- 14.1 - 15. ВЫПУСКНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ ПО АЛГЕБРЕ ЗА 11-ЛЕТНЮЮ ШКОЛУ Как известно, эти экзамены являются федеральными. Соответствующие тексты заданий являются едиными и используются на экзаменах в школах всей страны (за исключением г.СанктПетербурга). Впрочем, недавно появился (пока в виде альтернативы) такой вид экзамена, как ЕГЭ. В составлении текстов федеральных экзаменов для 11-х классов принимали активное участие учителя нашей кафедры Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, Л.Я.Шляпочник (1991 – 2004 г.). Тексты экзаменов 1991 – 1999 гг. отражены в следующих книгах (вместе с ответами и подробными рациональными решениями): 1) Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, В.К.Смирнова, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения», выпуск 1. М.: «Школа-Пресс», 1993. 2) Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения», выпуск 2. М.: «Школа-Пресс», 1993. 3) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения», выпуск 3. М.: «Школа-Пресс», 1994. 4) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения», выпуск 4. М.: «Школа-Пресс», 1995. 5) Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, «Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения», выпуск 5. М.: «Школа-Пресс», 1996. 6) Л.И.Звавич, Д.И.Аверьянов, В.К.Смирнова, «Алгебра и начала анализа. Сборник заданий для 11 класса». М.: «Дрофа», 1997. 7) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, «Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. 11 класс». М.: Издательский дом «Дрофа», 1998. 8) Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, И.И.Кулагина, «Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. 11 класс». М.: «Дрофа», 2000. Что касается вариантов для общеобразовательной школы (в рамках нашей гимназии такие варианты даются для Физических (в последние годы), химико-биологических и гуманитарных классов), то соответствующие тексты выбираются директивным образом из стабильно установленных задачников, опубликованных в широкой печати и постоянно переиздающихся. Приведем несколько вариантов выпускных экзаменов последних лет для математических и физических классов. - 14.2 ВАРИАНТЫ ВЫПУСКНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ЗА 11-Й МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ КЛАССЫ РАБОТА 1 Вариант 1 (2003 - математики) 1. Найдите пару комплексных чисел соотношения z1 , z 2 , для которых одновременно 2 z1 3z 2 1 7i 2. Решите неравенство и выполняются 4i z1 3z 2 1 17i . log x 2 2 x 2 x 2 . 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y3 x , y x 3 и осью ординат. 1 sin x cos y cos x sin y , 2 cos x sin y 1 . 4. Решите систему уравнений 5. Существует ли касательная к графику функции y x x ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение. 2 M a ; b 6. Изобразите множество точек уравнение 1. Найдите пару комплексных чисел соотношения и x ). имеет ровно два различных корня (по w1 , w2 , для которых одновременно 3w1 2 w2 11 5i 2. Решите неравенство имеющая с графиком координатной плоскости Oab, таких, что x 2a 3x 2 bx 2a РАБОТА 1 Вариант 2 (2003 - математики) x выполняются 2w1 i w 2 7 i . log 2 x 2 x 2 x 2 . 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций осью ординат. 4. Решите систему уравнений y 2x , y 3 x и 1 cos x cos y sin x sin y , 2 sin x sin y 1. 5. Существует ли касательная к графику функции y x x 3 x , имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение. 2 6. Изобразите множество точек уравнение M a ; b x 3b 2x 2 ax 3b координатной плоскости Oab, таких, что имеет ровно два различных корня (по x ). - 14.3 - О Т В Е Т Ы Работа 1 (11-й математический класс, 2003) ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2 1. z1 2 i , z 2 1 3i . 2. x 2;1 1;0,5 0;4 . 1. w1 3 i , 2. x ;4. w2 1 i . 3. 2 1 . 3 ln 3 6 3. 5 1 . 2 ln 2 4. 5 2 q , 2 m; 2 p , 2 n; 3 6 3 6 4. 5 5 2 p , 2 n; 2 q , 2 m; 6 6 6 6 где m, p, n, q . 5. 6. Да, существует; y x где m, p, n, q . 5. 1 . 4 Внутренность и границы тупого угла со сторонами a 0 (луч проходит через начало координат) и 6a b 1 0 , за исключением точек прямой b 1 (и, в частности, за исключением вершины угла). 6. Да, существует; y x 9 . 4 Внутренность и границы тупого угла со сторонами b 0 (луч проходит через начало координат) и a 6b 1 0 , за исключением точек прямой a 1 (и, в частности, за исключением вершины угла). РАБОТА 2 Вариант 1 (2003 - математики) 1. Найдите модуль и один из аргументов комплексного числа 1 cos11 i sin 11 . 2. Решите систему уравнений: log 2 xy 0,25 log 2 x 2 1 , 2 log x 2 y log 2 y 6 4 . 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции касательными к этому графику, проведенными через точку y x 2 2x 6 M 1; 1 . и - 14.4 4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции y x 2e x и определите, в скольких точках данная функция принимает значение, равное 0,5. 5. Найдите все общие действительные корни многочленов 2 x 4 13x 3 18 x 2 x 12 и x 4 7 x 3 12 x 2 3x 9 . 6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение arccos 2 2 arcsin xa x2 x2 имеет ровно один корень. РАБОТА 2 Вариант 2 (2003 - математики) 1. Найдите модуль и один из аргументов комплексного числа 1 cos 7 i sin 7 . 2. Решите систему уравнений: log 0,5 x3 x 2 y 6 1 log 4 y 2 , x 2 log 4 y 0,25 log 2 y 0,5 . 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y 4x x 2 3 и касательными к этому графику, проведенными через точку M 2 ; 5 . 4. Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции y x ln 2 x и определите, в скольких точках данная функция принимает значение, равное 0,6. 5. Найдите все общие действительные корни многочленов 2 x 4 5 x 3 27 x 2 14 x 28 и x 4 3x 3 11x 2 6 x 12 . 6. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение arccos 1 1 2 arcsin x a x x имеет ровно два различных корня. О Т В Е Т Ы Работа 2 (11-й математический класс, 2003) ВАРИАНТ 1 1. Модуль равен 2 sin 5,5 , а один из 3 5,5 . аргументов 2 ВАРИАНТ 2 1. Модуль равен 2 cos 3,5 , а один из аргументов 3,5 . - 14.5 2. 2. 3. 1 5 . 3 4. 0;2 - промежуток возрастания, ;0 и4. e 2 ;1 - промежуток убывания, 0; e 2 и 2; - промежутки убывания; 1; - промежутки возрастания; 2 ; 2 , 2 ; 2 . 3. точки экстремумов: 0 – точка минимума и 2 – точка максимума; экстремумы: 0 – минимум и 4 / e 2 максимум. Значение 0,5 функция принимает ровно в трех точках. 1 1 2 ; 5 , 2 ; . 8 2 1 5 . 3 точки экстремумов: e 2 – точка максимума и 1 – точка минимума; экстремумы: 0 – минимум и 4e 2 максимум. Значение 0,6 функция принимает ровно в одной точке. 5. 2 7 и 2 7. 5. 3 5 и 3 5 . 6. a 2 ; 2 2 ; 2 2 2 2 2 6. a ;1 ;1 1 2 2 2 1 ; . 2 ПРОФИЛЬНАЯ РАБОТА (ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО КЛАССА) Вариант 1 (2003 - физики) 1. Найдите наименьшее целое число x , удовлетворяющее неравенству 4 x 6 13 x 13240 . 2. Решите уравнение sin x sin 3 x sin 7 sin 3 . 7 3. Решите уравнение log 52 ( x 3) 2 3 log 5 (15 5 x) 10 0. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y 2 x; y x и прямой 3x 5 y 22 0 . 5. Найдите множество значений функции y 3x 7 2 x . 6. Найдите все отрицательные a, для каждого из которых касательные к параболе y ( x 1) 2 , проведенные через точку оси Oy с ординатой a, высекают на оси Ox отрезок длины 4. ПРОФИЛЬНАЯ РАБОТА (ДЛЯ ФИЗИЧЕСКОГО КЛАССА) Вариант 2 (2003 - физики) - 14.6 1. Найдите наибольшее целое число x , не удовлетворяющее неравенству 5 x 4 3 x 1 6100 . 2. Решите уравнение cos x cos 3x cos 3 9 cos . 11 11 3. Решите уравнение 0,5 log 22 (2 x) 2 9 log 2 (2 x 4) 16 0. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y 3 2 x ; y x и прямой 4 x 5 y 21 0 . 5. Найдите множество значений функции y 6 x 7 2 x . 6. Укажите координаты всех точек оси Oy , имеющих положительные ординаты и обладающих тем свойством, что касательные, проведенные через каждую из таких точек к графику функции y 1 , высекают на оси абсцисс отрезок длины 1,5. x 1 О Т В Е Т Ы Работа профильная (11-й физический или физико-математический класс, 2003) ВАРИАНТ 1 1. 3. 2. 3. 2; 3 4. ВАРИАНТ 2 1. 2 k ; 0,5 arccos 0,5 cos 7 7 n ; k . 1 . n; 2. 5. 3 6 k ; 0,5 arccos 0,5 cos n; 11 11 n ; k . 3. 4; 2 8 2 . 8,5. 4. 2 12 . 3 5. 2 ; 10 . 3 5. 7 ; 1 . 12 6. 15 . 6. 8. 5 4 125 - 14.7 РАБОТА 1 Вариант 1 (2004 - математики) 1. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа 3 z , что z 1 i . 1 i 2. Фигура ограничена линиями y 0 и y x 2 6 x 5 . Эта фигура делится графиком функции y x 5 на две части. Найдите площади этих частей. 2 y e x2 x 6 и постройте ее график. 3. Исследуйте функцию 2 x 1,5 2,5 x 0. x 0,5x 1 log 4. Решите неравенство 5. Решите уравнение sin 2 x cos x 0 и укажите все те из его корней, которые принадлежат отрезку 2; 3 . 6. При каких целых значениях параметра a равенство x 2 3x a 3x 2 ax 5 4 x 2 3 a x 5 a выполняется при всех значениях x ? РАБОТА 1 Вариант 2 (2004 - математики) 1. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z , что z 2 3 i . 3i 2. Фигура ограничена линиями y 0 и y x 2 x 3 . Эта фигура делится графиком 2 функции y x 1 на две части. Найдите площади этих частей. 2 3. Исследуйте функцию y x 4 e x1 log 4. Решите неравенство 5. Решите уравнение и постройте ее график. 2 0,5 x x3 0. x x 1 sin 2 x sin x 0 и укажите все те из его корней, которые принадлежат отрезку 1; 5. 6. При каких целых значениях параметра a равенство x 2 5x a 5x 2 ax 7 6 x 2 a 5x 7 a выполняется при всех значениях x ? РАБОТА 2 Вариант 1 (2004 - математики) 1. Упростите выражение 2. Функция x 18 x 81 x 18 x 81 при x 165 . f x – периодическая, с периодом, равным 13. Если x 0 ; 13 , то f x 13x x . Решите уравнение f x 30 для x R. 3. Среди чисел z , таких, что zi 3 2 , найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем. 2 - 14.8 3 1 4. На отрезке ; 1 найдите нули функции f x sin 3x sin 4x sin 2x sin 5x , 4 4 укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам возрастания. 5. Сравните числа F (1) и F (2) , если F (x) – первообразная для функции f x 5 x 2 29 x 20log 6 и 7 x . x 2 4x 9 a имеет 6. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 2 x 5x 9 хотя бы одно решение. РАБОТА 2 Вариант 2 (2004 - математики) 1. Упростите выражение x 22 x 121 x 22 x 121 при x 244 . 2. Функция f x – периодическая, с периодом, равным 9. Если x 0 ; 9 , то f x 9 x x . 2 Решите уравнение f x 18 для x R. 3. Среди чисел z , таких, что zi 5 3 , найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем. 2 1 4. На отрезке ; 1 найдите нули функции g x cos 3x cos 4x cos 2x cos 5x , и 3 3 укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам убывания. 5. Сравните числа F ( 2) и F ( 4) , если F (x) – первообразная для функции f x 2 x 2 11x 21 log 10 x . 3 6. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x 2 4x 9 a имеет x 2 5x 9 хотя бы одно решение. О Т В Е Т Ы Работа 1 (11-й математический класс, 2004) ВАРИАНТ 1 1. 2. См. рисунок, где z1; 2 2 8и 2 . 3 ВАРИАНТ 2 3 1 i; z 3 i . 2 2 1. 2. См. рисунок, где z1; 2 3 1 i . 2 2 2 8и 2 . 3 3. - 14.9 3. Функции y x и y x непрерывны и Функции y x и y x непрерывны и дифференцируемы на R; функция y x ни чётна, ни нечётна и не является периодической; при x y x ; имеется асимптота y x 6 (при дифференцируемы на R; функция y x ни чётна, ни нечётна и не является периодической; при x yx ; имеется асимптота y x 4 (при x ). Ф-ция y x возрастает на ; 1 и убывает на 1; ; точка экстремума x 1 , экстремум (максимум): 2 . График данной функции выпуклый вверх на R. (График приведен в решении.) x ). Ф-ция y x убывает на ; 2 и возрастает на 2; ; точка экстремума x 2 , экстремум (минимум): 3 . График 4. данной функции выпуклый вниз на R. (График приведен в решении.) x 1,5; 1 0,5; 1,5 1,5; 2,5 0,5. 4. x 3; 2 2; 1 0; 0,5 0,5. 5. 5. k ; 2 k , k ; 5 2n, n ; данному 6 отрезку принадлежат только три корня: 2 6. и 5 6 3 2n; 2 2m; k , n, m ; на данном 3 отрезке только три корня: 0, , 2 и 4 3 . a 7; 6; 5; 4; 3. 6. a 11; 10; 9; 8; 7. О Т В Е Т Ы Работа 2 (11-й математический класс, 2004) 1. ВАРИАНТ 1 18 . 1. ВАРИАНТ 2 22 . 2. 3 13n, 10 13n, n . 2. 3 9n, 6 9n, n . 3. z i и z 5i . 3. z 2i 4. 1 3 ; 1; ; промежуткам возрастания 2 2 3 принадлежат только 1 и . 2 F 1 F 2 . 4. 1 3 ; 1; ; промежуткам возрастания 2 2 1 принадлежат только и 1. 2 F 2 F 4 . 10 a 2. 11 6. 5. 6. 5. 3 cos 3x sin 3x 2 sin x . z 8i . 10 a 2. 11 Р А Б О Т А П Р О Ф И Л Ь Н А Я (для физических классов) Вариант 1 (2004 - физики) 1. Решите уравнение и . - 14.10 2. Сравните числа 56 и log 65 . 2 2 3. Решите уравнение x 16 log 1/ 3 2 x 1 0 . 4. Исследуйте функцию f x x 6 x 8 x на монотонность. 2 5. Решите неравенство 2 3 x 1 2. 6. При каких положительных значениях a площадь фигуры, ограниченной линиями 5 y 2 x , y x, x a, x 4a , равна 16 ? 6 Р А Б О Т А П Р О Ф И Л Ь Н А Я (для физических классов) Вариант 2 (2004 - физики) 1. Решите уравнение cos 3x 3 sin 3x 2 cos x . 2. Сравните числа 29 и log 92 . 2 2 3. Решите уравнение 3 x x log 0,5 5 x 1 0 . 4. Исследуйте функцию g x 9 x 12 ln x 2 x x на монотонность. 5. Решите неравенство 3 2 x1 3. 6. При каких положительных значениях b площадь фигуры, ограниченной линиями y x , y x, x b, x 4b , равна 12 1 ? 6 О Т В Е Т Ы Работа профильная (11-й физический или физико-математический класс, 2004) ВАРИАНТ 1 1. 2. 6 k, k ; 56 > log 65 . 2 ВАРИАНТ 2 6 n 2 , n. 1. 2. 6 k, k ; 29 < log 92 . 2 12 n 2 , n. - 14.11 3. 1 и 2. 3 5 3. 0 и 4. 4. Функция монотонно возрастает всюду на 4. своей области определения 0 ; . Функция монотонно убывает всюду на своей области определения 0 ; . 5. 1 x 7 . 5. x ; 1 3; . 6. a 1. 6. b 1.