Асимметричные моды колебаний пьезокерамических цилиндров И.Ф. Бугаян , И.Н. Мощенко

Асимметричные моды колебаний пьезокерамических цилиндров
И.Ф. Бугаян1, И.Н. Мощенко2
1
Ростовский строительный университет, 2 Северо-Кавказский научный центр высшей
школы ЮФУ
В качестве ультразвуковых излучателей радиальных колебаний иногда используют
толстостенные пьезокерамические цилиндры, склеенные из секторов с антифазной (по
отношению к ближайшим соседям) тангенциальной поляризацией. На рис. 1 приведено
поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов. Стрелками внутри
цилиндра показаны направления поляризации в секторах.
Рис. 1. Поперечное сечение цилиндра, склеенного из четырех секторов. Стрелками внутри
цилиндра показаны направления поляризации в секторах, полужирными линиями –
электроды.
В реальных устройствах число секторов больше (обычно 12 - 24). В статье
исследуется общий случай с (2 m) секторами и (2 m) электродами. Для возбуждения
механических колебаний цилиндра на электроды подают переменное напряжение со
сдвигом по фазе разности потенциалов на соседних секторах. Сдвиг фаз зависит от типа
колебаний, которые необходимо возбудить, но чаще всего используют противофазное
включение, как показано на рис. 1. При этом потенциалы φi на электродах подчиняются
следующему условию:
φ2i - φ2i-1 = -φ2i+1 + φ2i = u0 cos(ωt), i=1….m;
(1)
где u0 – амплитуда напряжения, ω – частота, t - время.
Для длинных цилиндров характерны моды колебаний, близкие к плоским, когда
смещения практически перпендикулярны оси, а их амплитуда и фаза слабо изменяются в
осевом направлении. Целью работы является теоретический анализ таких колебаний в
двумерном приближении. Рассматривается идеализированный случай полностью плоских
колебаний, для которых смещения uz вдоль оси цилиндра отсутствуют, а остальные
смещения ur и u не изменяются в этом направлении. (В работе используется
цилиндрическая система координат (r, θ, z), с началом координат на оси и координатой z
вдоль оси цилиндра).
Задача решается в рамках линейной теории пьезоупругости, в предположении, что
по упругим свойствам материал полностью изотропен, а по пьезоэлектрическим –
поляризован в тангенциальном направлении и полностью изотропен в перпендикулярном.
В соответствии с этим, упругие свойства описываются двумя коэффициентами
Ламе μ и λ, а пьезоэлектрические, в общем случае, пятерыми не равными нулю
пьезомодулями. В цилиндрической системе координат это er,rθ= ez,zθ; eθ,rr= eθ,zz; eθ,θθ (в
рассматриваемом плоском случае они сведутся к трем пьезомодулям er,rθ; eθ,rr; eθ,θθ).
Отметим, что противофазность как поляризации, так и электрического
подключения позволяет редуцировать задачу, рассматривая одинаковую поляризацию
всех секторов и их синфазное подключение. При этом разность потенциалов на соседних
электродах:
φ2i - φ2i-1 = φ2i+1 - φ2i = u0 cos(ωt), i=1….m.
(2)
Что ведет к следующим граничным условиям для электрического потенциала:
  0;0  mu0 cos t ,
  0; 2 m   mu0 cos t ,

i  i;i  i1  u0 cos t ,
m
i  1...2m .
(3)
Очевидно, что эти две задачи (прямая и редуцированная) полностью эквивалентны.
Если же в прямой задаче сдвиг фаз между соседними секторами отличается от 180
градусов, то задачу все равно можно редуцировать к задаче с одинаковой поляризацией,
но уже с ненулевым фазовым сдвигом. При этом граничные условия для потенциала
изменяться, но только по фазе  i , амплитуда разности потенциалов на любом секторе
останется той же:

i  ,   i  u0 cos(t   i );
(4)
m
i  1...m.
В работе рассматривается задача именно в такой, редуцированной постановке, с
граничными условиями типа (4) для потенциала. Распределение потенциала внутри
пьезокерамики находится из уравнений электростатики:

rotE  0,
(5)
 
divD  0,


здесь E и D - векторы напряженности и индукции электростатического поля,
связанные соотношениями теории пьезоэффекта [3]:
Dr   r  0 E r  4 er ,r  r ,
D     0 E  4 e ,rr  rr  4 e ,   ,
(6)
где εr и ε – соответствующие компоненты диэлектрической проницаемости (для
пьезокерамики ε в направлении поляризации и в перпендикулярном направлении
различаются), ε0 – электрическая постоянная, εij – компоненты тензора деформации. Из
первого уравнения системы (5) вытекает потенциальность поля напряженности
E   grad , где электрический потенциал  должен удовлетворять граничным
условиям (4) и уравнениям (5), (6). Приближенное решение для потенциала можно найти,
пренебрегаю в (6) обратным влиянием упругой подсистемы на электрическую. Введем
вектор A :
Аr  4er ,r  r ,
A  4e ,rr rr  4e , zz zz  4e ,  ,
Тогда (5) можно записать



E
divD     0 divE  ( r    ) r  divA  0.
r
(7)
Предположим,
что
для
всех
решений

divA  0
(вернее


E
divA  (   0 divE  ( r    ) r )
r ). Тогда второе уравнение системы (5) можно
приближенно заменить
 (    ) Er
divE  r
 0.
   0 r
(8)
Физически мы пренебрегли электрическим полем, создаваемы прямым пьезоэффектом по
сравнению
с электрическим полем внешних источников в конденсаторе. Подставляя

Е   grad в (8), получим уравнение для  :
( r    )  2
 
0
  0  2r
,
(9)
где  - оператор Лапласа.
Это уравнение имеет частное решение
u  2m

 0
 1сost ,
(10)
2 

удовлетворяющее нашим граничным условиям. Отметим, что это решение справедливо
только для первого сектора, потенциал для остальных нетрудно получить из него,
пользуясь условиями непрерывности и заданными величинами сдвига фаз для разности
потенциалов на остальных секторах.
Противофазное включение соседних секторов используется для получения
полносимметричных
аксиальных
колебаний.
Теоретически
такие
колебания
пьезокерамических цилиндров рассмотрены нами в двумерном приближении в [1]. Для
этого случая найдены аналитические решения в виде сходящихся рядов, и получены
уравнения для резонансных частот [1]. Разработанный при этом метод решения
уравнений пьезоупругости в [2] обобщается на случай плоских колебаний с азимутальной
анизотропией. Такие моды колебаний возбуждаются, во-первых, при включении секторов,
отличном от противофазного. Во-вторых, они могут возникать в виде резонансных
колебаний и при противофазном включении. Теоретически последнее можно показать,
исходя из следующих соображений.
При противофазном включении секторов в электрическую цепь, для
вышеупомянутой редуцированной задачи приближенное решение для потенциала (10)
будет справедливо для всего цилиндра, а не только на первом секторе. Более того, как
показано в [1], для полносимметричной моды колебаний оно выполняется точно.
Пространственный спектр распределения типа (10) содержит азимутально-неоднородные
гармоники. Как показано в [2] на примере косинусоидальных (по  ) гармоник, для
каждой из них существует соответствующее решение уравнений пьезоупругости для
нашей задачи. При этом сумма решений по всем гармоникам не совпадает с рядом Фурье
(по  ) полносимметричного однородного решения [1] для того же потенциала (10). То
есть задача даже в приближении линейной теории неоднозначна, Для одного потенциала
существует несколько решений. Это не противоречит теореме единственности для
линейной пьезоупругости. Теорема единственности выполняется только для односвязных
объектов, а наш объект двухсвязный.
Для многосвязных объектов выбор реализуемого в действительности решения
нужно осуществлять на основе анализа динамической устойчивости. Однако это верно
лишь для областей вне резонансов. В районе резонанса какого-то одного решения из
общих соображений можно предположить, что энергетически выгодным будет именно
резонансное решение. Так как резонансы полносимметричной моды и мод с азимутальной
компонентой не совпадают, то следует ожидать, что в резонансном режиме будут
наблюдаться все, и однородные, и неоднородные (по  ) гармоники.
Как показано в [2], для противофазного включения соседних секторов функцию
распределения потенциала по азимутальному углу можно разложить в ряд Фурье либо по
синусам (на интервале [0, 2π]), либо по косинусам (расширяя четным образом область
определения с интервала [0, 2π] на интервал [-2π, 2π]). В случае же электрического
подключения общего вида, ряд Фурье, для функции распределения электрического
потенциала, содержит как синусы, так и косинусы. Возбуждение колебаний
пьезокерамического цилиндра косинусоидальными гармониками рассмотрено в [2].
Целью настоящей работы являлось исследование колебаний цилиндра под действием
синусоидальных (по азимутальному углу) гармоник электрического потенциала.
Таким образом, в работе рассматривается следующая постановка задачи. Задано
распределение электрического потенциала:
(11)
  An sin( n ) cos(t ),
где n – любое целое.
Необходимо определить в двухмерном приближении распределение смещений,
деформаций и напряжений в пьезокрамическом цилиндре, обусловленных потенциалом
(11).
Для решения поставленной задачи необходимо найти решение уравнений движения:
  rr 1  r  rr   
 2ur




,

r
r 
r
t 2
(12)

2
  r  1    2     u ,
r
 r
r 
r
t 2

u
здесь ρ – плотность; i - i-я компонента вектора перемещения; ik - компоненты тензора
напряжения, связанные с εij – компоненты тензора деформации Гука [3]:
 rr  2  rr  e0  e ,rr E ,
   2    e0  e , E ,
 r  2  r  er ,r E r ,
 zz  e0 ,
здесь
(13)
e0   rr    - относительное изменение объема; λ и μ – коэффициенты Ламе.
Напомним, что задача рассматривается в полярной системе координат. В
соответствии со сделанными допущениями двухмерности следует двухмерность
уравнений (12) (uz=0, ur= ur(r, θ) и u= u(r, θ)), равенство нулю z компонент векторов
напряженности и индукции электростатического поля, а также iz компонент тензора
деформации (i - любое) и rz и z компонент тензора напряжений.
Определяя по (11) напряженность электрического поля, подставляя ее в (13), а (13)
u
в (12) и выражая деформации εij через перемещения i , получим обычные уравнения
движения в перемещениях
с эффективной объемной силой:

2



d U
E
E
 2 
U 
grad (divU )  F ,
(14)
2(1   )
2(1   )(1  2 )
dt
здесь
E
и
σ
–
модуль
Юнга
и
коэффициент
Пуассона

(
E
E
, 
2(1   )
(1  2 )(1   ) ), а массовая сила имеет следующие компоненты:
Fr  
e,
r2
e,
An  n cos( n ) cos(t );
(15)
An  n cos( n ) cos(t ).
r2
решения уравнения (14) воспользуемся
F  
2
Для
методом Ламе. Представим

  


U

grad


rot

U  V  W , где
divW  0, rotV  0,
т.е.



( V  grad, W  rot  ).  Отметим, что в двухмерном случае векторный потенциал
сводится к скалярному   (0,0,  ) и компоненты вектора смещения следующим
образом выражаются через оба скалярные потенциалы:
 1 

;
r r 
1  
u 

.
r  r
ur 
(16)
Выразим так же массовую силу из (15) через соответствующий скалярный потенциал:

F   gradv, v  e, An  n cos(n ) cos(t ) .
(17)

r


Подставим u и F в уравнение движения (14) и получим два скалярных уравнения для
потенциалов  и  :
1  2
1
  2 2   2 v;
с t
c
 
1  
;
2
сt t 2
(18)
2
(19)
с c
где  и t - продольная и поперечная скорости звука соответственно.
Уравнение для поперечной составляющей (19) является чисто волновым, его решения
известны:
  ( D2 J n (k1r )  G2 N n (k1r ))( 2 cos(n )   2 sin( n )) cos(t ) , (20)
J ,N
n - функции Бесселя первого и второго рода, k – волновое число,
где n
, α2, β2,
1
D2 и G2 – константы, определяемые из граничных условий на боковых поверхностях
цилиндра и на торцах первого сектора. Так как эффективная сила, связанная с
пьезоактивностью, не входит ни в уравнения (19), ни в граничные условия, то поперечная
составляющая за счет линейных эффектов не возбуждается. В принципе, она может
возбудиться в импульсном режиме или на резонансе этой моды за счет нелинейного
взаимодействия с продольной составляющей, но рассмотрение таких эффектов выходит за
рамки статьи.
Уравнение для продольной составляющей (18) представляет собой волновое
уравнение с эффективной массовой силой  . Ранее [2] нами было получено аналогичное
уравнение при исследовании колебаний такого же пьезокерамического цилиндра,
возбуждаемых косинусоидальными гармониками. Единственное отличие состоит в том,
что для синусоидального возбуждения в эффективную силу  входит cos( n ) , а не
sin( n ) , как в [2]. Методика решения уравнений такого типа, предложенная в [2], легко
обобщается и на рассматриваемый случай.
Будем искать решение уравнения (18) в виде   1 cos t , тогда оно переходит в
 , nАn cos( n )
2
1 


Ф1 .
r
c2
c2
.
Или
A5n cos(n )
(21)
 k 2Ф1 ,
r
 , nАn

где k  , A5n 
. Сделаем вложенную цепочку замен переменных:
c
c2
1 
1 
Ф2 
А5 cos( n)  r
A5n cos( n )
А cos( n )  r 

2
;
;


k
Ф
Ф

Ф

 k 2Ф1 ;  Ф1  5

1
2
1
1  n2
r
(1  n 2 )


k 2 А5n cos( n )  r
(1  n 2 )
  k 2 Ф2 ;

k 2 А5n cos( n )  r 3 
k 2 А5 cos( n )  r 3
2

 Ф2 


k
Ф
Ф

Ф

;
;
3
2
2
(1  n 2 )(3 2  n 2 )
(1  n 2 )(32  n 2 ) 

.
.
.
Фm 
(1) m 1 k 2( m 1) А5n cos( n )  r 2 m 3
(1  n 2 )(3 2  n 2 )...(( 2m  3) 2  n 2 )
  k 2 Фm ;

(1) m 1 k 2( m 1) А5n cos( n )  r 2 m1 
   k 2 Фm ;
 Фm 
2
2
2
2
2 
(
1

n
)(
3

n
)...((
2
m

1
)

n
)


(1) m k 2( m1) А5n cos( n )  r 2 m1
;
(1  n 2 )(32  n 2 )...(( 2m  1) 2  n 2 )
И так далее, вплоть до m  .
Фm1  Фm 
(22)
Отметим, что в этой цепочке
 m 1   m  Bm ,
Bm 
(1) m k 2 ( m 1) А5 n cos( n )  r 2 m 1
,
(1  n 2 )(3 2  n 2 )...(( 2m  1) 2  n 2 )
(23)
k 2r 2
.
(( 2m  1) 2  n 2 )
При этом для любых k и r можно найти N 1 , такое, что при m  N1 , выполняется:
Bm  Bm 1
k 2r 2
 1, т.е. Bm  Bm1 и в пределе Bm  0, при m  . (24)
2m  12  n 2
1     
2
При этом мы перейдем к уравнению
r
  k   , т.е. к уравнению
r r  r 


Гельмгольца, его частное решение
Ф  [ D1 J n (kr)  G1 N n (kr)](1 cos(n )  1 sin( n )) ,
(25)
где J n - функция Бесселя первого рода n-го порядка, N n - функция Бесселя второго рода
n-го порядка,
- константы.
Обращая цепочку замен (22), определим Ф1
 m1   m  Bm ,

1   2  B2   3  B2  B3   4  B2  B3  B4      Bi     s,
i 2

где s   Bi и члены ряда Bi определены в (23). Отметим, что в соответствии с (23), ряд
i 2
s мажорируется геометрической прогрессией, а значит, сходится абсолютно. Более того,
его можно почленно дифференцировать
s  Bi

,
r i 1 r
s  Bi
,

 i 1 
(26)
Для этих рядов также нетрудно показать, что и они сходится абсолютно и их можно
почленно дифференцировать
 2 s   2 Bi

,
r 2 i 1 r 2

 2 Bi  2 s   2 Bi
2s

,

, (27)
r i 1 r  2 i 1  2
и ряды также сходится абсолютно.
Таким образом, потенциал Ф1 выражается через известный потенциал  (25) и
бесконечный абсолютно сходящийся ряд
(28)
1     s .
Это дает возможность определить потенциал Ф поля перемещений, а по нему определить
сами перемещения, деформации и напряжения. Последние при этом будут выражаться
через производные от  и абсолютно сходящиеся ряды (26) и (27). Этим решается
задача об описании колебаний, возбуждаемых одной гармоникой (11) электрического
потенциала.
Ввиду линейности используемой теории, колебания цилиндра,
возбуждаемые всем электрическим потенциалом (10), описываются суперпозицией
найденных решений. При этом каждое отдельное решение содержит восемь неизвестных
констант.
Найденные решения уравнений (12 - 13) должны удовлетворять граничным
условиям для упругих переменных:
r  r1; r2 ,
 rr  0.
(29)
Граничных условия у нас всего два и им должно удовлетворять только суммарное
решение. Мы можем разложить каждое из (29) в ряд Фурье и потребовать удовлетворения
своему граничному условию для каждой гармоники. Однако для нулевых граничных
условий все гармоники будут также нулевые, и получается, что условию (29) должно
удовлетворять каждое решение по отдельности. В частности, это будет выполняться, если
для каждой найденной моды колебаний, взять D2  G2  1  0, 1  1 , а D1 и G1
определять из (29). Таким образом, всегда существует, по крайней мере, одно решение
для каждой синусоидальной гармоники (11), удовлетворяющее граничным условиям.
Ранее [1] мы нашли аналогичные решения для косинусоидальных гармоник. При любом
типе подключения электродов электрический потенциал может быть разложен в ряд
Фурье по азимутальному углу, содержащий в общем случае как синусоидальные, так и
косинусоидальные гармоники. Таким образом, полученные результаты позволяют
получать полные решения при произвольном типе подключения электродов, как сумму
найденных решений по всем гармоникам.
Литература
1. Мощенко И.Н. и др., Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра
с тангенциальными поляризацией и возбуждением //Инженерный вестник Дона, 2009. №1.
http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/117/ (доступ свободный) — Загл. с
экрана. — Яз. рус.
2. Мощенко И.Н., Товаровская Н.М. Радиально - круговые моды
колебаний
пьезокерамического цилиндра с тангенциальными поляризацией и возбуждением
//Инженерный вестник Дона, 2009. №1. http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n2y2009/125/
(доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
3. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики – М.: Наука, 1979. – 639 с.