РП Дискретная математика ПИ

ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, БИЗНЕСА И ПРАВА
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по науке и качеству образования
________________ Ю. В. Дашко
_________________ 2010г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Б2.Б.2
(индекс)
«Дискретная математика»
(наименование)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ(И)
080800.62
Прикладная информатика
(шифр)
(наименование)
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ(И)
-
(шифр)
(наименование)
Академия
Академия управления
Информационные технологии
кафедры
(код)
(наименование)
ПЛАНОВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Всего часов на освоение учебного материала
(по ГОС/по Учебному плану)
Часов аудиторных занятий всего
Часов лекций
с разбивкой по семестрам (курсам)
Часов практических занятий
с разбивкой по семестрам (курсам)
Часов самостоятельной работы
Число контрольных работ
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число курсовых работ
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число зачетов
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число экзаменов
с разбивкой по семестрам (курсам)
Число кредитов
Число модулей
Очная форма
Заочная форма
108
-
48
20 (6 семестр)
20 (7 семестр)
14 (6 семестр)
16 (7 семестр)
20
1 (6 семестр)
-
-
-
-
1 (7 семестр)
-
-
-
АВТОР
Рабочей
программы
к.п.н., доц. Гурниковская Рената Юрьевна
(Ф.И.О., ученая степень, звание, должность)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СОСТАВЛЕНА НА ОСНОВАНИИ:
1. Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования
___________
31 января 2004 года__________________________
(дата утверждения)
2. Типовой программы
3. Учебного плана
-________________________
(дата утверждения)
16.06.2007 года
(дата утверждения)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ОБСУЖДАЛАСЬ И СОГЛАСОВАНА
КАФЕДРОЙ:
«Информационные технологии»
(наименование)
Протокол заседания кафедры № 2
УМС по экономике и управлению
Строцев А.А.
(подпись зав. каф)
от 10.09.2010
(наименование)
(подпись председателя УМС)
Протокол УМС № 1
от …..09.2010
(Ф.И.О.)
Киянова Л.Д.
(Ф.И.О.)
2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
 Целью курса для студента- изучить основы теории множеств, комбинаторики,
алгебры логики, теории графов.
 Задачами курса являются: закрепление умений оперировать над аппаратом
теории множеств, в том числе с отношениями и функциями; распознавать различные комбинаторные конфигурации и подсчитывать их число; осуществлять
элементарные операции над графами; использовать основные законы алгебры
логики для преобразования логических функций, в том числе их минимизация.
2 Требования к уровню усвоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
·
о значении и областях применения данной дисциплины;
о теоретико-множественном построении разделов дискретной математики:
алгебры логики, комбинаторики, теории графов.
знать:
·
о круге задач дискретной математики и их применении в других курсах и
практических задачах;
·
аппарат формул логики и теорию булевых функций, логические операции,
формулы логики, законы алгебры логики; понятие функции алгебры логики,
представление функции в совершенных нормальных формах;
·
·
основы теории множеств; теоретико-множественные операции и их связь с
логическими операциями;
·
логика предикатов, бинарные отношения и их виды;
·
элементы теории отображений и алгебры подстановок;
·
основы алгебры вычетов и их приложение к простейшим криптографическим
шифрам;
·
алгоритмическое перечисление основных комбинаторных объектов;
·
элементы теории автоматов;
3
·
способы минимизации логической схемотехники;
·
основы алгебры вычетов;
·
методологию шифрования;
·
метод математической индукции;
·
основные формулы комбинаторики;
·
основные понятия теории графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы, плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
·
элементы теории автоматов
уметь:
·
выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств
для решения задач;
·
строить таблицы истинности для формул логики и упрощать формулы ло-
гики;
·
представлять булевы функции в виде форму заданного типа, определять
возможность выражения одних булевых функций через другие;
·
исследовать бинарные отношения на заданные свойства;
·
выполнять операции в алгебре вычетов;
·
применять простейшие шифры для шифрования текстов;
·
доказывать утверждения с помощью метода математической индукции;
·
генерировать основные комбинаторные объекты;
·
находить характеристики графов, выделять структурные особенности гра-
фов, исследовать графы на заданные свойства, применять аппарат теории графов
для решения прикладных задач;
·
строить автоматы с заданными свойствами.
4
3 АУДИТОРНАЯ РАБОТА
3.1. Лекции
Кол-во часов
№
Тема занятия
Краткое содержание
О
Высказывания. Истинность высказываний. Некоторые логические
операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация, эквивалентность. Таблицы истинности, свойства.
1
1
2
Операции
“Штрих
Шеффера”,
“Символ Лукасевича”. Связь между
логическими операциями. Булевские
операции. Применение алгебры высказываний для анализа контактных
схем.
2
3
Логическая переменная и логическая формула. Логические операции.
Формулы логики, законы алгебры
логики. Равенство логических формул. Двойственные формулы. Понятие функции алгебры логики, представление функции в совершенных
нормальных формах (ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ) многочлен Жегалкина; основные классы функций,
полнота множества функций. Теоремы о тождественной истинности и
тождественной ложности логической формулы. Логическое следствие. Теорема Поста.
Высказывания. Истинность высказываний. Некоторые логические
операции над высказываниями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция,
импликация, эквивалентность. Таблицы истинности, свойства.
2
Операции
“Штрих
Шеффера”,
“Символ Лукасевича”. Связь между
логическими операциями. Булевские
операции. Применение алгебры высказываний для анализа контактных
схем.
2
1
4
5
Алгебра высказываний
З
С
5
2
6
Логическая переменная и логическая формула. Формулы логики, законы алгебры логики. Равенство логических формул. Двойственные
формулы. Понятие функции алгебры
логики, представление функции в
совершенных нормальных формах
(ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ) многочлен Жегалкина; основные классы
функций, полнота множества функций. Теоремы о тождественной истинности и тождественной ложности логической формулы. Логическое следствие. Теорема Поста.
2
7
Основные понятия теории множеств. Множество, равенство множеств. Пустое множество, его единственность.
Теоретикомножественные операции и их связь
с логическими операциями. Мощность множества. Множества конечные, счетные. Теорема Кантора.
Операции над множествами: объединение, пересечение, разность,
симметрическая разность, абсолютное дополнение. Свойства. основные понятия теории множеств, теоретико-множественные операции и
их связь с логическими операциями;
логика предикатов, бинарные отношения и их виды.
2
8
Прямое произведение множеств,
свойства, примеры. Проектирование
множеств. Инверсия множеств.
Композиция множеств. Покрытие и
разбиение множеств. Предикаты,
операции над ними.
2
9
Понятие соответствия, способы задания соответствий. Операции над
соответствиями. Образ и прообраз
множества при данном соответствии. Сужение и продолжение соответствий. Функция.
Отношения. Понятие отношения и
способы задания. Операции над отношениями. Основные свойства отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность, связанность. Отношения эквивалентности,
толерантности, порядка, квазипо-
2
10
Элементы теории множеств
Соответствия
6
рядка, связь с разбиением и покрытием множества.
11
12
Элементы теории графов
Определение и способы задания
графов. Основные понятия теории
графов, характеристики графов, эйлеровы и гамильтоновы графы,
плоские графы, деревья, ориентированные графы, бинарные деревья;
элементы теории автоматов. Историческая справка. Граф как абстрактное математическое понятие.
Вершины, ребра, дуги. Понятие инцидентности. Неориентированные и
ориентированные графы (орграфы).
Смешанные графы. Понятие изоморфности графов. О- графы и полные графы. Петля. Обратный граф.
Плоский граф.
2
Графы и отношения. Виды графов и
классы отношений. Мультиграф и
псевдограф.Конечный и бесконечный граф. Локальная степень графа.
Теорема о вычислении вершин нечетной степени в графе. Однородные графы. Части графа. Подграфы
Звездный граф. Дополнение графа.
Покрывающий суграф графа. Основные операции над графами: объединение, соединение, произведение
композиция графов. Бинарные отношения на графах.
2
Пути в графах. Маршрут. Цепь.
Простая цепь. Начальная и конечная
вершины. Нетривиальный маршрут
(цикл). Пути и контуры. Связность
графа. Компоненты связности. Число ребер в связном графе и полном
графе. Разъединяющее множество
связного графа. Разрезы. Мост (перешеек).
2
13
Матрицы графов и их свойства.
Матрица смежности. Линейный
подграф орграфа. Остовной подграф. Матрица инцинденций. Теорема о связи матрицы смежности и
матрицы инцинденций для реберного графа
2
14
Основные циклы в графах. Эйлеров
и Гамильтонов циклы в графе. Полуэйлеров и полугамильтонов цик-
7
лы. Теоремы о существовании Эйлерова цикла в графе. Алгоритм построения Эйлеровой цепи В Эйлеровом графе (алгоритм Флери). Теорема Дирока о существовании Гамильтонова цикла в графе. Задачи
нахождения Эйлерова цикла в графе. Связи между Эйлеровым и Гамильтоновым циклами в графе. Задача о коммивояжере. Матрица циклов в графе.
2
15
Деревья и их свойства. Деревья,
остовы, леса. Ранг и цикломатическое число. Базисные циклы. Разрезающие множества. Разрез. Построение всех остовных деревьев грвфа.
2
16
Кратчайшие пути в графе. Вес дуги.
Задачи о кратчайших путях в графе.
Кратчайший путь между двумя заданными вершинами. Алгоритм
Дейкстры нахождения кратчайшего
пути в графе.
1
17
Кратчайшее остовное дерево в графе. Алгоритм Краскала. Алгоритм
Дейкстры.
Алгоритм
ПримаДейкстры.
1
18
Нахождение критического пути в
графе. Критические работы. Критический путь. Алгоритм нахождения
критического пути в графе.
1
19
Потоки в сетях. Задача о нахождении максимального потока в графе.
Максимальный поток между каждой
парой вершин. Поток минимальной
стоимости от источника к стоку. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
1
20
Раскраски. Хроматическое число.
Алгоритмы раскраски (точные и
приближнные). Реберные и вершиные покрытия. Хроматические полиномы. Проблема четырех красок.
2
21
Основные задачи теории графов. Задача о покрытии. Максимальное паросочетание. Внутренние и внешнеустойччивые множества вершин.
Опора. Клика. Формулировка задач
теории графов в терминах целочисленного линейного программирования. Алгоритм решения задачи
8
ЦЛП.
22
Комбинаторика
23
Основные правила комбинаторики.
Теоретико-множественное произведение. Понятие – выборки. Размещение Перестановки. Сочетания.
Упорядоченные и неупорядоченные
– выборки. Пересчет. Пересечение.
Классификация. Оптимизация.
2
Элементы теории отображений и
алгебры подстановок; основы алгебры вычетов и их приложение к простейшим криптографическим шифрам;метод математической индукции; алгоритмическое перечисление
основных комбинаторных объектов;
2
Всего:
40
3.2. Практические занятия
Кол-во часов
№
Тема занятия
Краткое содержание
О
Высказывания, операции над высказываниям, таблицы истинности для
высказываний.
1
2
2
Булевские операции. Применение
логических операций для анализа
контактных схем.
2
3
Приведение логической формулы к
СДНФ, СКНФ.
2
4
Множество, способы задания множеств. Операции над множествами,
свойства.
Проектирование множеств, свойства
1
Способы задания соответствий.
Операции над соответствиями.
2
1
7
Отношения, способы задания отношений, операции над отношениями.
2
8
Основные свойства отношений. Отношения эквивалентности, толерантности, порядка.
1
Алгебра высказываний
Элементы теории множеств
5
6
Соответствия
З
С
9
Построение графов различных видов (неориентированные, ориентированные). Изоморфные графы. Получение обратных графов. Степени
вершины.
2
2
10
Построение частей графа, подграфа,
дополнений графа, остовных подграфов, порожденных подграфов.
Решение задач на основные операции над графами.
1
11
Нахождение путей в графах, разрезов.
2
12
Построение графов по матрицам
смежности и инцендентности. Задача построения реберных графов.
1
13
Решение задач на нахождение Эйлеровых и гамильтоновых циклов в
графе. Построение матрицы циклов
графа.
2
14
Построение остовных деревьев и
разрезов в графе. Использование алгоритма Дейкстры.
1
15
Построение кратчайших остовных
деревьев графа с помощью алгоритмов Краскала и Прима – Дейкстры.
Самостоятельная работа.
Решение задач нахождения критического (длиннейшего) пути в графе
2
16
1
17
Нахождение максимального потока
с помощью алгоритма ФордаФалкерсона.
2
18
Нахождение хроматического числа в
графе, построение хроматических
полиномов при решении задачи о
раскраске. Самостоятельная работа.
1
19
Решение задач теории графов,
сформулированных в виде задачи
целочисленного линейного программирования с булевыми переменными.
9
20
Элементы теории графов
Всего:
30
10
4
№
1
2
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
Операции над множествами. 
Доказательство
известных
тождеств.

Операции над множествами. 
Доказательство тождеств.
Решение систем уравнения.


3
Отношения и функции
4
5
Краткое содержание/
Деятельность студента. Решая задачи,
студент:
Тема занятия


Отношения и функции

Специальные бинарные от- 
ношения
6
Таблицы истинности


7

Совершенные ДНФ и КНФ

8

9
Минимизация булевых функ- 
ций.

Правила суммы и произведе- 
ния. Типы расстановок.
10


Кол-во часов
О
использует определения операций над множествами;
выбирает способ доказательства
тождеств.
использует знания, полученные
на первом занятии и самостоятельно доказывает тождества.
учиться решать системы уравнений относительно множеств;
совместно с преподавателем разрабатывает методику решения
таких задач.
использует определения, отношения и функции;
решает совместно с преподавателем соответствующие задачи.
закрепляет навыки, полученные
на предыдущем занятии.
использует практически такие
понятия как «эквивалентность»,
«частичный порядок на А», «линейный порядок на А», «монотонное отображение».
1
учится строить таблицы истинности;
определяет существенные и
фиктивные переменные;
определяет двойственные функции.
строит СДНФ и СКНФ, используя таблицу истинности и эквивалентные преобразования;
учится переходить от одних
форм к другим.
использует карту Карно для получения сокращенной ДНФ;
использует таблицу Квайна для
получения МДНФ.
учится различать различные типы расстановок, их отличие друг
от друга;
решает задачи на типы расстановок;
устанавливает роль правил
суммы и произведения для ана-
2
З
С
1
2
1
1
2
2
2
2
11
лиза этих расстановок.

Типы расстановок.
11
12
13
Формула включений и ис- 
ключений. Круги Эйлера.
Способы задания графов. 
Операции над графами.

использует полученные ранее 2
знания для решения конкретных
задач.
использует полученные ранее 1
знания для решения более сложных задач.
формирует графы различных 1
типов;
производит над ними соответствующие операции.
Всего:
20
5
30
ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ:
«Индукция и комбинаторика»
Краткое содержание: Метод математической индукции. Индукция по структуре
объекта. Комбинаторика: число размещений, перестановок и сочетаний. Принцип
включения и исключения .
«Булевы функции и их представления»
Краткое содержание: Класс Pn булевых функций от n переменных. Геометрическое представление булевых функций. Задание булевых функций с помощью таблиц. Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных. булевы (логические) формулы.
Решение задач логики высказываний с помощью булевых формул и функций
«Эквивалентность формул и нормальные формы»
Краткое содержание: Эквивалентность булевых формул. Основные эквивалентности (законы логики). Эквивалентные преобразования формул. Принцип замены
эквивалентных. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и
КНФ). Совершенные ДНФ и КНФ. Сокращенные ДНФ и их построение методом
Блейка. Многочлены Жегалкина и их построение с помощью эквивалентных преобразований формул и методом неопределенных коэффициентов по таблицам
12
«Полные системы функций и теорема Поста»
Краткое содержание: Замкнутые классы функций. Полные системы булевых
функций. Замкнутость классов функций, сохраняющих 0, функций, сохраняющих
1, самодвойственных функций, монотонных функций и линейных функций. Критерий полноты системы булевых функций (теорема Поста)
«Хорновские формулы и задача получения продукции»
Краткое содержание: Хорновские формулы. Задача получения продукции. Связь
между задачей о следствии для Хорновских формул и разрешимостью задачи о
продукции. Эффективные алгоритмы прямого поиска (поиска от данных) для решения задачи о продукции
«Язык логики предикатов»
Краткое содержание: Объекты, их свойства, отношения между объектами и
функции. Утверждения о свойствах объектов и отношениях между ними. Предикаты. Синтаксис логики предикатов. Семантика логики предикатов: системы, состояния и значения формул на состояниях
«Логика предикатов и базы данных»
Краткое содержание: Реляционные базы данных. Схемы отношений и предикаты. Реляционная алгебра и представление ее выражений формулами логики предикатов. Язык запросов SQL и его связь с логикой предикатов. Ограничения целостности: ограничения на ключи, ограничения на ссылки и ограничения на значения атрибутов
«Графы: представления, достижимость и связность»
Краткое содержание: Ориентированные и неориентированные графы. Представление графа с помощью матрицы смежности, матрицы инцидентности и списов
смежности. Граф достижимости (транзитивного замыкания). Отношение взаимной достижимости, компоненты сильной связности и базы ориентированного
графа
13
«Деревья»
Краткое содержание: Неориентированные и ориентированные деревья. Эквивалентность разных определений деревьев. Деревья и формулы (выражения). Обходы деревьев .
«Три алгоритма на графах»
Краткое содержание: Построение минимального остова графа: алгоритм
Крускала. Задача о лабиринте и поиск в глубину на неориентированном графе.
6
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
Перечень литературы
1.
Алексеев В.Е., Таланов В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006
2.
Костюкова Н.И.Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2007.
3.
Дехтярь М.И.Лекции по дискретной математике .БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2007.
Дополнительная литература
Перечень литературы
1.
Алексеев В.Е., Таланов В.А.Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2006.
2.
Костюкова Н.И.Графы и их применение. Комбинаторные алгоритмы для программистов. БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИНТУИТ.ру, 2007.
14
7. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ (УМК, компьютерные
программы, электронные учебники, интернет-ресурсы).
№
п/п
1
2
Перечень программ
Mathcad Professional
www.exponenta.ru
15
8. БЛАНК ИЗМЕНЕНИЙ
2-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
3-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
4-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Зав кафедрой
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г. Председатель УМС
5-й учебный год (______/______) действия рабочей программы
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Протокол № ___ от «___» ____ ______ г.
Зав кафедрой
Председатель УМС
16