Теори графов Трусовойf1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО Самарский государственный архитектурностроительный университет
Факультет информационных систем и технологий
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники
А.Ю. Трусова
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ.
ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФОВ В СОЦИОЛОГИИ
Учебное пособие
Издательство «Самарский университет»
2002
Печатается по решению Редакционно-издательского
Совета Самарского государственного университета
ББК 22.17
УДК 519.1
Т 789
Данное учебное пособие содержит основные понятия теории графов
в иллюстрациях и поясняющих примерах, адаптированных под потребности социологии и социальной психологии. Может быть использовано студентами вузов, обучающихся по экономическим, управленческим и психологическим специальностям и направлениям.
ББК 22.17
УДК 519.1
Трусова А.Ю. Основы теории графов. Приложения графов в социологии:
Учеб. Пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2002. С.
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. Л.К. Ширяева
 Трусова А.Ю., 2002
 Изд-во «Самарский университет», 2002
2
ВВЕДЕНИЕ
Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся
к графическим представлениям, являются графы, изучаемые в теории
графов. Теория графов имеет обширные приложения, так как её язык, с
одной стороны, нагляден и понятен, а с другой – удобен в формальном
исследовании. На языке теории графов формулируются и решаются многие задачи управления, анализа и проектирования организационных
структур управления, анализа процессов функционирования и целеполагания, многие задачи принятия решений в условиях неопределенности и
др.
При изображении графа не все детали рисунка одинаково важны; в
частности, несущественны геометрические свойства ребер (длина, кривизна и т.д.) и взаимное расположение вершин на плоскости.
Графические представления – это описание исследуемой системы,
процесса, явления средствами теории графов в виде совокупности двух
классов объектов: вершин и соединяющих их линий – ребер или дуг. Графы и их составляющие характеризуются определенными свойствами и
набором допустимых преобразований (операций) над ними.
Проникновение математики в социальные науки, в частности социологию, социальную психологию, - одна из важных сторон современного
состояния и развития этих отраслей знания. Аппарат дискретной математики все больше используется специалистами социальных наук, занимающимися прикладными исследованиями. В частности, теория графов
нашла широкое применение в социальных исследованиях в качестве аппарата для представления структур групп, в качестве графического метода многомерного анализа социологических наблюдений (корреляционные
графы), используемого для работы с совокупностью признаков, характеризующих объект социологического исследования. В теории графов развиты алгоритмы, которые используются для вычисления социометрических коэффициентов (индексов).
3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Основные понятия
Существует большое количество практических задач, рассмотрение
которых сводится к изучению совокупности объектов, существенные
свойства которых описываются связями между ними. Интерес могут
представлять экономические связи, связи и отношения между людьми,
событиями, состояниями и, вообще, любыми объектами. Рассматриваемые объекты удобно изображать точками, а отношения между ними стрелками. Точки называются вершинами, а стрелки или произвольные
линии - ребрами.
Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности
– каждое ребро eЕ инцидентно ровно двум вершинам v’, v’’V, которые
оно соединяет. При этом вершина v’(v’’) и ребро e называются инцидентными друг другу, а вершины v’ и v’’, являющиеся для ребра е концевыми
точками, называются смежными. Каждая петля графа инцидентна лишь
одной своей вершине. Две вершины v’ и v’’называются смежными, если в
графе существует ребро e, инцидентное этим вершинам. Вершина графа
смежна самой себе в том и только в том случае, если в графе существует
петля с вершиной в этой точке. Два ребра графа называются смежными,
если существует вершина, инцидентная обоим этим ребрам. Два ребра
графа G называются параллельными, если они инцидентны одним и тем
же вершинам, то есть если они соединяют одну и ту же пару вершин.
Таким образом, граф представляет собой множество вершин V, связи между которыми определяются множеством ребер Е, и обозначается:
G=(V, E).
Пример: Имеем 5 фракций А, В, С, D, F. Представители от каждой из
них приехали на съезд. Результат работы съезда - подписание соглашений
между: А и С, B и С, А и D, D и В, Е и А, B и E. Граф полученных соглашений между различными фракциями имеет вид (рис.1).
Рис. 1
4
Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой; в этом случае оно называется направленным, или
ориентированным, или дугой и изображается стрелкой, направленной от
вершины, называемой началом, к вершине, именуемой концом.
Граф, содержащий направленные ребра (дуги) с началом в вершине
v’ и концом в вершине v’’, называется ориентированным (орграфом), а
ненаправленные – неориентированным (н-графом).
Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называется
мультиграфом. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.
Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и
ребер) конечно, и пустым, если множество его вершин V ( а значит и ребер Е) пусто. Граф без петель и кратных ребер называется полным, если
каждая пара вершин соединена ребром. В полном графе каждая его вершина принадлежит одному и тому же числу ребер. Для задания полного
графа достаточно знать число его вершин.
Граф, не являющийся полным, можно преобразовать в полный граф с
теми же вершинами, добавив недостающие ребра. Вершины графа G и ребра, которые добавлены, тоже образуют граф. Такой граф называется до_
полнением графа G и обозначают его G . Дополнением графа G называется граф G , имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только
те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получить полный
граф.
Каждому неориентированному графу канонически соответствует
ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое
ребро заменено двумя ориентированными ребрами, инцидентными тем же
вершинам и имеющим противоположные направления.
Вершины в графе могут отличаться друг от друга числом инцидентных данной вершине ребер. Степенью вершины vV н-графа G называется количество инцидентных ей ребер (для петли степень подсчитывается
дважды). Например, степень каждой вершины полного графа на единицу
меньше числа его вершин. Степень вершины v обозначается (v). Вершина графа со степенью 0 называется изолированной. Если степень вершины
равна 1, то она называется концевой или висячей. Вершина, степень которой больше или равна 2 называется промежуточной или проходной. Вершина графа называется нечетной, если ее степень – число нечетное. Вершина называется четной, если ее степень – число четное.
Рассмотрим задачу. Участники конференции, познакомившись, обменялись визитками. Необходимо доказать, что
a) всего было передано четное число визиток;
5
b) число участников, обменявшихся визитками нечетное число раз,
четное.
Решение. Пусть участники конференции А1, А2, А3,…,Аn – вершины
графа, а ребра, соединяющие пары вершин, изображают участников, обменявшихся визитками: а) степень каждой вершины Аi показывает число
визиток, которые передал участник Аi знакомым. Общее число переданных визиток N равно сумме степеней всех вершин графа.
N=(А1)+(А2)+…+(Аn-1)+(Аn), но N=2p, где p-число ребер графа, т.е.
N – четное. Следовательно, было передано четное число визиток; b) в равенстве N=(А1)+(А2)+…+(Аn-1)+(Аn) сумма нечетных слагаемых
должна быть четной, что возможно только в том случае, если число нечетных слагаемых четно. А это означает, что число участников, обменявшихся визитками нечетное число раз, четное.
В н-графе G сумма степеней всех его вершин – число четное, равное
n
удвоенному числу ребер графа.   ( Ai )   ( A1 )   ( A2 )     ( An )  2 p , где
i 1
p-число ребер графа G, n- число его вершин. Отсюда следует, что число
нечетных вершин любого конечного н-графа четно.
Для вершин орграфа определяются две степени:
1(А) – число ребер с началом в вершине А, или количество выходящих
из вершины А ребер;
2(А) – количество входящих в вершину А ребер, для которых эта вершина является концом.
Петля дает вклад 1 в обе эти степени. В орграфе суммы степеней всех
вершин 1(А) и 2(А) равны количеству ребер р этого графа, а значит, и
n
n
i 1
i 1
равны между собой:   1 ( Ai )    2 ( Ai )  p .
Графы G1 и G2 равны, т.е. G1 = G2, если их множества вершин и ребер
(выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1 = V2 и
Е1 = Е2.
Если в графе с n вершинами (n>2) в точности две вершины имеют
одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо в точности одна вершина степени 0, либо в точности одна вершина степени n-1.
Два графа G и G1 называются изоморфными G  G1 (или равными),
если между их однотипными элеменами можно установить взаимно однозначные соответствия, сохраняющие отношение инцидентности. Взаимно
однозначное соответствие I между элементами этих графов задается парой отображений I1: VV1 и I2: EE1, заданных по формулам I1(Ai)=Bi ,
I2=(ai)=bi. Взаимно однозначное соответствие I=(I1;I2), состоящее из пары
отображений I1 и I2 и обеспечивающее изоморфизм графов, называется
отображением изоморфизма G и G1. Граф G изоморфен графу G1 тогда и
только тогда, когда существует отображение изоморфизма G на G1. Таким
6
образом, чтобы доказать, что некоторые графы G и G1 изоморфны, необходимо построить конкретное отображение изоморфизма. Изоморфные
графы имеют одинаковое количество элементов. Вершины, соответствующие при изоморфизме, имеют одинаковую степень. При отображении
изоморфизма петли переходят в петли, а параллельные ребра – в параллельные ребра. Изоморфные графы имеют одинаковые комбинаторные
свойства и, с точки зрения теории графов, неразличимы. В частности,
изоморфизм графов сохраняет смежность вершин и смежность ребер.
Способы задания графов. Матрицы графов
Ранее были представлены два способа описания графов: графический и в виде двух множеств вершин V и ребер Е, когда каждое ребро
еЕ определено парой инцидентных ему концевых вершин (v’, v’’). Рассмотрим другие способы, используемые в теории графов.
В общем виде задать граф – значит описать множества его вершин и
ребер, а также отношение инцидентности. Для описания вершин и ребер
достаточно их занумеровать.
1. Матрицей смежности вершин графа G с n вершинами называется
квадратная матрица порядка n, элементы которой aij равны 1, если в
графе G имеется дуга из i в j, и равны 0 в противном случае. Отметим,
что если M(G) - матрица смежности графа G, то элемент mij матрицы
[M(G)] равен числу различных путей длины , идущих из i-й вершины
в j-ю. Матрица смежности обладает свойствами:
1) Симметрична и содержит нули на главной диагонали;
n
n
j 1
j 1
2) Степень  (v i )   mij   m ji ;
3) Любая симметричная матрица с нулями на главной диагонали является
матрицей смежности некоторого графа.
2. Матрица инцидентности содержит n строк (по одной на каждую вершину) и m столбцов (по одному на каждое ребро). Элемент матрицы
aij=1, если вершина vi инцидентна ребру ei, и aij=0, если вершина vi не
инцидентна ребру ei. Для ориентированных графов единица берется со
знаком “+”, если ребро входит в вершину, и со знаком “-“, если ребро
выходит из вершины. Если некоторая вершина является для ребра и
началом, и концом (т.е. ребро – петля), ставится любое другое число,
например, 2.
7
3. Матрица циклов, или цикломатическая матрица, имеет m столбцов, по
одному на каждое ребро и столько строк, сколько в графе существует
циклов:
1,
сij  

4.
если цикл 
содержитсяв ei ,
0, в противном случае.
Матрица
расстояний
0,

d ij  
 расстоянию между i и
5.
d 0 ij
задается
элементами
j.
Матрица
достижимостей
задается
элементами
1, вершина i достижима из вершшины j ,



0, если i  j
,
если
вершина i не достижима из вершины j.

6. Список ребер графа. Представляет собой таблицу, содержащую два
столбца: в левом перечисляются все ребра eiE, а в правом – инцидентные ему вершины vj’, vj’’V; для н-графа порядок вершин в строке произволен, для орграфа первым стоит номер начала ребра.
Если два графа равны, то их матрицы совпадают. Если в графе поменять нумерацию вершин, матрицы (и список ребер) в общем случае изменяются, т.е. вид матриц и списка ребер зависит от нумерации вершин и
ребер графа. Строго говоря, граф считается полностью заданным, если
нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, являются изоморфными. Проверка изоморфности графов – в общем случае трудоемкая задача.
Пример. Задать матрицами инцидентности и смежности, а также
списком ребер графы G1 и G2 (рис. 2). Чему равны степени вершины этих
графов?
Рис. 2
8
Матрицы инцидентности графов G1 и G2:
G1
1
2
3
4
a
1
1
0
0
b
1
1
0
0
c
1
0
1
0
d
0
1
1
0
e
0
1
0
1
f
0
0
1
1
g
0
0
0
1
G2
1
2
3
4
a b
c d
e
f
1 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 1 1
g
0
0
0
2
Матрицы смежности графов G1 и G2:
G1 1 2 3 4
1
2
3
4
0
2
1
0
2
0
1
1
1
1
0
1
G2
1
2
3
4
0
1
1
1
1
0
1
0
0
2
1
0
0
0
3
1
1
0
0
4
0
1
1
1
Список ребер орграфа G2:
Ребро Вершины
a
12
b
21
c
13
d
23
e
24
f
34
g
44
Для неориентированного графа G1 список ребер аналогичен, однако
последовательность указания вершин здесь безразлична.
Оба графа имеют по четыре вершины: V={1,2,3,4}. Степени вершин
н-графа G1: (1)=3, (2)=4, (3)=3, (4)=4. Сумма степеней всех вершин
графа G1 равна 14, т.е. вдвое больше числа ребер графа. Степени вершин
орграфа G2: 1(1)=2, 1(2)=2, 1(3)=1, 1(4)=1; 2(1)=1, 1(2)=1, 2(3)=2,
2(4)=3. Суммы степеней вершин первого и второго типов орграфа G2
совпадают и равны числу ребер р=7.
9
Операции над графами
Существует ряд операций называемых операциями разборки графа,
позволяющих из исходного графа получать новые графы, множества вершин которых являются подмножествами множества V, а множество ребер
-подмножествами множества Е. При этих операциях должны сохраняться
отношение инцидентности, имеющие место для исходного графа G при
выполнении требования о том, что множество V графа G1 должно включать все граничные точки множества его ребер. Существует два основных
вида операций разборки графа G: 1) удаление ребра между двумя вершинами с сохранением граничных вершин; 2) удаление вершины графа G
вместе со всеми инцидентными ей ребрами (к этой операции относится
удаление изолированной вершины графа G).
После применения конечного числа операций разборки получится
граф, не изоморфный исходному графу, который является частью исходного графа. В теории графа представляет интерес два вида частей графа подграф и суграф. Подграфом графа G называется такая его часть G1, которая получается из графа G при помощи удаления конечного числа вершин вместе со всеми примыкающими к ним ребрами. Другими словами,
подграф G1 – это такая часть графа G, для которой E1 – все ребра из Е,
концы которых лежат в V1. Граф G по отношению к своему подграфу G1
называется надграфом. Суграфом графа G называется такая его часть G1,
которая получается из графа G при помощи удаления конечного числа ребер (с сохранением вершин). Другими словами, суграф G1 – это такая
часть графа G, для которой V=V1. Граф G по отношению к своему суграфу G1 называется сверхграфом.
Некоторые классы конечных графов
1. Элементарные графы определяются как конечные графы без петель и
параллельных ребер. Их также называют простыми или обыкновенными.
2. Элементарные графы с петлями – это конечные графы без параллельных ребер (и без параллельных петель).
3. Полный граф с петлями – конечный граф , в котором любая пара вершин соединена единственным ребром и в каждой вершине есть ровно
одна петля.
4. Мультиграф – конечный граф без петель, который может содержать
параллельные ребра.
5. Псевдограф – наиболее общий случай графа, допускающий петли и параллельные ребра.
6. Однородные (регулярные) графы степени k – графы, у которых степени всех вершин равны k.
10
Маршруты, пути, цепи, циклы
Маршрутом в G называется такая последовательность ребер М(е1, е2,
е3, …, еi, …, еj ), в котором каждые два соседних ребра еi-1 и еi имеют общую вершину. В маршруте одно и то же ребро может встречаться несколько раз. Начало маршрута – вершина v0, инцидентная ребру еi и не
инцидентная е2; конец маршрута - vn инцидентна еn и не инцидентна еn-1.
Маршрут, в котором совпадают его начало и конец v0=vn (т.е. замкнутый), называется циклическим. Маршрут, в котором все ребра разные, называется цепью. Цепь, не пересекающая себя, т.е. не содержащая
повторяющихся вершин, называется простой цепью. Циклический маршрут называется циклом, если он является цепью, и простым циклом, когда
это – простая цепь.
Путем от v1 до vn в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от v1 к vn, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Вершина
v1 – начало пути, вершина vn – конец. Заметим, что, согласно определению, вершины пути могут повторяться, т.е. путь может быть самопересекающимся. Путь от v1 до vn называется простым, если он не проходит ни
через одну из вершин графа более одного раза.
Длиной пути называется число ребер этого пути. Длиной цикла
называется число ребер в этом цикле.
Ребро графа называется циклическим, если существует цикл, которому принадлежит это ребро. Число ребер в цепи (цикле) называется длиной цепи (цикла). Длина цикла совпадает с количеством его вершин, а
длина цепи на единицу меньше количества его вершин. Степень каждой
вершины цикла равна двум. Степень каждой вершины цепи (исключая
начальную и конечную) также равна двум. Степень начальной и конечной
вершин цепи всегда равна 1.
Расстоянием между вершинами графа называется длина маршрута
наименьшей длины, соединяющего данные вершины. Ассоциированным
числом вершины называется наибольшее расстояние между данной вершиной и другими вершинами графа.
Связность графов
Граф называется связанным, если для произвольных его двух вершин существует маршрут, соединяющий их, в противном случае граф
называется несвязанным. Граф является связанным, если любую пару его
вершин соединяет, по крайней мере, одна простая цепь. Если для графа
можно указать пару различных вершин, которые не соединяются простой
цепью, то граф несвязанный. Граф G является несвязанным тогда и только
тогда, когда множество его вершин V можно разбить на два подмноже11
ства V1 и V2 так, чтобы любое ребро графа соединяло вершины из одного
подмножества.
Связанный граф представляет собой простой цикл тогда и только
тогда, когда каждая его вершина имеет степень 2.
Граф называется К-связанным, если любая пара его различных вершин v1 и v2 соединяется по меньшей мере К-простыми цепями, не имеющими общих вершин, кроме v1 и v2. Например: число связности полного
графа с n-вершинами равно n-1. Удаление из связного графа любого циклического ребра сохраняет свойство связности графа.
В связном графе с n вершинами и k ребрами максимальное значение суммы расстояний от одной вершины до остальных равно
C2n  (n  1)  k .
Деревья, или древовидные графы. Лес
Деревом называется конечный связный граф без циклов. Если граф
является деревом, то любая пара его вершин соединена единственной цепью. Это свойство является необходимым и достаточным, т. к. если любая
пара вершин графа соединяется единственной цепью, то этот граф связный и не имеет цикла.
Деревом называется конечный граф, любые две вершины которого
соединяются единственной цепью.
Лемма (о висячей вершине): В любом дереве существует висячая или
концевая вершина.
Доказательство:
Рассмотрим произвольную вершину дерева v0.Эта вершина не может
быть изолированной,т.е. степень вершины  (v0)  1;если  (v0)=1, то v0 –
искомая висячая вершина. Если  (vо)  1, тогда вершина Ао имеет смежную вершину А1. Для вершины v1  (v1)  1. Если  (v1)=1, то v1 – искомая
висячая вершина. Если  (v1) > 1,то v1 имеет смежную вершину, отличную от v0, которую можно обозначить v2. Продолжая далее этот процесс,
получим последовательность различных вершин (т.к. дерево не имеет
циклов). Если бы дерево не содержало висячей вершины, то описанный
процесс никогда бы не закончился. Но так как дерево является конечным
графом, описанный процесс будет конечным, и на каком-то шаге будет
достигнута висячая вершина.
Количество ребер дерева на единицу меньше количества его вершин. Докажем, что если для связного конечного графа выполняется равенство V-E=1, то граф - дерево. Предположим противное, что граф не
является деревом. Тогда в нем содержится цикл, и мы можем удалить некоторое ребро из этого цикла, не нарушив связности графа. Если в графе
содержится несколько циклов, то подобным образом можно разорвать все
12
циклы, т.е. получим граф G1=(V, E1) с количеством вершин V и количеством ребер E1, который будет являться деревом и для которого будет
ЕЕ1. Но так как граф G1 является деревом, то V-E1=1,V-E
1,что противоречит условию.
Ориентация неориентированного дерева осуществляется следующим образом. В дереве G выбирается вершина v0 - так называемый корень
дерева G, и все ребра такого дерева с корнем ориентируются от этой вершины - корня. При выборе другой вершины-корня получается другой
ориентированный орграф-дерево.
Пусть дано конечное дерево G. Вершинами типа 1 называют его
концевые вершины. Если из дерева G удалить все вершины типа 1 и инцидентные им концевые ребра, то в оставшемся дереве G’ концевые вершины называют вершинами типа 2 в дереве G. Аналогично определяются
вершины типа 3, 4 (рис.3) и т.д.
Рис. 3
Конечное дерево имеет вершины лишь конечного числа типов, причем число вершин максимального типа равно единице или двум. В неориентированном дереве между любыми двумя вершинами существует цепь
и притом только одна. Верно и обратное: если любые две вершины графа
связаны единственной цепью, то граф является деревом.
Цикломатическим числом конечного н-графа G называется
(G)=c+e-, где c – число связных компонент графа; e- число его ребер;  - число вершин. Цикломатическое число любого конечного нграфа неотрицательно. Цикломатическое число любого дерева
(G)=c+e- =0. Действительно, число вершин  в дереве на единицу
больше числа ребер e, т.е. e-=-1, а число связных компонент графа типа дерева c=1. Таким образом, цикломатическое число любого дерева
равно нулю.
13
Лес – несвязный н-граф без циклов; связанные компоненты леса являются деревьями. Любая часть леса или дерева также не имеет циклов,
т.е. является лесом или деревом.
Специальные классы графов.
Уникурсальные (Эйлеровы) графы.
Граф называется уникурсальным, если все его ребра можно включить
либо в простой цикл, либо в простую цепь. Другими словами, граф называется уникурсальным, если он рисуется одним росчерком. Если все ребра
графа можно включить в простой цикл, то такой уникурсальный граф
называется эйлеровым циклом. Уникурсальный граф, не являющийся эйлеровым циклом, называется эйлеровой цепью.
Признаки уникурсальности графов
Связность графа является необходимым условием его уникурсальности. Экспериментально установлено, что все эйлеровы циклы имеют
только четные вершины, а все эйлеровы цепи имеют ровно две нечетные
вершины, все остальные вершины четные. Если связный граф имеет более
двух нечетных вершин, то он не уникурсален.Связный граф является эйлеровым циклом тогда и только тогда, когда он имеет только четные вершины. При этом начало и конец уникурсального пути совпадают и могут
находиться в любой вершине графа.Связный граф является эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он имеет ровно две нечетные вершины, а
остальные вершины этого графа четные. При этом начало и конец уникурсального пути находятся в нечетных вершинах. Для изображения графа, имеющего не более двух нечетных вершин, достаточно одного росчерка. Для связанного графа, имеющего нечетные вершины, необходимое
количество росчерков равно половине количества нечетных вершин.
Гамильтоновы графы
При решении проблемы уникурсальности графа интересен факт существования в графе простых цепей или циклов, проходящих через все
его ребра. Другими словами, можно ли, проходя по ребрам графа, обойти
все его вершины, побывав в каждой из них ровно один раз?
Простой цикл, проходящий через все вершины графа, называется гамильтоновым циклом.. Простая цепь, обладающая этим свойством, называется
гамильтоновой цепью.
Впервые такая задача была сформулирована Гамильтоном в 1859 году в виде головоломки на додекаэдре (14 вершин). В ней требовалось ука14
зать замкнутый маршрут из ребер додекаэдра, проходящий по каждой
вершине только один раз. Конечный граф называется гамильтоновым, если он обладает гамильтоновым циклом или цепью. В настоящее время не
существует необходимого и достаточного условия гамильтоновости графов, а также хорошего алгоритма для отыскания гамильтоновых цепей в
графах общего вида.
Связность графов является необходимым, но недостаточным условием
гамильтоновости графов. Рассмотрим достаточные признаки гамильтоновости для элементарных графов.
1. Пусть элементарный связный граф имеет n вершин и n3. Если в этом
графе для степени любой вершины выполняется неравенство (a) n/2,
то он обладает гамильтоновым циклом.
2. Пусть элементарный связный граф имеет n вершин и n3. Если в этом
графе для любой пары вершин a и b выполняется неравенство
abn, то он обладает гамильтоновым циклом.
3. Если при n3 элементарный связный граф имеет n вершин и для любой
его пары вершин a и b выполняется неравенство abn-1, то он
обладает гамильтоновой цепью.
Двудольные графы
Конечный граф без петель называется мультиграфом. Он отличается
от элементарного графа тем, что может содержать параллельные рёбра.
Наиболее общий случай графа, когда допускаются петли и рёбра параллельные, называется псевдографом. Конечный мультиграф называется
двудольным или бихроматическим, если его вершины могут быть разделены на два непересекающихся подмножества V1иV2 так, что каждое ребро имеет одну граничную точку в V1, а другую в V2, т.е. любое ребро графа не может соединять вершины из одного подмножества. Двудольный
граф называется элементарным, если он не содержит параллельных рёбер.
Элементарный двудольный граф называется полным, если любая пара
вершин из разных подмножеств соединена ребром. Полный двудольный
граф содержит E=V1V2 рёбер. Число рёбер в пути или в цикле называют
длиной пути или цикла. Граф G является двудольным тогда и только тогда, когда каждый цикл в нём имеет чётную длину. Дерево является двудольным графом.
Эйлеровость, согласованная с ориентацией
Ориентированные графы называются уникурсальными орграфами
(эйлеровыми), если они рисуются одним росчерком так, чтобы направление движения карандаша было согласовано с ориентацией дуг орграфа.
Необходимыми, но недостаточными условиями уникурсальности орграфа
15
являются его связанность и существование не более двух нечетных вершин. Введем понятие дефекта степени. Пусть v – некоторая вершина конечного орграфа G. Число  (v)   1 (v)   2 (v) , равное разности положительной и отрицательной полустепеней вершины v, называется дефектом степени вершины v.
Вершина v орграфа называется уравновешенной, если она имеет нулевой дефект степени  (v)  0   1 (v)   2 (v) . Уравновешенная
вершина всегда является четной. Орграф называется равновесным, если
все его вершины уравновешены. Равновесный орграф не имеет нечетных
граф. Группой автоморфизмов Г графа G называется совокупность всех
взаимно однозначных отображений  множества вершин V на себя так,
что если e=(v’, v”) – дуга в G, то E=(v’, v”) также является дугой, и
наоборот.
Отношения
Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения. Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то определенного признака R (свойства и т.п.) у элементов множества М (например, «быть белым»
на множестве шаров в урне). Тогда все такие элементы а из множества М,
которые отличаются данным признаком R, образуют некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т.е. аR и RМ.
Бинарные (двухместные) отношения используются для определения
каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в
множестве М (так, на множестве людей могут быть заданы, например,
следующие бинарные отношения: «быть моложе», «быть старше», «быть
сыном», «работать в одной организации» и т.п.) Тогда все пары <а,b>
элементов из М, между которыми имеет место данное отношение R, образуют подмножество пар из множества всех всевозможных пар элементов
из квадрата множества МхМ=М2, называемое бинарным отношением R,
т.е. <а, b>R, при этом RМхМ.
В общем случае могут рассматриваться n-местные отношения,
например, отношения между тройками элементов и т.д.
Отношения на множестве элементов могут задаваться разными способами: словесным описанием, таблицами, стрелками, отрезками. Будем
считать, что для элементов некоторого множества М задано отношение,
если про любые два элемента этого множества известно, находятся они в
этом отношении или нет. Понятие “отношение” наглядно иллюстрируется
с помощью понятия “квадрат множества”.
16
Элементы a и b (на рисунке они могут изображать вершины графа) некоторого множества, взятые в определенном порядке, называют упорядоченной парой. Обозначают ее <a;b>. Возможны и такие пары, в которых
оба элемента совпадают, то есть пары вида <a;a>. Упорядоченные пары
<a;b> и < b;a > считаются различными, если ab. Две упорядоченные пары
<a;b> и <c;d> считаются равными тогда и только тогда, когда a=c и b=d.
Из элементов всякого множества М всегда можно образовать множество
всевозможных упорядоченных пар вида <a;b>, где a и b принадлежат
множеству М.
Пример. М={a;b;c}. Выпишем всевозможные пары элементов этого множества. Это “координаты” (рис.4) выделенных точек последовательно
снизу
вверх
и
слева
направо,
т.е.
{<a;a>;<a;b>;<a;c>;<b;a>;<b;b>;<b;c>;<c;a>;<c;b>;<c;c>}.
Множество всевозможных пар элементов множества М называется квадратом множества М, его обозначают ММ или М2. Каждое отношение из
множества элементов М можно задать, выделив определенное подмножество пар из множества М2.
Рис. 4
Пример. М={0;2;5;7}.
М2={<0;0>;<0;2>;<0;5>;<0;7>;<2;0>;<2;2>;<2;5>;<2;7>;<5;0>;<5;2>;<5;5>;
<5;7>;<7;0>;<7;2>;<7;5>;<7;7>}.
Из множества М2 выделим подмножество R тех пар <а;b>, в которых a>b.
R={<2;0>;<5;0>;<5;2>;<7;0>;<7;2>;<7;5>;}. Множество R определяет отношение «больше» для элементов множества М. Граф, соответствующий
данному отношению, изображен на рис. 5. Каждая стрелка направлена от
большего числа к меньшему.
Рис. 5
Рис. 6
17
Пример. Пусть М – множество детей у одних родителей: М={Коля, Саша,
Вера}. R – отношение «быть братом» на множестве М.
R={<Коля;Вера>;<Коля; Саша>;<Саша; Вера>;<Саша;Коля>}.
Множество R является подмножеством квадрата М, т.е. RМ2. Граф,
соответствующий отношению «быть братом», изображен на рис. 6.
Таким образом, задание отношения на множестве М – это задание некоторого подмножества из М2. В свою очередь, всякое подмножество R из
М2 задает отношение на множестве М. Выбор подмножества R в М2 определяет, какие пары элементов находятся в отношении R. Если элемент a
из множества М находится в отношении R с элементом b из М, то пара
<a,b>R, что записывается как aRb и читается: «a находится в отношении
R c b».
Пример. Рассмотрим три отношения R1, R2, R3, заданные на одном и том
же множестве М={1;2;3}:
М2={<1;1>;<1;2>;<1;3>;<2;1>;<2;2>;<2;3>;<3;1>;<3;2>;<3;3>}.
1) Пусть отношение R1 содержит те пары <a,b> из М2, для которых a<b. В
этом случае R1={<1;2>;<1;3>;<2;3>}.
2) Пусть отношение R2 содержит те пары <a,b> из М2, для которых a=b. В
этом случае R2={<1;1>;<2;2>;<3;3>}.
3) Пусть отношение R3 содержит те пары <a,b> из М2, для которых a>b. В
этом случае R3={<2;1>;<3;1>;<3;2>}.
Графы, соответствующие отношениям R1, R2, R3 на множестве элементов
М, изображены на рис. 7, а - R1, б - R2, в - R3.
Рис. 7
Ребро называется петлей, если обе его вершины совпадают. Все ребра графа, соответствующего отношению R2, являются петлями.
Бинарные отношения задаются с помощью таблиц - матриц. Матрицей бинарного отношения RMxM, где М={a1,a2, … , an}, является квадратная матрица порядка n, в которой элемент сij, стоящий на пересечении
i-ой строки и j-ого столбца, равен 1, если между ai и aj имеет место отношение R, или 0, если оно отсутствует:
18

сij  
0,
1, если
аi R a j ,
в противном
случае.
Свойства бинарных отношений
1. Рефлексивность
На практике часто встречаются отношения R, в которых каждый элемент
из рассматриваемого множества находится в отношении R к самому себе.
Например, каждое число равно самому себе, каждое число делится само
на себя, каждый человек сам себе родственник.
Отношение R называется рефлексивным на множестве М, если для всякого aМ пара <a;a>R, т.е. для всякого a верно aRa. Граф, соответствующий рефлексивному отношению, в каждой вершине имеет петлю. К числу
рефлексивных отношений относятся и следующие: “быть не больше”
(ab), “быть не меньше” (ab) на множестве чисел; «быть одноклассником
с» на множестве людей.
2. Антирефлексивность
Отношение R называют антирефлексивным на множестве М, если ни для
какого элемента a из М не выполняется отношение aRa.
Примеры антирефлексивных отношений: «быть больше» (a>b), «быть
меньше» (a<b) на множестве чисел; "«быть старше", «быть дедом», «быть
отцом» на множестве людей. Граф, соответствующий антирефлексивному
отношению, не имеет ни одной петли. Существуют отношения, которые
не являются ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Графы таких отношений имеют и вершины с петлями, и вершины без петель одновременно. Примером может служить отношение «быть другом» на множестве людей.
3. Симметричность
Отношение R называется симметричным на множестве М, если для каждой пары a и b элементов М из aRb следует bRa.
Пример на множестве чисел «быть равным» (если a=b, то и b=a), на множестве людей – «быть похожим».
Если в графе симметричного отношения есть ориентированное ребро
<a;b>, то должно быть и ребро <b;a>. Часто вместо двух ребер противоположной ориентации <a;b> и <b;a> рисуют одно неориентированное ребро.
19
4. Антисимметричность
Отношение R называется антисимметричным на множестве М, если для
несовпадающих элементов a и b из aRb следует не bRa, то есть если ab и
пара <a;b> принадлежит R, то пара <b;a> не принадлежит R. Если граф
антисимметричного отношения имеет ребро <a;b>, то он не может содержать ребро <b;a>. Антисимметричными являются отношения: a>b, ab на
числовых множествах; «быть племянником», «быть дядей», «быть мужем», «быть женой» и т.п. на множестве людей. В определении антисимметричного отношения ничего не говорится о равных элементах, это
означает, что антисимметричное отношение R может содержать пары вида <a;a>, может и не содержать таких пар; то есть граф антисимметричного отношения может иметь петли, а может и не иметь их.
5. Транзитивность
Отношение R называется транзитивным на множестве М, если для любых
трех элементов a, b и c, принадлежащих М, из aRb и bRc следует aRc. Если граф транзитивного отношения содержит ребра <a;b> и <b;c>, то он
должен содержать и ребро <a;c>.
6. Антитранзитивность
Отношение R на множестве М называется антитранзитивным, если для
любых трех элементов a, b и c из aRb и bRc следует не aRc. К антитранзитивным отношениям принадлежат такие отношения, как: «быть матерью»,
«быть отцом», «быть сыном», «быть дочерью», «быть дядей», «быть дедом» и т. п. на множестве людей. Если в графе антитранзитивного отношения для каких-то трех вершин a, b и c существуют ориентированные
ребра <a;b> и <b;c>, то не может быть ребра <a;c>. Наряду с транзитивными и антитранзитивными отношениями существуют и такие, которые
не являются ни транзитивными, ни антитранзитивными. Таким отношением служит отношение «быть другом» или «быть знакомым» на некоторых множествах людей.
Полное отношение
Отношение R называется полным на множестве М, если для всякой
пары несовпадающих элементов а и b, принадлежащих М, по меньшей
мере одно из двух отношений aRb или bRa имеет место. В графе полного
отношения каждая пара вершин соединена хотя бы одной стрелкой. Если
в отношении R найдется хотя бы одна пара элементов, которые не связаны отношением R, то такое отношение называется неполным.
20
Эквивалентность и порядок
Данные отношения представляют собой формально определенные
типы отношений, отличающиеся фиксированным набором свойств.
Отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью)
называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно,
симметрично, транзитивно. Например, отношение «жить в одном городе»
на множестве людей – эквивалентность. Отношение эквивалентности
представляет собой экспликацию (перевод интуитивных представлений в
ранг строгих математических понятий) таких обыденных слов, как «одинаковость», «неразличимость», «взаимозаменяемость». Другими словами,
отношение эквивалентности является обобщением понятия равенства. Эквивалентность рассматривается как совпадение элементов только по части
(существенных) признаков. Важнейшее значение эквивалентности состоит в том, что это отношение определяет признак, который допускает разбиение множества на непересекающиеся подмножества, называемые
классами эквивалентности, т. е. задание на исследуемом множестве объектов отношения эквивалентности позволяет эти объекты определенным
образом классифицировать. Процедура классификации называется операцией факторизации, а результат классификации – фактор-множеством.
В то же время любое разбиение множества М на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение «входить в один
и тот же класс данного разбиения». Примером фактор-множества является
множество студенческих групп.
Отношением нестрогого порядка (или нестрогим порядком) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, и отношением строгого порядка (строгим порядком), если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба
эти отношения называются отношениями порядка. Например, отношения
«быть не старше» на множестве людей, «быть не больше» на множестве
натуральных чисел – нестрогий порядок; отношения «быть моложе»,
«быть прямым потомком» на множестве людей – строгий порядок.
Элементы a, bM сравнимы по отношению порядка R на М, если выполняется aRb или bRa.
Множество М, на котором задано отношение порядка, может быть:
 полностью упорядоченным множеством, если любые два элемента из
М сравнимы по отношению порядка. В таком случае говорят, что отношение R задает полный порядок на множестве М. Например, отношение «быть не старше» задает полный порядок на множестве людей;
 частично упорядоченным множеством – в противном случае. При этом
говорят, что отношение R задает на множестве М частичный порядок.
Например, отношение «быть начальником» задает на множестве сотрудников организации частичный порядок, так как, например, для па21
ры сотрудников одного отдела данное отношение не выполняется: они
не сравнимы по данному отношению.
ПРИЛОЖЕНИЕ ГРАФОВ В СОЦИОЛОГИИ
В теории графов развиты алгоритмы, которые можно использовать
для вычисления социометрических коэффициентов (индексов). Индексы
определяются так. Чтобы они не зависели от числа членов в группе и изменялись от 0 до 1. Нормировка некоторых индексов проводится числом
людей в группе без единицы лишь в том случае, когда отношение является антирефлексивным, т.е. если член группы не может выбрать сам себя.
Имеем структуру взаимосвязей группы из n человек по отношению
R, т.е. граф с n вершинами. Введем индексы, характеризующие положение i-го члена группы - индивидуальные индексы.
1. Вес i-го члена группы равен отношению дуг графа, для которых i - конечная точка, к числу вершин графа без единицы. Другими словами,
это отношение полученных выборов к максимально возможному числу
полученных выборов:
конечная точка.
P
( R)
i

mi
, где mi – число дуг, для которых i –
n 1
2. Индекс эмоциональной экспансивности i-го члена группы по данному
отношению равен числу дуг графа, для которых i - начальная точка,
нормированному числу людей в группе без единицы. Другими словами, это отношение отданных выборов к их максимально возможному
числу:
( R)
A
i

mi
где mi – число дуг, для которых i - начальная точка.
n 1
3. Универсальность i-го члена группы по данному отношению равна числу вершин, в которые переходит вершина i при всех автоморфизмах
графа, пронормированному числом членов группы без единицы (переход i в i не учитывается): U i( R) 
mi
, где mi – число вершин, в которые
n 1
переходит вершина i при автоморфизмах графа G.
4. Особенность i-ого члена группы по данному отношению, равная разR
R
ности единицы и коэффициента универсальности: Qi  1 U i (индексы
3 и 4 характеризуют, насколько положение одного члена группы в
структуре взаимосвязей группы отличается от положения других членов группы).
22
5. Индекс удовлетворенности i-го члена группы равен отношению числа
ребер, инцидентных i-й вершине графа к числу дуг, исходящих из этой
вершины (в данном случае не различаются две дуги (a,b) и (b,a). Другими словами, это доля взаимных выборов среди всех выборов, сделанных данным лицом:
E
( R)
i
mi
, где mi – число ребер, инцидентных ik

й вершине графа G; k – число дуг, исходящих из i-й вершины графа G.
6. Статус i-го члена группы:
a) определяется с помощью матрицы смежности графа социальной группы по отношению доминирования. Статус i-го лица в группе равен сумме
элементов i-й строки матрицы, которая представляет собой нормированную сумму матрицы смежности с удвоенным квадратом этой матрицы:
St
( R)
i
n
  sij , где sij –элемент матрицы S 
j 1
смежности, L 
1
( M  2M 2 ) , где M – матрица
L
n( n  1)
;
2
b) рассчитывается с помощью понятия уровня субординации k для каждой
вершины графа, определяемого длиной кратчайшего пути от исходной
вершины графа до данной. Тогда статус определяется как взвешенная
сумма числа подчиненных nk, причем вес – уровень субординации, на коn
тором они находятся:
St
( R)
i

 kn
k
k
L
;
с) определяется как величина, дополняющая до единицы отношение суммы расстояний от i-го члена группы до всех остальных к сумме расстояний от каждого члена группы до каждого.
7. Контрастатус i-го члена группы определяется как статус, вычисленный по графу, полученному из данного графа изменением ориентации
( R)
(R )
всех дуг: CSt i  St i , где R-1-обратное отношение, такое, что aR-1b
тогда и только тогда, когда bRa.
1
Групповые индексы характеризуют всю группу в целом по данному
отношению. Рассмотрим некоторые групповые индексы, сформулированные в терминах теории графов.
1. Плотность группы представляет собой нормированное число дуг графа: p ( R ) 
m
, где m – число дуг графа.
n(n  1)
2. Сплоченность группы - нормированное минимальное число дуг, которое необходимо удалить, чтобы граф стал несвязным. Другими слова23
ми, это нормированное число связей, которые должны исчезнуть, чтобы группа разбилась на подгруппы, не связанные между собой:
S ( R) 
m
, где m равно максимальному k, при котором граф G k2(n  1)
связан.
3. Устойчивость (живучесть) группы представляет собой нормированное число связности графа (т.е. минимальное число вершин, которые
должны исчезнуть, чтобы граф стал несвязным). Другими словами, это
минимальное число людей, которые должны покинуть группу, чтобы
она разбилась на подгруппы, не связанные между собой: J ( R ) 
m 1
,
n2
где m - число связности графа.
4. Индекс однородности структуры группы – это нормированное число
вершин, остающихся на месте при всех автоморфизмах графа:
D (R) 
nm
, где m - число вершин графа, неподвижных при всех автоn
морфизмах.
5. Напряженность группы представляет собой нормированную разность
числа дуг и удвоенного числа ребер графа: N ( R ) 
2(m  2k )
, где m - чисn(n  1)
ло дуг графа G, k – число ребер графа G.
6. Равновесие группы – отношение удвоенного числа ребер к числу дуг:
2k
, где m - число дуг графа G, k – число ребер графа G.
m
n
Pi ( R )
( R)
Pi log 2

n
( R)
i 1
7. Лидерность: L  1 
, если каждое лицо выбирает лишь
1
log 2
n
E (R) 
одного
человека;
при

P
  Pi ( R ) log 2 i
n 
n

1  i 1

1
n 1
log 2

n

( R)
n
ния L( R )
отсутствии
такого
ограниче-


 , где P (R) – вес i-го члена группы.
i





8. Иерархичность: J ( R )  1 max a(i)1 , где a(i) – ассоциированное
n 1

i
число вершины i.
24

9. Центральность, интеграция, униполярность, централизация. Вершина
i называется центральной, если расстояния от неё до остальных вершин в
целом невелики. Параметр центральности i является мерой центральности
множества всех расстояний от i вершины графа до всех остальных. Граф
называется интегрированным, если все его вершины в основном центральны. Параметр интеграции характеризует меру центральности на
множестве центральностей вершин. Граф называется униполярным, если
существует самая центральная вершина. Параметр униполярности должен
совпадать с мерой центральности наиболее центральной вершины. Граф
называется централизованным, если центральности одних вершин сильно
отличаются от центральностей других. Приведём простые определения
этих параметров (см. таблицу).
Таблица
Параметры, основанные на суммах
расстояний
Название
Определение
центральность
si=  d ij
j
интеграция
S=
Параметры, рассчитанные по
числу ребер, входящих в вершину
Название
Определение
центральность
ri=  m ij
j
интеграция
1
1
dij   si

2 i, j
2 i
R=
1
 ri
2 i
униполярность
Si
V= min
i
униполярность
U= max ri
централизация
H=  (S i  min S i )
централизация
J=  (max ri  ri )
i
i
i
i
i
Примечание. dij-расстояние от i-вершины до j-вершины; mij - элементы
матрицы смежности.
10. Определение связывающих лиц. Связывающее лицо в коммуникационной сети передает сообщение из одной подгруппы в другую. В более общем случае, это лицо, чье удаление приводит к полному прекращению
связи между какими-то подгруппами по данному отношению. На графе
точка, обозначающая такое лицо, называется точкой сочленения графа, её
удаление приводит к увеличению числа компонент связности графа. Для
каждой точки графа можно определить, является ли она точкой сочленения. Для этого необходимо определить число компонент связности графа
и его подграфа, полученного удалением данной точки. В этом случае используется матрица смежности вершин графа.
25
11. Определение укрепляющих, ослабляющих и нейтральных членов группы. Укрепляющими называются такие члены группы, удаление которых
приводит к уменьшению сплоченности, ослабляющими – такие, удаление
которых приводит к увеличению сплоченности, нейтральными – такие,
удаление которых не приводит к изменению сплоченности. При этом
сплоченность определяется: 1) по числу взаимных пар, деленному на максимально возможное число взаимных пар; 2) по числу выборов, сделанных всеми членами группы, деленному на максимально возможное число
выборов; 3) по степени связности графа, изображающего структуру взаимосвязей группы по данному отношению. Для характеристики связности
орграфы делятся на четыре типа:
1) граф называется сильно связанным, или сильным, если для произвольных двух точек существует и путь от одной точки к другой, и обратный путь;
2) граф называется односторонне связанным, или односторонним, если
существует хотя бы один из этих путей;
3) граф называется слабосвязанным, или слабым, если, игнорируя
направленность, получается обычн й связный грлф;
4) раф называется несвязанн м, если он не является слабо связанным.
Данные типы связности перечислены в порядке убывания степени связанности. Следовательно, если при удалении какой-то вершины графа граф
переходит от связанности 1-го типа к связанности 2-го, 3-го или 4-го типа,
от связанности 2-го типа к связанности 3-го или 4-го типа, от связанности
3-го типа к связанности 4-го типа, то удаленная вершина укрепляющая.
Если изменения типа связанности не происходит, то удаленная вершина
нейтральная. Во всех остальных случаях вершина – ослабляющая. Доказано, что не существует такой вершины, удаление которой приводит к переходу графа от 1-го типа связности к 3-му.
12. Ядро группы. Существует несколько определений. Под ядром группы
понимается подгруппа, имеющая или максимальное число членов, или
максимальную сплоченность, либо ядро группы – максимальный полный
граф. Другое определение ядра группы использует понятие ослабляющей
вершины графа. Подграф, полученный из данного графа удалением
ослабляющих вершин, называется ядром графа (или группы) 1-го порядка. Для каждой вершины оставшегося подграфа определяется, является ли
она ослабляющей в этом подграфе и удаляется в случае ослабления. Получается ядро графа 2-го порядка. Процесс продолжается до тех пор, пока
не окажется, что ядро (n+1)-го порядка совпадает с ядром n-го порядка.
Полученное ядро называется центральным ядром графа.
26
13. Понятие «поляризация» (тесно связано с теорией конфликта) характеризует степень сосредоточения положительных связей внутри подгрупп и
отрицательных – между подгруппами. В графах, ребрам которых сопоставлены знаки, можно точно определить понятие поляризации. Если
определить сбалансированный граф как граф, в котором все циклы имеют
четное число отрицательных дуг, то граф является сбалансированным (согласно теореме Харари) тогда и только тогда, когда его можно разбить на
два таких подграфа, что все отрицательные дуги соединяют эти подграфы,
а все положительные находятся внутри них. Это справедливо и для неориентированных графов, а также и для полных, и неполных графов. Степень сбалансированности, измеряемая долей сбалансированности циклов
от общего числа циклов графа или числом ребер, знак которых нужно изменить на противоположный, чтобы граф стал сбалансированным, служит
показателем биполярности.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдется ли граф с пятью вершинами, у которого одна вершина изолированная, а другая – степени 4?
2. Найдется ли граф с пятью вершинами, степени которых все различны
между собой, т.е. равны 0,1,2,3,4?
3. Скольким ребрам принадлежит вершина в полном графе с n вершинами, если n=3; 5; k?
4. Сколько ребер в полном графе с n вершинами, если n=3; 4; 5?
5. Нарисуйте граф с пятью вершинами, у которого ровно две вершины
имеют одинаковую степень. Сколько вершин с одинаковыми степенями имеет дополнение графа, если граф имеет в точности 2 вершины с
одинаковыми степенями?
6. Существует ли граф с шестью вершинами, степени которых 2, 3, 3, 4,
4, 4?
7. Существует ли полный граф с семью ребрами?
8. Докажите, что в полном графе с n вершинами
n(n  1)
ребер.
2
9. Построить граф G1 с 5 и G2 6 вершинами, степени которых равны а) 4,
_
3, 3, 2, 2; б) 4, 4, 3, 3, 2, 2. Нарисуйте граф G , являющийся дополнением графа G.
_
10. У графа G четыре вершины; А – одна из его вершин; G - дополнение
_
графа G. Скольким ребрам принадлежит вершина А в графе G , если в
графе G эта вершина: а) принадлежит одному ребру; б) принадлежит
трем ребрам; в) не принадлежит ни одному ребру?
27
11.Сколько вершин с одинаковыми степенями имеет дополнение графа G,
если граф G имеет в точности 2 вершины с одинаковыми степенями?
12.Если в графе с пятью вершинами ровно две вершины имеют одинаковую степень, то могут ли они быть обе изолированными или обе иметь
степень 4?
13. В офисе 15 телефонов. Можно ли их соединить между собой так, чтобы каждый был соединен с тремя другими?
14. В государстве 100 городов и из каждого из них выходит по 4 дороги,
сколько всего дорог в государстве?
15. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно
по три дороги, быть 100 дорог?
16. На радиостанции каждый радиоузел соединен ровно с 15 другими.
Может ли быть число проводов на радиостанции ровно 200?
17. Изобразите простой цикл с шестью вершинами и подсчитайте, сколько у него ребер. Из скольких ребер состоит простой цикл, если у него
10 вершин? 15 вершин? Каково наименьшее число ребер в простом
цикле?
18. Сколько ребер в простом пути с b вершинами?
19. Может ли так случиться, что в одной компании из шести человек каждый знаком с двумя и только двумя другими?
20. Задано множество М={0;2;5;7}. Выпишите все элементы множества
М2.
21. Задано множество М={b;c;d;k}. Постройте таблицу для М2 и выпишите все элементы множества М2.
22. На множестве М={1;2;3;5;7;9;11} задается отношение R=«быть не
больше». Задайте данное отношение R путем перечисления всех его
элементов, таблицей отношения и изобразите граф отношения.
23. На множестве М={2;3;4;5;8;9;10} задается отношение R=«быть не
меньше». Задайте данное отношение R путем перечисления всех его
элементов, таблицей отношения и изобразите граф отношения.
24. Задано множество М={-5;0;2;6;7;9;10}. Нарисуйте граф, соответствующий отношению: «быть >» на множестве М; «быть <» на множестве
М; «быть» на множестве М; «быть » на множестве М.
25. Нарисуйте граф с шестью вершинами, соответствующий: рефлексивному отношению; антирефлексивному отношению; отношению не рефлексивному и не антирефлексивному.
26. Нарисуйте граф симметричного отношения, заданного на множестве
М из шести элементов.
27. Постройте граф, соответствующий отношению делимости xRy «x делит y» на отрезке [2, 10].
28. Постройте граф, соответствующий отношению неделимости xRy «x не
делит y» на отрезке [2, 13].
28
29. Какое максимальное число висячих вершин может иметь дерево, обладающее 9 вершинами? Какое минимальное число висячих вершин
оно может иметь? Сделайте рисунки таких деревьев.
30. Докажите, что лес, состоящий из k деревьев и содержащий b вершин,
имеет b-k ребер.
31. Сколько ребер надо удалить из связного графа, имеющего p ребер и b
вершин, чтобы получить дерево, содержащее все вершины этого графа?
32. Нарисуйте граф с восемью вершинами, который: а) имеет эйлеров
цикл; б) имеет эйлеров путь; в) не имеет ни эйлерова цикла, ни эйлерова пути; г) имеет простой путь, содержащий все ребра графа.
33. Для указанных ниже отношений привести примеры пар, для которых
выполняются отношения, и пар, для которых отношения не выполняются: отношения, заданные на множестве элементов структуры, изображенной на рис. 8: R1 –«быть непосредственно связанным с»; R2 –
«быть начальником»; R3 – «быть непосредственным начальником».
34. Пусть отношение R –«быть отцом», определенное на множестве людей М={a, b, c, d, e, f, g, h}, представлено схемой рис. 8. Задать списком отношение R, матрицей отношений. Определить (назвать) родственные отношения между следующими парами: (a, b), (a, d), (b, c), (b,
d), (b, h), (c, d). Записать пары, удовлетворяющие отношениям: «быть
дедом», «быть родным братом или сестрой», «быть двоюродным братом или сестрой», «быть дядей», « быть племянником или племянницей», «быть сыном или дочерью».
Рис. 8
35. Дать характеристику отношениям: «быть руководителем», «не быть
руководителем».
36. Задать различными способами графы G1 и G2 , представленные на
рис.9 и 10 соответственно. Вычислить число ребер по матрицам и
списку ребер. Как можно перейти от описания графа списком ребер к
матрице инцидентности и от матрицы смежности к списку ребер?
29
Рис. 9
Рис. 10
37. Рассчитать индивидуальные и групповые индексы для вершин графов,
изображенных на рис. 11 и 12.
Рис. 11
Рис. 12
38. По известной матрице смежности составить матрицы инцидентности
циклов:
a
a b c d e
0 1 0 1 1
f
0
b
c
d
e
f
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
a
a b c d e
0 1 1 0 0
f
1
b
c
d
e
f
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
39. Для графа, изображенного на рис. 13, 14, составить матрицы инцидентности, смежности, циклов и расстояний.
30
Рис. 13
Рис. 14
40. Определить, изоморфны ли графы G1, G2, изображенные на рис. 15.
Рис. 15
41. Вычислить контрастатус элементов графов, изображенных на рис. 16.
Рис. 16
42. Изоморфны ли графы, изображенные на рис. 17 – 20?
31
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исторически теория графов зародилась в ходе решения головоломок
двести с лишним лет назад. Очень долго она на находилась в стороне от
главных направлений исследований ученых. Толчок к развитию теория
графов получила на рубеже XIX и XX столетий, когда резко возросло
число работ в области топологии и комбинаторики, с которыми её связывают самые тесные узы родства. Как отдельная математическая дисциплина теория графов была впервые представлена в работе венгерского математика Кёнига в 30-е годы ХХ столетия.
В последнее время графы и связанные с ними методы исследований
органически пронизывают на разных уровнях едва ли не всю современную математику. Графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, математической лингвистике, экономике, биологии, медицине.
Но наиболее развитое направление использования теории графов в
социологии – анализ структуры межличностных отношений в малой социальной группе.
В данном пособии рассмотрены основные понятия теории графов с
большим количеством примеров. Значительное внимание уделяется
вопросам приложения теории графов в социологии, социальной психологии, политологии.
33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1965.
2. Белов В.В., Воробьёв Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. М.:
Высшая школа, 1976
3. Березина Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979.
4. Москинова Г.И. Дискретная математика в примерах и упражнениях: В 3 ч. Кемерово: Изд-во Кем. гос. ун-та, 1993.
5. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учебное пособие. М.: Логос,
2000.
6. Берж К. Теория графов и её применения. М.: Изд-во иностр. лит.,
1962.
7. Оре О. Графы и их применение. М.: Мир, 1965.
8. Паниотто В.И. Структура межличностных отношений. Методика
и математические методы исследования. Киев: Наукова Думка.
1975.
9. Паповян С.С. Математические методы в социальной психологии.
М.: Наука, 1983.
10. Паниотто В.И., Закревская Л.А., Черноволенко А.В. и др. Опыт
моделирования социальных процессов (вопросы методологии и
методики построения моделей). Киев: Наукова Думка. 1989.
34
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ………………………………………………………………
Элементы теории графов ……………………………………………
Основные понятия……………………………………………………
Способы задания графов. Матрицы графов…………………………
Операции над графами………………………………………………..
Некоторые классы конечных графов………………………………...
Маршруты, пути, цепи, циклы ………………………………………
Связность графов …………………………………………………….
Деревья или древовидные графы. Лес ………………………………
Специальные классы графов ………………………………………...
Отношения ……………………………………………………………
Свойства бинарных отношений …………………………………….
Полное отношение …………………………………………………..
Эквивалентность и порядок …………………………………………
Приложения теории графов в социологии …………………………
Задачи и упражнения ………………………………………………..
Заключение …………………………………………………………..
Библиографический список …………………………………………
35
3
4
4
7
10
10
11
11
12
14
16
19
20
21
22
27
33
34