пракическая работа последняяx

Практическая работа по теме
"Квадратичная функция"
(алгера 9 класс)
Исполнитель
учитель математики
Виноградненской ОШ І-ІІІ ст.
Новоазовского р-на,
Донецкой обл.
Зинковская Л.И.
2010-2011 у.г.
Содержание работы
1.
Критерии оценивания учебных достижений учащихся при изучении темы
«Квадратичная функция».
2.
Календарно-тематическое планирование по теме.
3.
Справочный материал по теме.
4.
Справочный материал по повторению.
5.
Поэлементный анализ учебных достижений учащихся и повторения по
этой теме.
6.
Варианты ТКР по теме.
7.
Поэлементный анализ заданий соответствующих уровней учебных
достижений.
2
Критерии оценивания учебных достижений учащихся при изучении темы «Квадратичная функция».
Уровни
учебных
достижений
учащихся
Баллы
Критерии оценивания учебных достижений учащихся
1
Ученик (ученица) распознает квадратичный трехчлен, квадратичную функцию, виделив ее среди других;
читает и записывает квадратичный трехчлен квадратическую функцию;
распознает график квадратичной функции.
Ученик (ученица) выполняет одношаговые действия с простейшими математическими выражениями без
объяснения своих действий.
Ученик (ученица) с помощью учителя (или опорного конспета) высисляют значения функции в точке,
характеризует функцию по ее графику, строит график квадратичной функции;
находит с помощью учителя решение систем двух уравнений второй степени с двумя переменными;
I начальный
2
3
II средний
4
Ученик (ученица) формулирует определение квадратного трехчлена, квадратичной функции;
называет формулы корней квадратных уравнений и формулу разложения квадратного трехчлена на множители;
формулирует некоторые свойства квадратичной функции по ее графику;
выполняет построение графика квадратичной функции по образцу;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств по образцу;
находит по образцу решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными;
5
выполняет по образцу задания обязательного уровня.
Ученик (ученица) иллюстрирует определения квадратичного трехчлена и квадратичной функции, правил
разложения квадратичного трехчлена на множители примерами из объяснений учителя или учебника;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств с частичным пояснением;
находит по известным алгоритмам с частичным пояснением решения систем двух уравнений второй степени с
двумя переменными;
6
решает задания обязательного уровня по известным алгоритмам с частичным пояснением.
Ученик (ученица) Ученик (ученица) иллюстрирует определения квадратичного трехчлена и квадратичной
функции, правил разложения квадратичного трехчлена на множители по известным алгоритмам с частичны
пояснением математических действий собственными примерами;
решает задания обязательного уровня с достаточным пояснением;
использует график квадртичной функции для решения квадратичных неравенств с достаточным пояснением;
3
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными с частичным пояснением своих
действий;
III
достаточный
7
записывает математическое выражение, формулу по словесной формулировке и наоборот.
Ученик (ученица) использует определения квадратичного трехчлена, квадратичной функции и их свойства в
знакомых ситуациях;
знает зависимости между элементами математических объектов;
характеризует функцию по ее графику;
строит график квадратичной функции;
описывает преобразования графиков функций: f(x)→f(x)+a; f(x)→f(x+a); f(x)→kf(x); f(x)→ - f(x);
построение графиков функций с использованием необходимых преобразований графиков;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств;
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными без достаточных пояснений;
8
самостоятельно исправляет указанные ему (ей) ошибки;
решает задания предусмотренные программой, без достаточных пояснений.
Ученик (ученица) владеет определенным программой учебным материалом;
решает задания, предвиденные программой, с частичным пояснением;
характеризует функцию по ее графику.
описывает преобразования графиков функций: f(x)→f(x)+a; f(x)→f(x+a); f(x)→kf(x); f(x)→ - f(x);
построение графиков функций с использованием необходимых преобразований графиков;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств с частичной аргументацией;
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными с частичной аргументацией;
составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как математических моделей текстовых задач;
9
частично аргументирует математичесие соображения и решения заданий.
Ученик (ученица) свободно владеет определенные программой учебным материалом;
самостоятельно описывает преобразования графиков функций: f(x)→f(x)+a; f(x)→f(x+a); f(x)→kf(x); f(x)→ - f(x);
выполняет задания в знакомых ситуациях с достаточным пояснением;
исправляет допущенные ошибки;
полностью аргументирует обоснование преобразования графиков функций: f(x)→f(x)+a; f(x)→f(x+a); f(x)→kf(x);
f(x)→ - f(x);
построение графиков функций с использованием необходимых преобразований графиков;
4
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными с достаточным пояснением;
составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как математических моделей текстовых задач;
IV высокий
10
решает задания с достаточным пояснением.
Знания, умения и навыки ученика (ученица) полостью соответствуют требованиям программы, в частности:
ученик (ученица) осознает новые для него (нее) математические факты, идеи, умеет доказывать предусмотренные
программой математические утверждения с достаточным обоснованием;
характеризует функцию по ее графику;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств с полным пояснением и
обоснованием;
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными с полным пояснением и
обоснованием;
составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как математических моделей текстовых задач.
11
под руководством учителя находит источники информации и самостоятельно использует их;
решает задания с полным пояснением и обоснованием.
Ученик (ученица) свободно и правильно излагает соответствующие математические соображения, убедительно
аргументирует их;
характеризует функцию по ее графику;
использует график квадратичной функции для решения квадратичных неравенств в незнакомых для неог (нее)
ситуациях;
самостоятельно находит источники информации и работает с ними;
находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя переменными;
использует приобретенные знания и умения в незнакомых для него (нее) ситуациях;
самостоятельно составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как математических моделей
текстовых задач;
12
знает предвиденные программой, основные методы решения заданий и умеет их использовать с необходимым
обоснованием.
Ученик (ученица) проявляет вариативность мышления и рациональность в выборе способа решения
математической проблемы;
умеет обобщать и систематизировать приобретенные знания;
способен(а) к решению нестандартных задач и упражнений.
5
Календарно-тематичечское планирование по алгебре в 9 класе по теме
«Квадратичная функция»
№
п/п
Тема урока
Количество
Дата
Учебники
Дидактические материалы***
часов
Раздел 1. Квадратичный трехчлен.
Iу р. № № 189-190, 200-207.
1
Квадратный трехчлен и его корни.
1
**§22,
ст. 213
II ур. №№
IIIур. №№ 2919-2924, 2931-2934,
Iу р. № № 217-219
2
Разложение квадратного трехчлена на
линейные множители.
1
**§22,
ст. 213
II ур. 1830, 1831
IIIур.№№2775-2778,
Iу р. № № 227-229, 257, 258
3
Решение упражнений.
1
**§22.
ст. 213
II ур. №№1926-1929
IIIур. №№ 2959-2962,,
Iу р. № №
4
Выделение из квадратного трехчлена
полного квадрата двучлена.
1
**§22,
ст 215
II ур. №№ 1812,1813
IIIур. №№2963-2966
Iу р. № № 1069-1073.
5
Решение упражнений на нахождение
наибольшего и наименьшего значения
квадратного трехчлена.
1
**§22,
II ур. №№1656, 1657
ст. 215
IIIур. №№3200, 3201,
6
Проверочная письменная работа.
1
*§2, ст. 133
Iу р. № №.
II ур. №№3216-3219,
6
∗∗∗∗∗
IIIур. №№
Раздел 2. Квадратичная функция.
I ур. № №861-864, 1014.
7
8
Функции. Возрастание и убывание
функции.
Четные и нечетные функции.
1
1
*§2, ст. 84
*§2, ст. 84
II ур. №№ 2267-2270, 2275-2276
III ур. №№ 3244-3253, 3260-3264, 3387-3390,
Iу р. № № 911-913, 1022.
II ур. №№2241-2246
I ур. № №1107-1113, 1128,1132..
9
Прстейшие преобразования графиков
функций.
1
Квадратичная функция: график и свойства
10
функции у=ах2.
1
2
11 Функция у=аx +n. график и свойства
1
*§
II ур. №№2241-2244
*§2, ст.86
III ур. №№3411-3416,
Iу р. № № 981-986, 1124.
III ур.№№3321-3324,
I ур. № № 1111, 1114, 1126, 1129.
*§2, ст.88
II ур. №№ 2377-2380
III ур. №№3381-3388,
I ур. № № 1116, 1117, 1121, 1125.
12
Функция у=а(x+n2). график и свойства
1
13 Использование свойств квадратичной
функции в строительстве и архитектуре.
1
14 Контрольная работа.
1
15 Квадратичные неравенства.
*§2, ст. 90
*§2, ст.84-91
*§2, ст.84-91
IIу р. №№2409-2412
III ур. №№3405-3410,
II ур. №№2415,2416
III ур. №№3433-3435,
II ур. №№2393-2400
III ур. №№3444-3447,
Раздел 3. Квадратичные неравенства.
I ур. № №800-801, 812, 814.
1
*§2, ст. 102
7
II ур. №№2149-2158, 2209=2214
III ур. №№3144-3149, 3160-3165,
I ур. № №802, 809, 810 .
1
16 Метод интервалов.
*§2, ст. 112
II ур. №№2169=2174, 2219-2222
III ур. №№3168-3173, 3264-3267,
I ур. № №815, 816 .
1
17 Решение упражнений.
*§2, ст. 116
II ур. №№2175-2182,2223,2224
III ур. №№3180-3189,
I ур. № №806, 807, 819 .
1
18 Решение упражнений.
1
19 Решение систем неравенств.
1
20 Контрольная работа.
*§2, ст. 119
*§2, ст. 124
*§2, ст. 133
II ур. №№2185-2190
III ур. №№3192—3195,
II ур. №№2229-2232
III ур. №№3202-3205, 3208-3211,
II ур. №№2233, 2234
III ур. №№3232-3237
Раздел 4. Системы уравнений с двумя переменными.
I ур. № №559, 560, 620, 624, 625, 632 .
21 Графический способ решения системы
уравнений.
1
*§2, ст.130
II ур. №№2004-2007
III ур. №№2983-2985,
I ур. № №581, .
22 Решение упражнений.
23 Алгебраические способы решения
1
1
*§2, ст.131
II ур. №№2018-2021
*§2, ст.132
III ур. №№3370-3375,
I ур. № №585, 586, .
8
системы уравнений.
II ур. №№587, 588,
III ур. №№3001-3004,3007-3012,
I ур. № №613-615, 619 .
24 Решение упражнений.
1
*§2, ст.130
II ур. №№2016, 2017, 2022, 2024
III ур. №№3021-3026,
I ур. № №628, 633, .
25 Решение упражнений.
1
*§2, ст. 133
*§2, ст. 133
27 Решение задач.
*§2, ст. 133
28 Решение задач.
*§2, ст. 133
29 Решение задач.
30 Урок обобщения и систематизации
знаний(урок семинар).
1
31 Контрольная работа.
1
*§2, ст.136
*§2, ст. 133
II ур. №№1982-1989
III ур. №№3041-3048,
II ур. №№1996-2001, 2030,2031
III ур. №№3051-3053,
II ур. №№2032, 2035
III ур. №№3054-3056,
II ур. №№2039, 2041
III ур. №№3057-3059,
II ур. №№2028,1676,1979
III ур. №№3061-3064,
II ур. №№1980,1981
III ур. №№3067-3070,
* Мерзляк А.Г., В.Б. Полонский, Якир М.С., Алгебра: ученик для 9 кл. общеобразовательных учебных заведений – К.: Зодіак – ЕКО, 2008. на рус. яз.
**Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: ученик для 7-9 кл. общеобразовательных учебных заведений - К.: Зодіак – ЕКО, 2008. – на рус. яз.
***Федченко Л. Я., Збірник завдань для тематичних і підсумкових атестацій з алгебри для 7 – 9 класів: методичний посібник. – Донецьк: «Каштан»,
2009. – на укр. яз.
9
Справочный материал
по алгебре в 9 классе по теме
“ Квадратичная функция”
І. Квадратичная функція
І.1.Четность функций
Функция f(x) называется четной, если для любого х из области D выполняются равенства: f(–x)=f(x). График четной функции на всей области
определения симметричен относительно оси OY.
График четной функции.
Функция f(x) называется нечетной, если для любого х из области D выполняются равенства: f(–x)=–f(x)
10
График нечетной функции.
Иными словами функция называется нечетной, если ее график на всей области определения симметричен относительно начала координат.
Не следует думать, что любая функция является либо четной, либо нечетной. Область определения функции y=x3+1 охватывает всю числовую ось и
поэтому симметрична относительно начала координат, однако f(–1)≠f(1).
І.2. Нули функции
Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции или значения х при которых функция равна нулю.
11
На показанном на рисунке графике функции y=f(x) видно, что эта функция имеет три нуля: x1, x2, x3. Для нахождения нулей функции нужно решить
уравнение f(x)=0.
І.3. Монотонность функций
Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1<x2, выполняется неравенство
f(x1)<f(x2).
Функция f(x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1<x2, выполняется неравенство
f(x1)>f(x2).
12
Промежутки возрастания и убывания функции.
На показанном на рисунке графике функция y=f(x),
возрастает на каждом из промежутков [a;x1) и (x2;b] и убывает на промежутке (x1;x2).
Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a;x1) и (x2;b], но не на объединении промежутков
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D(f(x)), то уравнение f(x)=const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
Действительно, если x1 < x2 – корни этого уравнения на промежутке D(f(x)), то f(x1)=f(x2)=0, что противоречит условию монотонности.
Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).
Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.
І.4 Преобразование графиков функций
І.4.1. Параллельный перенос
Пусть имеется график функции y=f(x). Зададимся целью построить график функции y=f1(x), где f1(x)=f(x)+B. Ясно, что области определения этих
функций совпадают. Пусть A(x0;y0) – точка на графике функции y=f(x). Соответствующая ей точка A′(x0;y1) с той же абсциссой имеет координаты
A′(x0;y0+B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B>0, и на |B| вниз, если B<0. Обобщая это рассуждение на все
13
точки, приходим к выводу, что график функции y=f(x)+B получается из графика функции y=f(x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх,
если B>0, и на |B| вниз, если B<0. Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой
где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.
Аналогичным образом можно построить график функции y=f(x–b). Точка A′(x′;y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A(x;y), если
x′=x+b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b>0, и влево, если b<0.
График функции y=f(x–b) получается из графика функции y=f(x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b>0, и на |b| влево, если
b<0. Алгебраически это записывается системой:
Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей
старый график.
В общем случае график функции y=f(x–b)+B получается из графика функции y=f(x) параллельным переносом, при котором начало координат O(0,0)
переходит в точку O′(b,B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график
функции y=f(x).
І.4.2. Растяжение и сжатие
Сжатие (растяжение) графика к оси OX задается с помощью системы уравнений
График функции y=Af(x) получается из графика функции y=f(x) растяжением в A раз от оси OX при A>1 и сжатием в раз к оси OX при a>1 и
растяжением в раз от оси OY при 0<a<1.
При a=1 исходный и конечный графики совпадают. При a<0 график не только растягивается (сжимается), но и отражается относительно оси OY.
При A=1 исходный и конечный графики совпадают. При A<0 график не только растягивается (сжимается), но и отражается относительно оси OX.
14
Аналогичным образом задается сжатие (растяжение) графика к оси OY:
График функции y=f(ax) получается из графика функции y=f(x) сжатием в a раз к оси OY.
І.4.3.Общие правила преобразования функций
Правило 1. График функции y=f(x)+n можно построить с помощью параллельного переноса графика y=f(x) вдоль оси Оу на n единиц вверх, если
n>0, или на |n| вниз, если n<0.
Правило 2. График функции y=f(x+m) можно построить с помощью параллельного переноса графика y=f(x) вдоль оси Оx на m единиц влево, если
m>0, или на |m| вправо, если m<0.
Правило 3. График функции y=kf(x) можно построить из графика y=f(x) с помощью растяжения его по оси ординат в
|k| раз, если |k|>1,
или сжатия в
раз,если 0<|k|<1. Если k<0, то после растяжения его нужно отобразить симметрично оси Ох.
Правило 4. График функции y=f(сx) можно построить из графика y=f(x) с помощью сжатия его по оси абсцисс в |с|
раз, если |с|>1, или
растяжения в
раз,если 0<|с|<1. Если с<0, то после сжатиярастяжения его нужно отобразить симметрично оси Ох.
Правило 5. График функции y=|f(x)| можно построить из графика y=f(x), если ту часть графика,которая находится ниже оси Ох, отобразить
симметрично оси Ох. Та часть графика, которая находится выше оси Ох или на ней, остается без изменения.
Правило 6. График функции y=f(|x|) можно построить из графика y=f(x), если ту часть графика,которая находится слева от оси Оу, убрать, а ту часть
графика, которая находится справа от оси Оу или на ней, оставить без изменения и отобразить ее симметрично относительно Оу.
І.4.4. Квадратичная функция у=ах2+bx+c.
2
При а≠0 графиком функции у=ах +bx+c является парабола. Парабола является одним из конических сечений
15
График функции f(x)=ax2+bx+c легко построить из графика функции y=x2 геометрическими преобразованиями, используя формулу
Для этого нужно растянуть график y=x2 в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся
график на
сторону).
𝑏
2𝑎
𝐷
влево и на 4𝑎 вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную
Точка
называется вершиной параболы. Если a>0, то в этой точке достигается минимум функции.
Если a<0, то в этой точке достигается максимум функции.
Функция f(x)=ax2+bx+c при b=0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.
16
ІІ. Квадратичные неравенства
ІІ.1. Понятие квадратичного неравенства.
Квадратичные неравенства — это неравенства вида ах2+bx+c > 0 (вместо знака > могут стоять знаки <, ≤, ≥), где а≠0. Всякое значение переменной,
при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с
переменной – значит найти множество всех его решений.
ІІ.2. Графический способ решения квадратичных неравенств.
Для решения таких неравенств можно применить следующий алгоритм.
1.
Найти дискриминант по формуле D=b2- 4ac.
17
2.
3.
4.
Вычислит корни уравнения ах2+bx+c=0 по формуле 𝑥1 =
−𝑏−√𝐷
2a
, 𝑥2 =
−b+√𝐷
2a
.
Построить (схематично) график функции у=ах2+bx+c, учитывая знак дискриминаннта D и знак коэффициента а.
В зависимости от знака решаемого неравенства найти ответ.
Пример 1. Решить неравенство:
а) х2 - 2х - 3 >0;
б) х2 - 2х - 3 < 0;
2
в) х - 2х - 3 > 0;
г) х2 - 2х - 3 < 0.
Решение,
а) Рассмотрим параболу у = х2 - 2х - 3, изображенную на рис. 117.
Решить неравенство х2 - 2х - 3 > 0 — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.
Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.
Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-∞; - 1), а также все точки открытого луча (3; +∞).
Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (- -∞; - 1) U (3; +∞ ). Впрочем, ответ можно записать и так:
х < - 1; х > 3.
б) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0, или у < 0, где у = х2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3.
Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (— 1, 3).
в) Неравенство х2 - 2х - 3 > 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. точки х = 1 и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-∞; - 1], а также все точки луча [3 ;+∞).
г) Неравенство х2 - 2х - 3 < 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 - 2х - 3 = 0, т. е. х = -1 и х =
3. Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [-1, 3].
18
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной
функции у = ах2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти
корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот
схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.
Пример 2. Решить неравенство - 2х2 + Зх + 9 < 0.
Решение.
1) Найдем корни квадратного трехчлена - 2х2 + Зх + 9: х1 = 3; х2 = - 1,5.
2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и - 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку
старший коэффициент — отрицательное число - 2. На рис. 118 представлен набросок графика.
3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на
открытом луче C, +оо).
От вет: х < -1,5;
х > 3.
Пример 3. Решить неравенство 4х2 - 4х + 1 < 0.
Решение.
1) Из уравнения 4х2 - 4х + 1 = 0 находим
.
2) Квадратный трехчлен имеет один корень
; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а
касается ее в точке
. Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)
19
3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке
поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.
,
Ответ:
.
На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда
алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.
Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с < 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает
ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси
х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.
Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с > 0 не имеет решений.
20
Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось
х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а
это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.
Пример 4. Решить неравенство:
а) 2х2 - х + 4 >0;
б) -х2+ Зх - 8 >0.
Решение,
а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2 - х + 4. Имеем D = (-1)2 - 4 • 2 • 4 = - 31 < 0.
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.
Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2x2 - х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-00, + 00).
б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена - х2 + Зх - 8. Имеем D = З2 - 4 • (- 1) • (- 8) = - 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1)
отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство — х2 + Зх — 8 0 не
выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.
Ответ: а) (-00, + 00);
б) нет решений.
В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.
Пример 5. Решить неравенство Зх2 - 10х + 3 < 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и
формулой
ах2 + bх + с = а (х - x1)(x - х2),
получим
21
, поэтому воспользовавшись
Зx2 - 10х + 3 = 3(х - 3) (х -
)
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и
(рис. 122).
Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x- >0, а значит, и произведение 3(х - 3)( х -
) положительно. Далее, пусть
Следовательно, произведение 3(х-3)(х- ) отрицательно. Пусть, наконец, х < ; тогда x-3< 0 и x-
< х < 3; тогда x-3< 0, а х-
>0.
< 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)( x - ) положительно.
Подводя итог рассуждениям, приходим к выводу: знаки квадратного трехчлена Зx2 - 10х + 3 изменяются так, как показано на рис. 122. Нас же
интересует, при каких х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения. Из рис. 122 делаем вывод: квадратный трехчлен Зx2 - 10х + 3
принимает отрицательные значения для любого значения х из интервала ( , 3)
Ответ ( , 3), или
< х < 3.
Замечание. Метод рассуждений, который мы применили в примере 5, обычно называют методом интервалов (или методом промежутков). Он
активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В 9-м классе мы изучим метод интервалов более детально.
Пример 6. При каких значениях параметра р квадратное уравнение х2 - 5х + р2 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет -корней?
Решение. Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта D. В данном случае находим D = 25 - 4р2.
а) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если
D>0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 - 4р2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак
неравенства). Получим равносильное неравенство 4р2 - 25 < 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.
Знаки выражения 4(р - 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.
22
Делаем вывод, что неравенство 4(р - 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра
р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.
б) Квадратное уравнение имеет один корень, если D — 0.
Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.
Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.
в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р2 < 0.
Получаем 4р2 - 25 > 0;
4 (р-2,5)(р + 2,5)>0,
откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);
б) при р = 2,5 или р = -2,5;
в) при р < - 2,5 или р > 2,5.
ІІ.3. Решение неравенств методом интервалов.
Алгоритм выполнения методов интервалов
1.
Разложить на множители квадратный трехчлен, используя формулу ах2+bx+c = a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения
ах2+bx+c = 0.
2.
Отметить на числовой оси корни уравнения x1 и x2.
3.
Определить знак выражения a(x-x1)(x-x2) на каждом из получившихся промежутков.
Там, где кривая расположена выше оси Х, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси, левая часть
неравенства отрицательна. Однако метод «кривой знаков» годится без дальнейших оговорок лишь в случае, когда все множители в левой части
имеют первую степень.
4.
Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаком (если знак неравенства <, то выбираем промежутки со знаком «-», если знак
неравенства >, то выбираем промежутки со знаком «+»).
23
III. Системы ураванений с двумя переменными.
III.1. Основные понятия.
Системой уравнений называют набор уравнений с несколькими неизвестными. Решением такой системы называют совокупность значений
неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.
Поиск решения осуществляется такими преобразованиями уравнений системы, при которых множество ее решений не изменяется. Система,
получаемая и исходная система называются равносильными (или эквивалентными). Существуют следующие способы решения систем уравнений:
графический, подстановки, сложения, введения новой переменной.
III.2.Основные методы решения систем уравнений.
III.2.1.Графический способ решения систем уравнений.
Пример1.
Решим систему уравнений
Решим уравнение:
24
И система и уравнение имеют одно решение.
Пример2. Решим систему
Решим уравнение
Уравнение можно привести к виду
И система и уравнение не имеют решения.
Пример 3. Решим систему уравнений
Решим графически уравнение:
Уравнение можно привести к виду
25
Находим координаты точек пересечения графиков. Система и уравнение имеют два решения.
Пример 4. Решим систему уравнений
Решим уравнение
26
Находим координаты точек пересечения графиков. Система и уравнение имеют одно решение.
Пример 5. Решить систему уравнений
Решить уравнение
Находим координаты точек пересечения графиков. Система и уравнение имеют 2 решения.
Пример 6. Решить систему уравнений
Решить уравнение
27
Находим координаты точек пересечения графиков. Система и уравнение имеют 2 решения
Пример 7. Решаем систему уравнений
Решаем уравнение
Система и уравнение имеют 3 решения.
28
III.2.2. Метод замены переменных
Метод замены неизвестных основан на следующем утверждении.
Пусть дана система уравнений
и пусть система
имеет k различных решений
Тогда система (1) равносильна совокупности k систем
Пример 1. Решить систему
Решение.
Произведем замену. Пусть
.
Тогда
Складывая уравнения, получим
Преобразуем первое уравнение:
29
.
Ответ: {(1; 1)}
III.2.3. Способ подстановки.
Суть метода заключается в следующем: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшиеся
уравнения системы.
Пример 1. Решить систему уравнений.
{
ху + у2 = −2,
х − 2у = 7.
Решение.
{
(𝟕 + 𝟐у)у + у𝟐 = −𝟐,
х = 𝟕 + 𝟐у.
𝟐у𝟐 + 𝟕у + у𝟐 = −𝟐,
{
х = 𝟕 + 𝟐у.
𝟐
𝟑у𝟐 + 𝟕у + 𝟐 = 𝟎, у𝟏 = −𝟒, у𝟐 = − 𝟑.
𝟐
х𝟏 = −𝟏, х𝟐 = 𝟓 𝟑.
2
2
Ответ: (-1;-4); (53 ; − 3).
х − у = 1,
Пример 2. Решить систему уравнений. { 1 1 1
− у = 6.
х
Решение.
х = 1 + у,
{ 1 1 1 Подставим выраженное значение х во второе уравнение системы
− х = 6.
у
ОДЗ: у ≠ 0 и у ≠ −1.
6у + 6 − 6у = у(1 + у),
1⋱6(1+у)
у
−
1⋱6у
1+у
=
1⋱у(1+у)
6
;
у2 + у − 6 = 0, у1 = −3, у2 = 2.
х1 = −2,
х2 = 3.
Ответ: (-2;-3); (3;2).
III.2.4. Способ алгебраического сложения
Способом сложения удобно решать системы уравнений, у которых коэффициенты при одной из переменных – противоположные числа.
х2 − 2у2 = 14,
Пример 1. Решить систему { 2
х + 2у2 = 18.
Решение. Сложив почленно оба уравнения системы, получим 22х2 = 32, х2 = 16, х1 = −4, х2 = 4.
30
Применив способ подстановки находим у: у1 = −1, у2 = 1.
Ответ: (-4;-1); (-4;1); (4;-1); (4;1).
Справочный материал по повторению при изучении темы
«Квадратичная функция».
І. Квадратичный трехчлен
І.1. Квадратичный трехчлен
Квадратичным трехчленом называют многочлен вид ax2 +bx+c, де х – змінна, а, b, с – данные числа, 𝑎 ≠ 0.
1 2
Примеры: 4x2 − 5x + 6;
−𝑦 2 + 4y + 7;
𝑧 +z − 1.
2
І.2. Корни квадратичного трехчлена
Корнями и дискриминантом квадратичного трехчлена называют корни и дискриминант соответствующего квадратного уравнения, которое мы
получим, если приравняем квадратичный трехчлен к 0.
Пример: Найти корни квадратичного трехчлена 5x2 − 7x − 6.
Решение: 5x2 − 7x − 6.
D=72 − 4 ⋅ 5 ⋅ (−6) = 49 + 120 = 169, D > 0.
7 − √169 −6
𝑥1 =
=
= −0,6
2⋅5
10
Ответ: – 0,6; 2.
Число D=b2–4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Дискриминант трехчлена x2+3x–2 равен 32–4·1(–2)=17, трехчлена –x2+4x равен 16, трехчлена 2x2+5 равен –40.
І.3 Разложение квадратичного трехчлена на множители
Теорема:
Пример:
Если корни квадратного трехчлена ax2 +bx+cравны т и п, то его можно разложить на множители: ax2 +bx+c=a(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛).
1) Разложить на множители трехчлен 3x2 + 5x − 2.
Решение: 3x2 + 5x − 2 = 0;
31
D=52 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−2) = 25 + 24 = 49, D > 0.
𝑥1 =
−5−√49
2⋅3
=
−12
6
= −2,
𝑥2 =
−5+√49
2⋅3
1
2
2
1
= 6 = 3.
3x + 5x − 2 = 3(x+2) (𝑥 − 3) = (x+2)(3x − 1).
Ответ: 3x2 + 5x − 2 = (x+2)(3x − 1).
3x−9
2) Сократить дробь 2x2 −5x−3.
Решение: 2x2 − 5x − 3 = 0;
D=52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 + 24 = 49, D > 0.
𝑥1 =
5−√49
3x−9
2⋅2
2x2 −5x−3
=
=
−2
1
1
= − 2,
4
3(𝑥−3)
2(x+ )(𝑥−3)
2
3x−9
3
𝑥2 =
3
5+√49
2⋅2
=
12
4
= 3.
= 2x+1.
Ответ: 2x2 −5x−3 = 2x+1.
IІ. Формулы сокращенного умножения
1. Квадрат двучлена: (a+b)2 =a2 + 2ab+b2 ;
Примеры:
(𝑎 − 𝑏)2 =a2 − 2ab+b2
1) (a+3)2 =a2 + 6a + 9; 2) (𝑥 − 5)2 =x2 − 10x+25;
2
3) (2m − 3k)2 = 4m2 − 12mk+9k2 ;
4) (𝑥 2 − 6y3 ) =x4 − 12𝑥 2 𝑦 3 +y6 .
2. Разность квадратов: (𝑎 − 𝑏)(a+b)=a2 − 𝑏 2
Примеры: 1) (𝑥 − 5)(x+5)=x2 − 25;
2) (2a + 3b)(2a − 3b) = 4a2 − 9b2 ;
3) (𝑥 3 +b)(𝑥 3 − 𝑏)=x6 − 𝑏 2 ;
4) (−4a − 𝑏 2 )(4a − 𝑏 2 )=b4 − 4a2 .
3. Разность и сумма кубов: (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 +ab+b2 )=a3 − 𝑏 3 ;
(a+b)(𝑎2 − ab+b2 )=a3 +b3 .
Примеры: 1) (𝑎 − 2)(𝑎2 + 2a + 4)=a3 − 8;
2) (a+3)(𝑎2 + 3a + 9)=a3 + 27;
3) (5x − 𝑦 2 )(25𝑥 2 + 5xy2 +y4 ) = 125𝑥 3 − 𝑦 6.
4. Куб двучлена: (a+b)3 =a3 + 3a2 b+3ab2 +b3 ;
Примеры:
1) (a+2)3 =a3 + 6a2 + 12a+8;
(𝑎 − 𝑏)3 =a3 − 3a2 b+3ab2 − 𝑏 3 .
2) (𝑥 − 3)3 =x3 − 9x2 + 27𝑥 − 27.
32
ІІ. Квадратное уравнение
1. Понятие квадратного уравнения
Квадратным називают уравнение вида ax2 +bx+c=0, де х – перенменная, a, b, c – некоторые числа и 𝑎 ≠ 0. Числа a, b, c – коэффициенты
квадратного уравнения: а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.
Примеры: 1) 𝑥 2 + 2x − 3 = 0; a=1; b=2; c= − 3;
2) −𝑥 2 − 8x + 12 = 0; a= − 1; b= − 8; c=12;
3) 4x2 + 5x = 0; a=4; b=5; c=0.
2. Решение квадратных уравнений способом выделения квадрата двучлена.
Решим уравнение способом выдиления квадрата двучлена в общем виде: ax2 +bx+c=0, ax2 +bx=0. Выполним умножение обоих частей
уравнения на 4а:
4a2 𝑥 2 + 4abx+4ac=0;
(2ax)2 + 2 ⋅ 2ax ⋅ b+b2 − 𝑏 2 + 4ac=0;
(2ax+b)2 − 𝑏 2 + 4ac=0;
(2ax+b)2 =b2 − 4ac.
Якщо 𝑏 2 − 4ac< 0, то рівняння розв’язків не має.
𝑏
Якщо 𝑏 2 − 4ac= 0, то (2ax+b)2 = 0; 2ax+b=0; x= − 2a.
2
Якщо 𝑏 2 − 4ac> 0, то (2ax+b)2 = (√𝑏 2 − 4ac) ;
2ax+b= − √𝑏 2 − 4ac або 2ax+b=√𝑏 2 − 4ac;
−𝑏−√𝑏2 −4ac
−b+√𝑏2 −4ac
x=
або x=
.
2a
2a
Примеры: Решите квадратные уравнения выделением квадрата двучлена:
1) 5x2 − 2x − 3 = 0;
2) 4x2 + 28x+49 = 0;
(2x + 7)2 = 0;
умножим левую и правую части уравнения на 5.
25𝑥 2 − 10𝑥 − 15 = 0;
2x + 7 = 0;
(5x)2 − 2 ⋅ 5x ⋅ 1 + 1 − 1 − 15 = 0;
2x = −7;
2
(5x − 1) − 16 = 0;
x= − 3,5.
(5x − 1)2 = 16;
Ответ: – 3,5.
5x − 1 = −4 або 5x − 1 = 4;
5x = −3 або 5x = 5;
x= − 0,6 або x=1.
Ответ: – 0,6; 1.
3) 3x2 − x+6 = 0; умножим левую и правую части уравнения на 3.
33
9x2 − 3x + 18 = 0;
1
1
1
(3x)2 − 2 ⋅ 3x ⋅ + − + 6 = 0;
1 2
2
4
4
3
(3x − 2) + 5 4 = 0;
1 2
3
(3x − 2) = −5 4.
1 2
Так как выражение (3x − 2) не может принимать отрицательные значения, то в этом случае руравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
3. Формула корней квадратного уравнения
Виражение 𝑏 2 − 4acназывают дискриминантом квадратного уравнения ax2 +bx+c=0, де ax2 +bx=0, и его обозначают буквой D.
Формула корней квадратного уравнения ax2 +bx+c=0:
𝑥1 =
−𝑏−√𝐷
2a
; 𝑥2 =
−b+√𝐷
2a
.
5. Решение квадратных уравнений с помощью формулы корней
Если D>0, то уравнение имеет два корня𝑥1 =
−𝑏−√𝐷
2a
.𝑥2 =
−b+√𝐷
2a
Если D<0, то уравнение корней не имеет.
Если D=0, то уравнение имеет один корень.
34
Алгоритм поиска корней квадратного уравнения
Примеры: Решить уравнения с помощью формулы корней.
1) 3x2 − 5x − 2 = 0;
D=52 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−2) = 25 + 24 = 49, D > 0;
𝑥1 =
5−√49
2⋅3
1
=
Ответ: − 3; 2.
−2
6
1
= − 3,
𝑥2 =
5+√49
2⋅3
2) 9x2 + 24x+16 = 0;
D=242 − 4 ⋅ 9 ⋅ 16 = 576 − 576 = 0;
24
24
4
1
𝑥1 =x2 = − 2⋅9 = 18 = 3 = 1 3.
1
ответ: 1 3.
=
12
6
= 2.
3) 5x2 − x+1 = 0;
D=12 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 = 1 − 20 = −19; D < 0;
уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
IІІ. Теорема Виета.
1. Приведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен 1.
Общий вид приведенного уравнения: 𝑥 2 +px+q=0.
Пример: 𝑥 2 + 4x − 5 = 0;
𝑡 2 + 4t + 3 = 0;
𝑥 2 − 2x − 3 = 0.
35
2. Теорема Виета
Если приведенное квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком,
а произведение – свободному члену.
Если х1 и х2 – корни приведенного уравнения 𝑥 2 +px+q=0, то 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑝 , 𝑥1 ∙ 𝑥2 =q
Примеры: 1) Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения 𝑥 2 +x − 6 = 0.
Решение: D=12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) = 1 + 24 = 25, D > 0.
Корни существуют, тогда 𝑥1 +x2 = −1, 𝑥1 𝑥2 = −6.
Ответ: 𝑥1 +x2 = −1, 𝑥1 𝑥2 = −6.
2) Составте квадратное уравнение, которое имеет корени −1 − √6 і −1 + √6.
Решешние: Квадратное уравнение 𝑥 2 +px+q=0имеет два корня, тогда:
𝑥1 +x2 = −𝑝, p= − (𝑥1 +x2 ) = − (−1 − √6 + (−1 + √6)) = −(−1 − √6 − 1 + √6) = 2;
𝑥1 𝑥2 =q, q=x1 𝑥2 = (−1 − √6)(−1 + √6) = 1 − 6 = −5.
Искомое квадратное уранение: 𝑥 2 + 2x − 5 = 0.
Ответ: 𝑥 2 + 2x − 5 = 0.
3. Обратная теорема Виета
Если сумма и произведение чисел т и п равны соответственно –р и q, то т и п – корни квадратного уранения 𝑥 2 +px+q=0.
Пример:
Решите уравнение 𝑥 2 + 12x+11 = 0.
Решение: Найти числа произведение которых 11. Это может быть 1 и 11 или –1 и –11.
Сумма искомых чисел должна быть –12. Поэтому корнями уравнения будут числа –1 и –11.
Ответ: –11; –1.
ІV. Таблица квадратов натуральних чисел від 1 до 100
36
12 = 1
22 = 4
112 = 121
122 = 144
212 = 441
222 = 484
312 = 961
322 = 1024
412 = 1681
422 = 1764
32 = 9
42 = 16
132 = 169
142 = 196
232 = 529
242 = 576
332 = 1089
342 = 1156
432 = 1849
442 = 1936
52 = 25
62 = 36
152 = 225
162 = 256
252 = 625
262 = 676
352 = 1225
362 = 1296
452 = 2025
462 = 2116
72 = 49
82 = 64
172 = 289
182 = 324
272 = 729
282 = 784
372 = 1369
382 = 1444
472 = 2209
482 = 2304
92 = 81
102 = 100
192 = 361
202 = 400
292 = 841
302 = 900
392 = 1521
402 = 1600
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
612 = 3721
622 = 3844
712 = 5041
722 = 5184
812 = 6561
822 = 6724
912 = 8281
922 = 8464
532 = 2809
542 = 2916
632 = 3969
642 = 4096
732 = 5329
742 = 5476
832 = 6889
842 = 7056
932 = 8649
942 = 8836
552 = 3025
562 = 3136
652 = 4225
662 = 4356
752 = 5625
762 = 5776
852 = 7225
862 = 7396
952 = 9025
962 = 9216
572 = 3249
582 = 3364
672 = 4489
682 = 4624
772 = 5929
782 = 6084
872 = 7569
882 = 7744
972 = 9409
982 = 9604
592 = 3481
602 = 3600
692 = 4761
702 = 4900
792 = 6241
802 = 6400
892 = 7921
902 = 8100
992 = 9801
1002 = 10000
V. Числовые функции
1. Понятие числовой функции
Среди всего многообразия явлений природы существуют такие, в которых взаимосвязь величин настолько тесна, что, зная значение одной из них,
можно определить и значение другой.
Пусть задано числовое множество Если каждому числу х поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана
числовая функция:
37
y=f(x),
Множество D называется областью определения функции и обозначается D(f(x)). Множество, состоящее из всех элементов f(x), где называется
областью значений функции и обозначается E(f(x)).
Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией
переменной x. Число соответствующее значению называют значением функции в точке и обозначают .
Для того чтобы задать функцию f, нужно указать:
1)ее область определения D(f(x));
2)указать правило f, по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значение y=f(x).
Запись означает, что D(f(x))=[–1;2]. Если область определения не указана, то за область определения принимают множество всех значений аргумента,
для которых данное выражение имеет смысл. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для
нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль,
возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т.п.).
2. Способы задания функций
Функции могут задаваться различными способами. Самый распространенный из них – аналитический, когда числовая функция задается при помощи
формулы. Вот некоторые примеры.
1. Формулой S (r) = πr2 задается функция зависимости площади круга от радиуса.
2. Функция ºF (ºC) определяет перевод температуры из градусов Цельсия в градусы Фаренгейта:
.
3. При равномерном движении скорость тела является функцией времени: s (t) = v · t.
Функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Так, формулы f(x)=
задают на множестве действительных чисел функцию f(x)=|x|, называемою модулем. Иногда функция задается в виде таблицы численных значений.
Наконец, функции могут задаваться при помощи графиков:
38
График функции y = x2 + 1 на D = [–2; 2]. По числовым осям заштрихованы область определения и область значений функции.
Графиком функции y = f (x) в выбранной системе координат называется множество всех точек (x; y), для которых выполняется равенство y = f (x).
Для того, чтобы кривая на декартовой координатной плоскости была графиком функции, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая,
параллельная оси ординат, либо не пересекалась с этой линией, либо пересекала ее в одной точке. Согласно этому определению окружность,
например, не может быть графиком никакой функции, так как некоторым значениям x точек, принадлежащих этой кривой (например, абсциссе
центра окружности), соответствуют два значения y.
Число a называется нулем функции f (x), если
f (a) = 0.
График функции пересекает ось абсцисс в точках с абциссами, равными нулям функций.
Эскиз графика может быть построен выбором на оси OX нескольких значений аргументов x i, построением точек (xi, f (xi)) и соединением этих точек
линиями. Если графиком функции является достаточно плавная кривая, то, соединяя полученные точки гладкой линией, мы получим эскиз искомого
графика.
39
График функции y = [x].
Поэлементный анализ
учебных достижений учащихся 9 класса по теме
«Квадратичная функция»
№
п/п
Контрольні моменти
№ довідки
Рівні
I.1., I.2.
І уровень (1б. – 3б.)
1
Распознание квадратичного трехчлена, виделив ее среди других.
2
Распознание квадратичной функции, виделив ее среди других.
I.4.4.
4
Распознание квадратичного неравенства, виделив ее среди других.
II.1.
5
Читает и записывает квадратичный трехчлен
I.1., I.2.
40
6
Читает и записывает квадратическую функцию
I.4.4.
7
Читает и записывает квадратичное неравенство
II.1.
8
Вычисляет с помощью учителя (или опорного конспекта) значения функции
в точке.
V.1.
9
Вычисляет с помощью учителя (или опорного конспекта) характеризует
функцию по ее графику.
I.1.-I.3,
10 Вычисляет с помощью учителя (или опорного конспекта) строит график
квадратичной функции.
I.4.4.
11 Находит с помощью учителя решение систем двух уравнений второй степени
с двумя переменными.
III.1.-III.4.
1
Формулирует определение квадратного трехчлена, квадратичной функции.
2
Называет формулы корней квадратных уравнений и формулу разложения
квадратного трехчлена на множители.
I.2.-I.3.
3
Формулирует некоторые свойства квадратичной функции по ее графику.
I.1., I.2. I.4.4.
4
Выполняет построение графика квадратичной функции по образцу.
5
Иллюстрирует определения квадратичной функции, правилa разложения
квадратичного трехчлена на множители по известным алгоритмам с
частичны пояснением математических действий собственными примерами.
I.1.-I.3.
6
Использует график квадратичной функции для решения квадратичных
неравенств с достаточным пояснением.
II.4.4.
7
Находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя
переменными с частичным пояснением своих действий
III.1.-III.4.
8
Использует график квадратичной функции для решения квадратичных
неравенств по образцу.
II.4.4.
9
Находит по образцу решения систем двух уравнений второй степени с двумя
переменными.
III.1.-III.4.
1
Использует определения квадратичного трехчлена, квадратичной функции и
их свойства в знакомых ситуациях.
III.1.-III.4.
2
Самостоятельно выполняет разложение квадратного трехчлена на множители
с применением необходимых преобразований.
I.2., I.3.
3
Выделяет из квадратного трехчлена полный квадрат двучлена.
I.2., I.3.
41
I.4.4., I.1.-I.3
ІІ уровень (4б. – 6б.)
I.4.4.
ІІІ уровень (7б. – 9б.)
4
Характеризует функцию по ее графику.
3
Описывает преобразования графиков функций: f(x)→f(x)+a; f(x)→f(x+a);
f(x)→kf(x); f(x)→ - f(x).
I.4.1.- I.4.3
5
Построение графиков функций
преобразований графиков.
I.4.1.- I.4.4
6
Использует график квадратичной функции для решения квадратичных
неравенств.
I.4.
7
Находит решения систем двух уравнений второй степени с двумя
переменными без с частичным пояснением и аргументацией.
III.1.-III.4.
8
Составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как
математических моделей текстовых задач.
I.2., I.3.
1
Осознание знаний о квадратичном трехчлене и умение находить наибольшее
и наименьшее значения трехчлена с полным пояснением и обоснованием.
I.2.- I.3.
2
Рациональный вибор способа решения систем двух уравнений второй
степени с двумя переменными с полным пояснением и обоснованием.
I.2., I.3.
3
Рациональный выбор способа решения квадратичных неравенств с полным
пояснением и обоснованием.
II.1.-II.3
4
Характеризует функцию по ее графику пояснением и обоснованием.
I.4.
5
Использует график квадратичной функции для решения квадратичных
неравенств с полным пояснением и обоснованием
I.4.
6
Составляет и решает системы уравнений с двумя переменными как
математических моделей текстовых задач с полным пояснением и
обоснованием.
III.1.-III.4.
7
Решение заданий с полным пояснением и обоснованием
8
Обобщение и систематизация знаний по теме в виде какойто модели
приобретенных знаний
9
Использование нестандартных приемов в решении нестандартных
уравнений и текстовых задач
II.4.4.
с
использованием
необходимых
10 Умеет обобщать и систематизировать приобретенные знания.
11 Способен(а) к решению нестандартных задач и упражнений.
42
ІV уровень (10б. – 12б.)
Варианты ТКР
«Квадратичная функция»
Вариант 1
I часть
(каждое задание оценивается по 0,5 б.)
1. (613) Какая пара чисел является решением системы уравнений {
А) (−3; 4);
Б) (5; −4);
В) (4; 3);
х + у = 1,
х2 + у2 = 9.
Г)(−5; 4).
2. (800) Решить неравенство. Выбрать правильный ответ х2 < 4.
А) −2 < х < 2;
Б) х < −2; х > 2;
В) х < 2;
Г) х > 2.
3. (972) Какая из функций является квадратичной?
А) у=3х-4 ;
Б) у=х+3;
В) у = √х + 3;
Г) у=х2+3х-4.
4. (986) Не выполняя построение, установите, через какую из данных точек проходит график функции у=х2−3х − 10.
А) А(5;0); Б) В(-5;0);
В) С(3;10);
Г)D(-3;10).
5. (1002) Укажите область значений функции у=-х2 -6х-5.
А)[4;+∞);
Б) (-∞;4];
В) (-∞;4);
Г) (4;+∞).
6. (1122) Укажите, с помощью какого преобразования график функции у=х2-5 получен из графика функции у=х2.
А) перенесеним вверх на 5;
В) перенесением влево на 5;
Б) перенесением вправо на 5;
Г) перенесением вниз на 5.
II частина
43
(кожне завдання оцінюється по 2 б.)
7. (2004) Решите графически систему уравнений {
(х − 1)2 ,
2
у = х;
8. (2197) Найдите сумму всех целых решений неравенства -х2 -2х+3≥0
9. (2219) При каких значениях х выражение имеет смысл
у = √(х − 2)(3 − х)(х + 4) .
III частина
(завдання оцінюється у 3 б.)
10. (3055) Расстояние 450 км один из поездов проходит на 1,5 час. быстрее чем второй. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что
первый проходит 240 км за тоже время, когда второй проходит 200 км.
Варіант 2
I частина
(кожне завдання оцінюється по 0,5 б.)
1. (614) Какая пара чисел является решением системы уравнений {
А) (10; −9);
Б) (11; 10);
В) (10; 9);
х − у = 1,
х − у2 = 19.
2
Г)(9; 10).
2. (801) Решить неравенство. Выбрать правильный ответ х2 > 9.
А) х > 3; Б) −3 < х < 3;; В) х < −3; х > 3;
Г) х < 3.
3. (973) Какая из функций является квадратичной?
х
А)у = 9 ;
Б) у=√х2 − 9; В) у = х2 − 9х + 8; Г) у=-х-9.
44
4. (986) Не выполняя построение, установите, через какую из даннях точек проходит график функции у=х 2−х − 12.
А) А(3;0); Б) В(-3;0);
В) С(4;2);
Г)D(0;12).
5. (1003) Укажите область значений функции у=-х2 -4х+5.
А)(9;+∞);
Б) [-2;+∞);
В) (-2;-∞];
Г) (-∞;9].
6. (1123) Укажите, с помощью какого преобразования график функции у=х2 +3 получен из графика функции у=х2.
А) перенесеним вверх на 3;
В) перенесением вниз на 3;
Б) перенесением влево на 3;
Г) перенесением вправо на 3.
II частина
(кожне завдання оцінюється по 2 б.)
7. (2005) Решите графически систему уравнений {
−(х + 1)2 ,
ху = 2;
8. (2197) Найдите сумму всех целых решений неравенства -х2 ≥ 2х-3.
9. (2219) При каких значениях х выражение имеет смысл
у = √х(2х − 4)(7 − х) .
III частина
(завдання оцінюється у 3 б.)
10. (3056)
Расстояние 840 км один из поездов проходит 2 час. быстрее второго. В тоже время, корда первуй поїзд проходит 63 км, второй
проходит 54 км. За каное время каждый поезд проходит это расстояние?
45
Поэлементный анализ
заданий ТКР «Квадратичная функция
соответствущих уровням учебных достижений»
Кол-во
баллов
0,5
№
справки
Контрольные моменты
III.1.-III.4. Решение системы уравнений с двумя переменными с выбором правильного ответа
№ п/п
№
части
№
варианта
1
Часть 1
Вариант 1
Выбор правильного ответа для неравенства
2
Распознание квадратичной функции
3
I.1.-I.3
Определение принадлежности графику функции точки с известными координатами
4
0,5
I.2.-I.3.
Нахождение облсати определения квадратичной функции
5
0,5
I.4.3.
Преобразование графика функции
6
0,5
II.1.-II.2.
0,5
I.4.4.
0,5
Лучший результат
3
Графическое решение системы уравнений
7
II.2.
Решение квадратичного неравенства
8
II.3.
Определение области определения функции, используя метод интервалов
9
2
III.2.1.
2
2
6
3
3
12
Часть 2
Лучший результат
III.1.-III.4 Решение текстовой задачи на движение с применением системы уравнений с двумя
неизвестными.
Лучший результат
Сумма баллов
46
10
Часть 3
Кол-во
баллов
0,5
№
справки
Контрольные моменты
III.1.-III.4. Решение системы уравнений с двумя переменными с выбором правильного ответа
№ п/п
№
части
№
варианта
1
Часть 1
Вариант 2
Выбор правильного ответа для неравенства
2
Распознание квадратичной функции
3
I.1.-I.3
Определение принадлежности графику функции точки с известными координатами
4
0,5
I.2.-I.3.
Нахождение облсати определения квадратичной функции
5
0,5
I.4.3.
Преобразование графика функции
6
0,5
II.1.-II.2.
0,5
I.4.4.
0,5
Лучший результат
3
Графическое решение системы уравнений
7
II.2.
Решение квадратичного неравенства
8
II.3.
Определение области определения функции, используя метод интервалов
9
III.2.1.
6
Лучший результат
III.1.-III.4 Решение текстовой задачи на движение с применением системы уравнений с двумя
неизвестными
3
12
Часть 2
Лучший результат
Сумма баллов
47
10
Часть 3