б) y  при x  0 и x  6 .
Таким образом, критическими точками второго рода являются точки
x  0, x  6.
Критические точки разбивают область определения функции на три
части. Определим знак второй производной в каждой из них. Получим:



x
0
6
Следовательно, график функции выпуклый на интервале (6;  ) ,
график функции вогнутый на интервале (; 6) . Точка A(6; 0) – точка
перегиба графика функции.
8) На основании проведенного исследования строим следующий график:
5
y
2
0
A
4
6
x
ПРИМЕР 3. Провести полное исследование и построить график функ1
ции y 
.
ln x
1) Область определения функции D( y)  (0;  ) \ {1} .
2) Область определения функции не симметрична относительно начала координат. Следовательно, функция общего вида и ее график не является симметричным относительно оси Oy или начала координат.
3) Функция имеет две точки разрыва: x  0 и x  1 . Определим тип
разрывов:
 1   1 
1
lim f ( x)  lim
 
  
0
x  0
x   0 ln x
ln(

0
)






 1   1 
1
lim f ( x)  lim
 
  
   ,
x 1 0
x 1 0 ln x

0
ln(
1

0
)




 1   1 
1
 
  
   .
x 1 0
x 1 0 ln x

0
ln(
1

0
)


 
Итак, точка x  1 является точкой разрыва II рода, прямая x  1 – вертикальная асимптота графика функции. Точка x  0 является точкой разрыва первого рода.
lim f ( x)  lim
4) Функция определена при сколь угодно больших положительных x .
Следовательно, возможно существование наклонной асимптоты для правой части графика. Имеем:
6
f ( x)
1
1
 lim
    0,
x x
x    x  ln x

1
 1

1
b  lim  f ( x)  k  x   lim 
 0  x   lim
    0.
x
x    ln x
 x    ln x   
Следовательно, прямая y  0  x  0 (т.е. прямая y  0 ) является
наклонной асимптотой правой части графика функции.
k  lim
1
 0 (⇒
ln x
не пересечения с осью Ox ) и 0  D( y ) (⇒ нет пересечения с осью Oy ).
5) График функции не пересекает оси координат, так как
6) Найдем производную функции и критические точки первого рода.
Имеем:
1
 1 
y  
,
 
x  ln 2 x
 ln x 
⇒ а) y  0 при x  D( y ) ;
б) y при x  0  D( y) и при x  1  D( y) .
Таким образом, критических точек первого рода функция не имеет.
Значит, функции не имеет экстремумов.
Точка разрыва x  1 разбивают область определения функции на две
части. Определим знак производной в каждой из них. Получим:


x
1
0
Следовательно, функция убывает на интервалах (0;1) и (1;  ) .
7) Найдем вторую производную функции и критические точки второго рода. Имеем:
1
ln 2 x  x  2  ln x 

1 

x  2  ln x ,
y   


x 2  ln 4 x
x 2  ln 3 x
 x  ln 2 x 
⇒ а) y  0 при x  e2  0,1 ;
б) y  при x  0  D( y) и при x  1  D( y) .
Таким образом, критической точкой второго рода является точка
x  e 2 .
Критическая точка x  e 2 и точка разрыва x  1 разбивают область
определения функции на три части. Определим знак второй производной в
каждой из них. Получим:



2
x
1
0
e
7
Следовательно, график функции выпуклый на интервале
график функции вогнутый на интервалах
(0; e 2 )
и
(1;  ) .
(e 2 ;1) ,
Точка
A(e2 ;  0,5) – точка перегиба.
8) На основании проведенного исследования строим следующий график:
y
x
1
 0,5
A
1
8