5288627

С3
Вариант 31
Найдите все значения x , которые при любом значении a удовлетворяют
неравенству
x 2  3 x  10

x  3  21a
2
Ответ:  ;2  3;5 .
 0.
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   3  21a , приведем неравенство к виду
2
x  2x  5  0
.
x  f a 
2) Поскольку 1  a 2  1 , то 0  21a  2 , 1  3  21a  3 . При a  R функция
2
2
y  f a принимает все значения из промежутка 1;3 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   ;2   f a ;5 .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству при любом значении a в случае, если
они принадлежат каждому из найденных множеств  ;2   f a ;5 , то есть
пересечению этих множеств. Это будет множество  ;2  3;5 .
С3
Вариант 32


x  3  21a
0
Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству 2
x  3 x  10
хотя бы при одном значении a .
Ответ:  2;3  5; .
2
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   3  21a , приведем неравенство к виду
2
x  f a 
 0.
x  2x  5
2) Поскольку 1  a 2  1 , то 0  21a  2 , 1  3  21a  3 . При a  R функция
2
2
y  f a принимает все значения из промежутка 1;3 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   2; f a   5; .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству хотя бы при одном значении a в случае,
если они принадлежат объединению найденных множеств  2; f a   5; .
Это будет множество  2;3  5; .
С3
Вариант 33
Найдите все значения x , которые при любом значении a удовлетворяют


x  1  21 a
 0.
неравенству 2
x  x  12
2
Ответ:  3;1  4; .
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   1  21a , приведем неравенство к виду
2
x  f a 
 0.
x  3x  4
2) Поскольку 1  a 2  1 , то 0  21a  2 , 1  1  21a  3 . При a  R функция
2
2
y  f a принимает все значения из промежутка 1;3 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   3; f a   4; .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству при любом значении a в случае, если
они принадлежат каждому из найденных множеств  3; f a   4; , то есть
пересечению этих множеств. Это будет множество  3;1  4; .
С3
Вариант 34


x  1  21 a
0
Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству
x 2  x  12
хотя бы при одном значении a . Ответ:  ;3  1;4 .
2
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   1  21a , приведем неравенство к виду
2
x  f a 
 0.
x  3x  4
2) Поскольку 1  a 2  1 , то 0  21a  2 , 1  1  21a  3 . При a  R функция
2
2
y  f a принимает все значения из промежутка 1;3 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   ;3   f a ;4 .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству хотя бы при одном значении a в случае,
если они принадлежат объединению найденных множеств  ;3   f a ;4 .
Это будет множество  ;3  1;4 .
С3
Вариант 35
Найдите все значения x , которые при любом значении a удовлетворяют
неравенству
x 2  2 x  15

1 a
x 43

Ответ:  ;3  4;5 .
0.
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   4  3
1 a
, приведем неравенство к виду
x  3x  5  0
.
x  f a 
1 a
1 a
 3, 1  4  3
 4 . При a  R функция
2) Поскольку 1  a  1, то 0  3
y  f a принимает все значения из промежутка 1;4 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   ;3   f a ;5 .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству при любом значении a в случае, если
они принадлежат каждому из найденных множеств  ;3   f a ;5 , то есть
пересечению этих множеств. Это будет множество  ;3  4;5 .
С3
Вариант 36

1 a

x 43
0
Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству 2
x  2 x  15
хотя бы при одном значении a . Ответ:  3;4  5; .
1) Раскладывая квадратный трехчлен на множители и вводя обозначения
f a   4  3
1 a
, приведем неравенство к виду
x  f a 
 0.
x  2x  5
1 a
1 a
 3, 1  4  3
 4 . При a  R функция
2) Поскольку 1  a  1, то 0  3
y  f a принимает все значения из промежутка 1;4 .
3) Решим неравенство при каждом фиксированном значении a . Применяя
метод
интервалов,
найдем:
x   3; f a   5; .
Значения
x
будут
удовлетворять исходному неравенству хотя бы при одном значении a в случае,
если они принадлежат объединению найденных множеств  3; f a   5; .
Это будет множество  3;4  5; .
С4
Вариант 31
Основание наклонной призмы ABCA1B1C1 – равнобедренный прямоугольный
треугольник ABC с катетом, равным 4; боковое ребро CC1 образует с катетами
AC и BC углы 45º и 60º. Найдите объем призмы, если длина бокового ребра
равна 1.
Ответ: 4.



1) Пусть ACB  90 , AC  BC  4, CC1  1, C1CB  60 , C1CA  45 .
Опустим из вершины С1 перпендикуляр С1О на плоскость АВС. Обозначим
C1CO   ,
V 
OCB   ,
1
AC 2  CC1  Sin .
2
OCA  90    .
Тогда
C1O  CC1  Sin
и
2) Найдем синус угла  . Воспользуемся известной
формулой: CosC1CB  CosC1CO  CosOCB . Для углов С1СА, С1СО и ОСА
эта формула имеет вид: CosC1CA  CosC1CO  CosOCA . Подставляя в
формулы
значения
углов,

Cos60   Cos  Cos 90   
получим:
2
Cos 45  Cos  Cos , Cos 2 60   Cos 2 45   Cos 2 , Cos  
3) V 

и
3
1
, Sin   .
4
2
1 2
1
4 1   4 .
2
2
С4
Вариант 32
Основание наклонной призмы ABCA1B1C1 – равнобедренный прямоугольный треугольник
ABC с катетом, равным 2; боковое ребро CC1 образует с катетами AC и BC углы 45º и 60º.
Найдите объем призмы, если длина бокового ребра равна 1. Ответ: 1.
1)
Пусть
ACB  90  ,
AC  BC  2,
Опустим из вершины С1 перпендикуляр
C1CO   ,
V 
OCB   ,
1
AC 2  CC1  Sin .
2
CC1  1, C1CB  60  ,
С1О на плоскость
OCA  90    .
2)
Тогда
Найдем
C1CA  45 .
АВС.
Обозначим
C1O  CC1  Sin
синус
угла
и
.
CosC1CB  CosC1CO  CosOCB . Для углов С1СА, С1СО и ОСА эта формула имеет
вид: CosC1CA  CosC1CO  CosOCA . Подставляя в формулы значения углов,
получим:

Cos60   Cos  Cos 90   
2
Cos 2 60   Cos 2 45   Cos 2 , Cos  

и
Cos 45  Cos  Cos ,
3
1
1 2
1
Sin


V

2

1

 1.
,
. 3)
4
2
2
2
С4
Вариант 33
Основание наклонной призмы ABCA1B1C1 – равнобедренный прямоугольный треугольник
ABC с катетом, равным 2; боковое ребро CC1 образует с катетами AC и BC углы 120º и 60º.
Найдите объем призмы, если длина бокового ребра равна 1.
ACB  90  ,
1) Пусть
AC  BC  2,
Опустим из вершины С1 перпендикуляр
C1CO   ,
V 
OCB   ,
Ответ:
2.
CC1  1, C1CB  60  , C1CA  120  .
С1О на плоскость
OCA  90    .
АВС.
Обозначим
C1O  CC1  Sin
Тогда
и
1
AC 2  CC1  Sin . 2) Найдем синус угла  . Воспользуемся известной формулой:
2
CosC1CB  CosC1CO  CosOCB . Для углов С1СА, С1СО и ОСА эта формула имеет
вид: CosC1CA  CosC1CO  CosOCA . Подставляя в формулы значения углов,

Cos60   Cos  Cos 90   
получим:
2
Cos 2 60   Cos 2 120   Cos 2 , Cos  

и
Cos120  Cos  Cos ,
2
1 2
2
1
Sin


V

2

1

 2.
,
. 3)
2
2
2
2
С4
Вариант 34
Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 – равные ромбы со стороной, равной 4. Углы BAD,
BAA1 и DAA1 равны 60º каждый. Найдите расстояние от точки D до плоскости BCD1.
Ответ: 2 2 .
1. Все ребра данной призмы равны между собой и так как грани призмы
ромбы с углом 60°, то меньшая диагональ в каждом ромбе равна 4. Отсюда следует, что
CBA1D1 – ромб, со стороной 4.
2. Рассмотрим отрезок DJ, где J – точка пересечения диагоналей ромба
CBA1D1. Треугольник CDA1 равнобедренный, следовательно, медиана DJ треугольника
CDA1 является его высотой, то есть DJ  CA1. Аналогично, DJ  D1B. Значит, по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости, DJ  BCD1 и поэтому расстояние от
D до плоскости BCD1 равно отрезку DJ.
3. JC=JB, как проекции равных наклонных DB и DC. Отсюда следует,
что СА1=D1B. Значит, в ромбе CBA1D1 диагонали равны. Следовательно,
D1DВВ1– квадрат со стороной 4. Отсюда половина его диагонали
BJ = 2 2 . Теперь из прямоугольного треугольника BJD находим
DJ= 2 BD  BJ
2
Ответ: 2 2 .
2
=2 2 .
С4 Вариант 35
Все ребра наклонной призмы ABCA1B1C1 равны между собой. Углы BAA1 и
СAA1 равны 60º каждый. Найдите угол между прямой СА1 и плоскостью BCС1.
Ответ: 45 º.
Решение:
1. Так как все ребра данной призмы равны между собой, то все ее боковые
грани – ромбы, а ее основания правильные треугольники. Боковые грани
АВВ1А1 и АСС1А1 ромбы с углом 60 º , поэтому ВА1=СА1=СВ.
2. Рассмотрим отрезок A1О, где О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма СBB1С1. Треугольник СA1В1 равнобедренный, следовательно,
медиана A1О треугольника СA1В1 является его высотой, то есть A1О  СB1.
Аналогично, A1О  С1B. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости, A1О  С1BВ1. Отсюда, угол между прямой CA1 и плоскостью BCC1
есть  А1CB1.
3. A1С=А1В, следовательно, ОС=ОB, как проекции равных наклонных. Отсюда
следует, что СB1=BС1. Следовательно, в ромбе C1CBB1 диагонали
равны. Значит, ромб С1СВВ1– квадрат.
4. Треугольники CА1B1 и СBB1 равны по трем сторонам, так как
CА1=CВ, А1B1=BB1 и СB1 – их общая сторона. Отсюда
 А1CB1 =  B1CB = 45º .
Ответ:45º.
.
С4
Вариант 36
Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 – равные ромбы, а площадь каждого ромба
равна равной 8 3 . Углы BAD, BAA1 и DAA1 равны 60º каждый. Найдите
расстояние от точки D до плоскости BCD1. Ответ: 2 2 .
a2 3
2

1. Пусть сторона ромба равна a . Тогда площадь ромба S p  a sin 60 
.
2
a2 3
 8 3 .Отсюда, a  4 .
Из условия получаем
2
2. Так как грани призмы равные ромбы с углом 60°, то меньшая диагональ в
каждом ромбе равна стороне ромба и равна 4. Отсюда следует, что CBA1D1 –
ромб, со стороной 4.
3. Рассмотрим отрезок DJ, где J – точка пересечения диагоналей ромба
CBA1D1. Треугольник CDA1 равнобедренный, следовательно, медиана DJ
треугольника CDA1 является его высотой, то есть DJ  CA1. Аналогично,
DJ  D1B. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
DJ  BCD1 и поэтому расст-ие от D до пл-ти BCD1 равно отрезку DJ.
4. JC=JB, как проекции равных наклонных DB и DC. Отсюда следует, что
СА1=D1B. Значит, в ромбе CBA1D1 диагонали равны. Следовательно,
D1DВВ1– квадрат, со стороной 4. Отсюда половина его диагонали DJ = 2 2 .