Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы
Руководитель: Афанасьева Л.Н.
ГАЗИЗОВА РИММА
8 КЛАСС
ЛИЦЕЙ №9 ИМ. А.С. ПУШКИНА
Целью данной работы является
изучить различные способы
решения «задач на смеси и
сплавы» и « задач с многократно
повторяющимися операциями». А
кроме того, найти рациональное
решение для таких задач.
Достижение цели работы предполагает выполнение следующих
задач:
•Изучить способы решения «задач на смеси и
сплавы»:
- табличный способ
- с помощью уравнения
- « старинный способ»
•Проанализировать и найти рациональный
способ решения «задач на смеси и сплавы».
•Изучить « задачи, связанные с понятиями «
концентрация» и « процентное содержание».
•Проделать опыты с переливаниями ( для того,
чтобы наглядно увидеть изменение
концентрации).
•Решить несколько подобных «задач с
многократно повторяющимися операциями» и
обобщить опыт решения таких задач выводом
формулы.
Способы решения «задач на смеси
и сплавы»
табличный способ с помощью уравнения « старинный способ»
Табличный способ решения «задач на смеси и сплавы»
Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й
растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?
Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты.
Составим таблицу:
Концентрация
раствора, %
Масса раствора, г
Масса кислоты, г
a
х
0,01ax
b
у
0,01by
c (смесь)
x+y
0,01c(x + y)
Составим и решим уравнение:
0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y),
(b – с)у = (с – а)х,
x : у = (b – с) : (с – а).
Ответ: (b – с) : (с – а).
Задача 2.
Имеются три смеси (I–III), составленные из трех элементов А, В и С. В
первую смесь входят только элементы А и В в массовом отношении 1 : 2, во
вторую смесь входят только элементы В и С в массовом отношении
1 : 3, в третью смесь входят только элементы А и С в массовом
отношении 2 : 1. В каком соотношении нужно взять эти смеси, чтобы во
вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в массовом
отношении 11 : 3 : 8?
Решение
Для решения задачи составим схему
По условию задачи в полученной смеси соотношение масс А : В : С=11 : 3 : 8.
Поэтому
(1/3x+2/3z):(2/3x+1/4z):(3/4y+1/3z)=11:3:8.
Составим систему уравнений и решим ее:
Пусть X:Z= а, x:y= b, тогда система примет вид:
Значит,
х : z = 1 : 5 = 3 : 15, х : у = 3 : 4,
поэтому
х : у : z = 3 : 4 : 15.
Ответ. Чтобы элементы А, В и С содержались
в массовом отношении 11 : 3 : 8, смеси I, II, III
надо взять в соотношении 3 : 4 : 15 по массе.
Задача 3.
Значения процентного содержания (по объему) спирта в трех
растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый,
второй и третий растворы в объемном отношении 2 : 3 : 4, то получится
32%-й раствор спирта. Если смешать их в объемном отношении
3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько
процентов спирта содержит каждый раствор?
Решение
Пусть в первом растворе х% спирта, во втором – у%, в третьем –
z%. Согласно условию задачи процентное содержание спирта в трех
растворах образует геометрическую прогрессию, потому
справедливо уравнение:
у2 = xz. (1)
На основании данных задачи составим таблицы и математические
выражения.
Таблица 1
Смешивание трех растворов в объемном отношении 2 : 3 : 4
Вид раствора
Объем
раствора, л
Содержание
спирта, %
Объем
спирта, л
1-й раствор
2
х
2х/100
2-й раствор
3
y
3y/100
3-й раствор
4
z
4z/100
Cмесь
9
32
9•32/100
2х/100 + 3y/100 + 4z/100 = 288/100,
2х + 3y + 4z = 288.
(2)
Таблица 2
Смешивание трех растворов в объемном отношении 3 : 2 : 1
Вид
раствора
Объем
раствора, л
Содержание
спирта, %
Объем
спирта, л
1-й раствор
3
х
3х/100
2-й раствор
2
y
2y/100
3-й раствор
1
z
z/100
Cмесь
6
22
6•22/100
3х/100 + 2y/100 + z/100 = 132/100,
3х + 2y + z = 132.
(3)
Составим и решим систему из трех уравнений (1–3):
При z1 = 48, x = 12, y = 24;
при z2 = 100, x = 64, y = –80, решение не имеет смысла.
Ответ: В первом растворе 12% спирта,
во втором – 24%, в третьем – 48%.
Старинный способ решения задач на сплавы и смеси
Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева
от них и примерно посередине- содержание кислоты в растворе, который
должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа
черточками, получаем такую схему:
5
30
40
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа
вычитаем меньшее и результат запишем в конце соответствующей
черточки. Получится такая схема:
5
10
40
25
30
Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей,
а 40%-ного 25 частей, т.е. для получения 140г 30%-ного раствора нужно
взять 5%-ного раствора 40г, а 40%-ного- 100г.
Задача .
Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г
70%-го раствора спирта?
Решение
9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В
воде 0% спирта. Применим диагональную схему:
Получаем:
х : у = 63 : 9 = 7 : 1.
Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями
воды. Поэтому 200 г 70%-го раствора спирта надо разбавить 200•7
= 1400 г воды.
Всего получим: 200 + 1400 = 1600 г 9%-го раствора спирта.
Ответ. Из 200 г 70%-го раствора спирта можно
получить 1 кг 600 г 9%-го раствора спирта
Задачи, связанные с понятиями
« концентрация» и « процентное содержание».
Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода,
состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;
б) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2, получается
смесь, объем которой равен V1+V2, т.е. V0 =V1+V2.
рА=CA100% -
главная формула для нахождения концентрации вещества
(Если известно его %-ное содержание)
Где C- концентрация данного вещества, выраженная в
%,
А p- раствор данного вещества
Задачи, связанные с многократно повторяющимися
операциями
•
Очевидно, что первоначальное количество соли в растворе равно
•
p/100 x V0 .
•
После того как отлили а л смеси, в растворе осталось
•
p/100 x V0 - p/100 x a = p/100 x V0 (1-a/V0)
•
соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной
•
c1 = p/100 х (1-a/V0) .
•
После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией
c1), в растворе осталось соли
•
1/100 х V0 (1-a/V0)-c1a= p/100 х V0 (1-a/V0)2 ,
•
а ее концентрация после добавления а л воды стала равной
•
c2=p/100 х (1-a/V0)2 .
c1 = p/100 х (1-a/V0) = c2=p/100 х (1-a/V0)2
cn=p/100 (1-a/V0)n .
Формула, определяющая концентрацию
вещества в растворе после n переливаний.
Задача.
Из кувшина, доверху наполненного 20%-ным раствором соли, отлили 1 литр
и затем долили водой доверху. После этого повторили проделанные действия
и получили 11,25%-ный раствор соли. Какова вместимость кувшина?
Решение задачи
Воспользуемся выведенной нами формулой
(cn=p/100 (1-a/V0)n )
и подставим данные:
5/100:20/100= (1-1/ V0)2
5/100*100/20=(1-1/ V0)2
1/4=(1-1/ V0)2
1/2= 1-1/ V0
1/ V0=1-1/2
1/ V0 =1/2
V0=2.
и
-1/2= 1-1/ V0
1/ V0=1+1/2
1/ V0=1 1/2
1/V0=3/2
V0=2/3-не удовлетворяет условию.
Ответ: 2 литра.
Исследование значимости данной работы для
рационального решения задач
Задачи на сплавы и смеси
Всего-20 человек
Среднее время
решения
Правильность
Знают старинный 10 чел.
способ10 человек
3мин.
9 чел.
Не знают
старинного
способа-10
человек
8 мин.
6 чел.
10 чел.
Задачи на переливания
Всего-20 человек
Знают формулу
10
Среднее время
решения
Правильность
5мин.
8 чел.
20 мин.
5 чел.
чел.
Не знают
формулы
10 чел.
Заключение
 Важно уметь решать задачи рационально, это поможет
экономить время при сдаче экзамена.
 Решение задач старинным способом позволяет легче
запомнить последовательность действий при решении
задач на смешивание и добиться автоматизма при
выполнении самих действий. Этот способ экономит
время.
 Вывод формулы для нахождения концентрации
вещества в растворе после n переливаний дает
возможность сделать решение подобных задач более
доступным и менее объемным.
 Я думаю, что проделанная мною работа будет
интересна и полезна ученикам при подготовке к ГИА
и ЕГЭ.
Спасибо за внимание!