Производная. Исследование функции на монотонность, нахождение экстремумов функции.

Методическая разработка урока
Тема:
Производная. Исследование
функции на монотонность,
нахождение экстремумов
функции.
(Метапредмет «Задача» Алгебра и начала анализа, 11 класс)
Ефимова Г.Б., учитель математики
МБОУ Струго-Красненская средняя
общеобразовательная школа,
п. Струги Красные
Аннотация
Данная тема «Производная. Исследование функции на монотонность,
нахождение экстремумов функции» по программе 10 класса
действующего учебника по алгебре и началам анализа под редакцией
А.Г.Мордковича. Это урок обобщения и систематизации знаний. Тема
рассматривается в три этапа:
1. Определение значений производной, при которых производная
функции равна нулю, больше нуля или меньше нуля (учащиеся
могут находить производную и решать уравнение и неравенства)
2. Определение по графику свойств производной функции и
построение графика по свойствам производной функции
3. Непосредственное исследование функции с помощью производной
и построение графика.
На данном уроке представлен второй этап – это определённая
работа с графиком функции.
В заданиях В8 ЕГЭ часто встречаются вопросы:
- Указать количество промежутков возрастания (убывания) функции.
- Указать наибольшую длину промежутка возрастания функции.
- Указать количество точек максимума или минимума функции и т.д.
При выполнении таких заданий учащиеся обычно испытывают
затруднения. Для лучшего усвоения материала на уроке используется
игра «Домино» и презентация. Для проверки формирования
навыков к концу урока предлагается самостоятельная работа. Во
время урока каждый учащийся имеет возможность получить оценку.
Неудовлетрорительные оценки на этом уроке я не выставляю.
Цели урока:




Обобщение и систематизация знаний по теме
Научить проводить анализ условия задачи
Уметь выделять главный вопрос задачи
Научить выстраивать шаги решения
 Конструировать способ решения на основе
имеющихся знаний и обосновывать свой выбор
 Ликвидировать пробелы в знаниях и умениях
учащихся
 Связать все имеющиеся у учащихся знания в
систему, помочь им выйти на новый, более
серьёзный уровень понимания
 Провести диагностику усвоения системы знаний и
её применения для выполнения практических
заданий (самостоятельная работа по тестам ЕГЭ,
задание В8)
Тип урока: урок обобщения и систематизации
знаний.
Организационные формы обучения: индивидуальная
работа, групповая работа.
Ход урока
Постановка цели, мотивация
Дорогие ребята, самой главной целью всех наших занятий
должно стать получение вами глубоких и прочных знаний,
которые позволят вам успешно сдать ЕГЭ.
Сегодняшнее занятие мы посвятим решению задач на
применение производной, а именно, на исследование функции на
монотонность и нахождение экстремумов функции. Такие задачи
включены в задания типа В8 на ЕГЭ.
Вы должны научиться проводить анализ условия задачи и
выстраивать шаги решения, выделять главный вопрос задачи,
конструировать способ решения на основе имеющихся знаний и
обосновывать свой выбор.
На ваших столах лежат «рабочие листы» к данному уроку,
которые по итогам урока должны стать для вас опорным
конспектом.
Подпишите свой лист и укажите дату проведения урока.
Итак, для решения задач нам необходимо восстановить в памяти
необходимые для этого базовые знания.
Метапредмет «Задача»
Алгебра и начала анализа
Рабочий лист ученика 11-А класса
_____________________________
по теме «Производная. Исследование функции на монотонность, нахождение
экстремумов функции»
1. Актуализация знаний (в пункте «Актуализация знаний» на рабочем листе ответьте
на вопросы и заполните пропуски.
1.1.
Назовите связь между характером монотонности функции и знаком её
производной_________________________ ____
1.2. Как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на
промежутке__________________________________________________________________________
1.3. Какие точки называются стационарными ____________________________________
________________________________
_________________________________________________
1.4.Какие точки называются критическими _________________________________________
1.5. Признак максимума функции_____________________________________________
1.6. Признак минимума функции_____________________
Проверка ответов.
Закрепление и расширение знаний (коллективная работа)
2.
а) Перечислите основные свойства функции, заданной
графиком (см. рис.).
* область определения функции
* область значений
* четность (нечетность)
* наименьший положительный период
* координаты точек пересечения графика функции с осью Ох
* координаты точек пересечения графика функции с осью Оy
* промежутки, на которых функция принимает положительные
значения
* промежутки, на которых функция принимает отрицательные
значения
* промежутки возрастания
* промежутки убывания
* точки минимума
* точки максимума
* максимумы функции
Определите знаки производной данной функции (у каждого
ученика рисунок на рабочем листе, такой же график на доске).
Один ученик работает у доски.
( анализ полученных результатов)
б) На рисунке изображен график производной функции
. Начертите эскиз графика функции
.
(у каждого ученика рисунок на рабочем листе, такой же график
на доске). Один ученик работает у доски.
( анализ полученных результатов)
3. Работа в парах. Игра «Домино». Разложите
имеющиеся на столе карточки по принципу «Функция –
её производная»
(Проверка полученных результатов)
3.Закрепление и расширение знаний по данной теме при решении прототипов В8 из
открытого банка заданий ЕГЭ.
Тип задачи
1. На рисунке 1. изображен график производной функции
, определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите
промежутки возрастания функции. В ответе запишите
количество целых точек, входящих в эти промежутки
Рис.1
2. На рисунке 2. изображен график производной функции
, определённой на интервале (-7,5; 7). В какой
точке отрезка
функция
принимает
наименьшее значение
3. На рисунке 3. изображен график производной функции
, определенной на интервале (-5;5). Найдите
Главный
вопрос
задачи
Способ
(алгоритм)
решения
количество точек экстремума функции
на отрезке
Рис. 3
4. На рисунке 4. изображен график производной функции
, определенной на интервале (-2;16). Найдите
промежутки убывания функции
. В ответе укажите
длину наибольшего из
них.
Рис.4
5. На рисунке 5. Изображен график производной функции
, определенной на интервале (-5;5). Найдите
промежутки возрастания функции
. В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Рис. 5
6. На рисунке 6. Изображен график производной функции
, определенной на интервале (-5;5). Найдите
точку максимума функции
на интервале (-3;3).
Рис. 6
Работа со слайд проектором. Учащиеся задают вопросы
Самостоятельная работа. Ф.И. …………………………………………
1 вариант
1. На рисунке изображен график функции
,
заданной на промежутке (-5;5). Найдите число точек с
целыми абсциссами, в которых производная этой функции
отрицительна.
Ответ:
2. Функция
определена на промежутке (-5;6). На
рисунке изображен график её производной. Укажите
количество точек с целыми абсциссами, в которых
функция
возрастает.
Ответ:
3. Функция
определена на промежутке (-3;8). На
рисунке изображен график её производной. Укажите точку
минимума функции
на промежутке (-3;4).
Ответ:
4. Функция
определена на промежутке (-5;5). На
рисунке изображен график её производной. Найдите
промежутки убывания функции
. В ответе укажите
наибольшую из длин этих промежутков.
Ответ:
Самостоятельная работа.
Ф.И. ………………………………………….
2 вариант
1. На рисунке изображен график функции
,
заданной на промежутке (-4;6). Найдите число точек с
целыми абсциссами, в которых производная этой функции
положительна.
Ответ:
2. Функция
определена на промежутке (-5;5). На
рисунке изображен график её производной. Найдите
количество точек с целыми абсциссами, в которых
функция
убывает.
Ответ:
3. Функция
определена на промежутке (-5;6). На
рисунке изображен график её производной. Укажите точку
максимума функции
на промежутке (-4;4).
Ответ:
4. Функция
определена на промежунке (-4;6). На
рисунке изображён график её производной. Найдите
промежутки возрастания функции
. В ответе
укажите наибольшую из длин этих промежутков.
Ответ:
Домашнее задание:
Решить любые пять заданий.
На рисунке изображены четыре непрерывные линии. Одна из
этих линий – график производной для убывающей на всей
числовой прямой функции. Укажите номер этой линии.
Функция
определена на промежутке (-5;6). График её
производной изображен на рисунке. Укажите количество
промежутков, на которых функция
представляет
собой константу.
На рисунке изображен график функции
и отмечены
точки -6; -4; -2; 0; 2; 4; 6; 8. Определите по данному графику, в
какой из этих точек значение производной f′
наименьшее.
(В ответе укажите эту точку).
Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так
отозвался о нём: «Он очень мало знает, но у него
положительная производная». Все поняли, что хотел сказать
учитель: скорость приращения знаний у ученика положительна,
а это есть залог того, что его знания возрастут. Подумайте, как
вы могли бы охарактеризовать три разные кривые роста
знаний, изображенного на рисунке.
ТВОРЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ:
Отыщите функцию в таблице, исходя из её
«автобиографии».
Я, функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно…
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интеграл, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна право,
И это конечно не ради забавы
Для чисел больших я стремлюсь к единице,
Найди меня среди прочих в таблице.
1) f(x) =
2) f(x) =
3) f(x) =
-
-2
4) f(x) =
5) f(x) =
6) f(x) =
7) f(x) =
8) f(x) =
9) f(x) =
Рефлексия
Какие типы задач мы вассмотрели?
(задачи на применение производной: исследование функции на
монотонность, нахождение экстремумов функции)
Какие знания использовали при решении задач?
(* связь между характером монотонности функции и знаком её
производной;
* признаки максимума и минимума функции)
Какие способы мыслительной деятельности использовали при
решении задач?
(анализ, синтез обобщение, моделирование объекта задачи,
выстраивание шагов решения, конструирование способов
решения)
Дополнительные задания.
1. На рисунке изображен график функции
отмечены восемь точек оси абсцисс:
и
;
;
;…; .
Найдите число отмеченных точек, в которых производная
функции
отрицательна.
Ответ:
2. На рисунке изображен график функции
и
отмечены точки -7; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7. Определите по
данному графику, в какой из этих точек значение
производной f
наибольшее. (В ответе укажите эту
точку).
Ответ:
3. Функция
определена на промежутке (-5; 6). На
рисунке изображен график её производной. Найдите
количество точек минимума функции
.
Ответ:
4. Функция
определена на промежутке (-5; 5). На
рисунке изображен график её производной. Найдите точку
, в которой функция
принимает наименьшее
значение на отрезке
5. Функция
.
определена на промежутке (-5; 4). На
рисунке изображен график её производной. Найдите
количество точек, в которых угловой коэффициент
касательной к графику функции
является целым
числом.
Список литературы
и используемых интернет-ресурсов.
1. Алгебра и начала метематического анализа. 10 – 11 классы. В 2 ч.
Ч.2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень); под ред А.Г.Мордковича.- ll-е изд., стер.- М.:
Мнемозина, 2010, стр. 93-95.
2. Математика. ЕГЭ. 2013. Книга l / Д.А.Мальцев, А.А.Мальцев,
Л.И.Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А., М.: Народное
образование, 2013, стр. 100-108, стр. 245-251.
http://school-collection.edu.ru
http://festival.1september.ru/