Иванов-Шиц Алексей Кириллович Профессор МГИМО МИД РФ

Иванов-Шиц Алексей Кириллович
Профессор МГИМО МИД РФ
Введем переменную «у» — уровень (объем) знаний
(сразу отметим, что в какой-то степени это является и
квалификационной характеристикой человека).
Процесс обучения — это изменение уровня знаний со
временем, т.е. с точки зрения математики,
необходимо рассматривать производную по времени:
dy
 I0
dt
(1)
где I0 — постоянный поток знаний (простейшая
модель!), который дается ученику.
Интегрируем (2) и получаем:
y  y0  I 0t ,
где t — время обучения.
(2)
Чем больше учишься, тем
больше знаешь и становишься
умнее. Но….
Более
реалистичной
является
модель
«зажигания огня» (протекания ядерной
реакции), т.е. для разжигания огня нужно иметь
огонь, и огонь разгорается, и сам поддерживает
себя (но дрова расходуются). Процесс обучения
описывается простым дифференциальным
уравнением:
dy
 I (t )  F ( y )
dt
y (t  0)  y0
(3)
Здесь t — время (обучения), I(t) — объем новых
усвоенных знаний (в другой интерпретации —
это затраты на обучение, т.е. затраты учителя),
F(y) — функция, характеризующая способности
к обучению, в частности, характеризует
способность
к
забыванию
материала.
Действительно, запоминаемый объем знаний
уменьшается у всех учеников, но скорость
забывания для каждого очень индивидуальна.
Эксперименты
показывают, что в
первом (грубом)
приближении при
постоянном потоке
знаний (I=const)
объем оставшегося в
памяти материала
убывает по
экспоненте и
характеризуются
коэффициентом
забывчивости α.
При малых у естественно считать скорость забывания линейной функцией от
объема усвоенного материала, т.е.
yзаб   y
(4)
Если α=0, то забывания не происходит (нереальный случай), все запоминается.
Следовательно, чем меньше а, тем лучше воспринимается материал (на самом
деле, здесь идет речь и о памяти ученика, и о возможности повторения
материала, что приводит к лучшему усвоению материала, т.е. к уменьшению
коэффициента забывчивости).
Рассмотрим следующую простую модель, считая, что постоянно идет передача
знаний (с постоянной скоростью, интенсивностью), а забывание описывается
линейной зависимостью. В этом случае имеем:
dy
 I0   y
dt
(5)
В начале обучения,
когда t<<(1/α), имеем:
y  y0  ( I 0   y0 )t
Графическое решение
представлено на рисунке
Если человек плохо усваивает материал (быстро забывает) и его начальный
уровень Io был низок, то I0-αу0<0, и знания будут убывать даже в процессе
обучения (вытекает больше, чем поступает в сосуд) (кривая 1).
С другой стороны, чем выше начальный уровень знаний, то, как правило,
лучше и коэффициент запоминания, т.е. меньше а. Также ясно, чтобы
получить положительную величину коэффициента I0-αу0>0, очень желателен и
высокий уровень преподавания — большое значение Io. В этом случае знания
человека (уровень образования) увеличивается (кривая 2).
Действительно, при t>>1/α (αt>>1) имеем:
y
I0

Это означает, что при сделанных предположениях общая зависимость
развития интеллекта человека имеет вид:
Более сложные модели могут быть предложены как для учета способностей ученика, так и для учета
возможностей преподавания.
Рассмотрим случай, соответствующий ситуации, когда ученику, начиная с некоторого момента,
становится учиться легче, т.е. он начинает «понимать» материал, т.е. процесс забывания (связанный
с чисто механическим заучиванием) заканчивается и ученик способен к самообучению. Ученик на
основе полученных знаний становится способным к выработке новых знаний. Возьмем упрощенный
вариант: сначала ученик испытывает забывание, описываемое линейным законом, а затем человек
симметрично изменяет поведенческий характер, т.е. забывание сменяется генерированием знаний.
Это означает, что упрощенная функция F(y) имеет вид, показанный на рисунке:
Функция
«работы»
ученика
в
процессе обучения: сначала преобладает
«забывание»,
но
при
накоплении
определенного багажа (здесь при у=0.5)
ученик
начинает
самообучаться
(забывание
меняется
способностью
восстанавливать полученные знания).
dy
 I 0   y, для y  0.5
dt
dy
 I 0  (   y ), для y  0.5
dt
(11а)
(11б )
I0 — это прямая, параллельная оси х. Если прямая I0 проходит выше точки α (толстая пунктирная линия), то
ученик будет все время наращивать свои знания (и интеллект), происходит накопление навыков
(компетенций — новомодное слово, что это означает непонятно) .
Если же прямая I0 пересекает функцию F(y) (случай показан толстой штрих- пунктирной линией), то ученик
перестает осваивать новое. Его уровень компетенции и в дальнейшем не превышает некоторого порогового
значения упорог, сколько бы времени его не учили.
Интересно заметить, что поскольку F(y) уменьшается при у->1, то как будто без «видимого» ущерба для
образования можно уменьшать учебную нагрузку, т.е. I(t) может быть не постоянной величиной, а также
уменьшаться, как это показано точечной линией на рисунке. Зачастую так и происходит, особенно сейчас —
на последних курсах студенты работают, намного меньше времени уделяют занятиям, однако формально
«успешно» заканчивают учебу и получают диплом. На самом деле это скрытый резерв для более
качественной подготовки специалистов, которые смогут давать добавленное знание. (В каком-то смысле это
некоторое «оправдание» перехода на бакалавра и магистра).
При (I0-α/2)>0 (т.е. I0/α>0.5) мы имеем экспоненциально возрастающую
функцию (сплошная кривая), которая достигает значения у=l при t1.
Если (I0-α/2)<0 (т.е. I0/α<0.5), то будет происходить не дальнейшее накопление
знаний, а наоборот, их «утечка», как это показано на рисунке, коричневая
линия. Зеленая линия — кривая «с насыщением».
Проведем некоторые оценки.
Вопрос заключается в том, каково время t1, т.е. какое время ученик должен потратить на учебу,
чтобы самому генерировать знания (давать отдачу на вложенный капитал). Если рассмотреть
некоторую реальную ситуацию, то можно считать, что в школе в первые 5-7 лет ученик достигает
некоторого уровня I0. Реально мы должны учитывать, что сначала ученик должен получить
некоторые базовые навыки и знания, чтобы затем реально и осознанно учиться. (Думается, что
задача не имеет решения, если нет желания учиться. Это желание может быть неосознанным —
гены, наследство, окружающая обстановка, — а может быть осознанным - «вбито ремнем и стало
привычкой, либо «научили» этому желанию).
Поэтому на сам процесс развития (обучения) мы отводим 10-12 лет, и за это время ученик должен
приобрести весь объем необходимых знаний (мы его взяли за 1).
Коэффициент забывания лежит в пределах 0.2-0.5. Возьмем среднее значение α=0.3, и пусть
начальный уровень составляет y0= 0.1 I0. Пусть I0=l.
Тогда t1=7
Как видно, получили разумные значения: за 7 лет в данном примере ученик получает полный
объем знаний. Посмотрим влияние начальной подготовки, т.е. величины у0. Совершенно
очевидно, что в любом случае (не берем в рассмотрение гениев), у0 <<1, и возьмем разницу а
начальной подготовки в 5 раз: для ученика А — у0А=1/10, для ученика В-у0В =1/50. Пусть разница в
способностях очень небольшая, но все- таки ученик В имеет немного меньший коэффициент
забывания: αА~0.3 и αВ~0.29. Найдем время, через которое уровни подготовки (образования)
сравняются:
t=4.
Таким образом, достаточно быстро может быть ликвидировано значительный разрыв (в 5 раз) в
начальной подготовке (был взят очень маленький разрыв в способностях). Иными словами,
разрыв в начальном уровне подготовки через несколько лет практически не сказывается на
дальнейшем развитии.
При (I0-α/2)>0 (т.е. I0/α>0.5) мы имеем экспоненциально возрастающую
функцию (сплошная кривая), которая достигает значения у=l при t1.
Если (I0-α/2)<0 (т.е. I0/α<0.5), то будет происходить не дальнейшее накопление
знаний, а наоборот, их «утечка», как это показано на рисунке, коричневая
линия. Зеленая линия — кривая «с насыщением».
Выводы:
Спасибо за внимание
1. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы
будущего. Москва . 2003.
2. А.М.Зеневич, С.Я. Жукович. Математическое моделирование процесса
обучения. Труды конф. Подготовка научных кадров. Минск. 2006.
Способности человека