2. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой
advertisement
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Республиканский ресурсный центр по математике Центр математического образования школьников, УдГУ V Ижевский командный турнир математиков 3 тур, 17 марта 2013 г., 6 класс, высшая лига 1. Можно ли в «сотах» расставить натуральные числа от 1 до 7 (каждое по одному разу) так, чтобы сумма чисел в любых трех шестиугольниках с общей вершиной делилась на 3? 2. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15.00, встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14.00, и автобус, выехавший из B в 11.00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B в 13.00? 3. На столе стоят десять коробок, в одной из них 550 конфет, в другой 450, остальные пусты. За один ход разрешается выбрать любые две коробки и переложить часть конфет из одной в другую так, чтобы в этих коробках стало поровну конфет (если число конфет получается дробным, то такая операция запрещена). Можно ли с помощью таких ходов добиться того, чтобы в двух коробках было по 200 конфет, а в остальных по 75? 4. Куб со сторонами nnn окрасили снаружи и потом разрезали на единичные кубики. Могло ли оказаться, что кубиков с четным числом окрашенных граней в целое число раз больше или меньше, чем раза больше, чем кубиков с нечетным числом окрашенных граней. Найдите, чему равно n (все варианты и поясните, почему других нет). 5. Пусть p – простое число. Рассмотрим полоску 1p2. Назовем шаблоном набор из p закрашенных клеток на этой полоске. Сколько существует различных шаблонов, что, положив p экземпляров такого шаблона, можно закрыть ими все клетки полоски 1 p2? 6. У марсиан есть голова, спина, рука, нога и хвост. Каждая из этих частей тела может быть красной, желтой, зеленой или синей. Однажды компания марсиан собралась и обнаружила, что у каждого из них хотя бы одна из перечисленных частей тела уникальна (то есть окрашена в цвет, в который эта часть тела не окрашена больше ни у кого из компании). Какова максимально возможная численность компании? 7. На правильной треугольной сетке нарисован правильный шестиугольник со стороной 3. Можно ли его разрезать его по линиям сетки на 9 попарно различных фигур одинаковой площади? 8. Семизначное число N совпадает с каждым из восьми семизначных чисел M1, M2, …, M8 в трёх разрядах. Докажите, что среди чисел M1, M2, …, M8 найдутся два, совпадающие по крайней мере в двух разрядах. 9. Ежедневно Андрей спускается в метро по эскалатору. Если он сбегает на одну ступень в секунду, то спускается за 96 секунд, а если на две ступени в секунду, то за 60 секунд. За какое время спустится Андрей, если будет стоять неподвижно? 10. В стране несколько городов, некоторые из которых соединены дорогами с односторонним движением так, что из столицы можно добраться до любого города, не нарушая правил дорожного движения (при этом, возможно, проезжая через другие города). Назовем два нестоличных города близкими, если до них нельзя добраться из столицы по непересекающимися (то есть не проходящими через общие города) путям. Президент приказал соединить каждые два близких города прямой авиалинией. Оказалось, что теперь между любыми двумя нестоличными городами можно добраться, пользуясь только открытыми авиалиниями. Докажите, что тогда между любыми двумя нестоличными городами есть прямая авиалиния. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Республиканский ресурсный центр по математике Центр математического образования школьников, УдГУ V Ижевский командный турнир математиков 2 тур, 16 марта 2013 г., 6 класс, первая лига 1. Можно ли в «сотах» расставить натуральные числа от 1 до 7 (каждое по одному разу) так, чтобы сумма чисел в любых трех шестиугольниках с общей вершиной делилась на 3? 2. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15.00, встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14.00, и автобус, выехавший из B в 11.00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B в 13.00? 3. В ребусе разные цифры заменены разными буквами. Известно, что КОЕ – ЧТО = 857. На сколько КОЕ–ТО больше, чем КОЕ–КТО? 4. Куб со сторонами nnn окрасили снаружи и потом разрезали на единичные кубики. Оказалось, что кубиков с четным числом окрашенных граней в два раза больше, чем кубиков с нечетным числом окрашенных граней. Найдите, чему равно n (все варианты и поясните, почему других нет). 5. В Зазеркалье имеют хождение монеты достоинством 7, 13 и 25 гиней. Алиса заплатила за покупку несколько монет, и получила на сдачу на две монеты больше. Могла ли покупка стоить 60 гиней? 6. У марсиан есть голова, спина, рука, нога и хвост. Каждая из этих частей тела может быть красной, желтой, зеленой или синей. Однажды компания марсиан собралась и обнаружила, что у каждого из них хотя бы одна из перечисленных частей тела уникальна ( то есть окрашена в цвет, в который эта часть тела не окрашена больше ни у кого из компании). Какова максимально возможная численность компании? 7. На правильной треугольной сетке нарисован правильный шестиугольник со стороной 3. Можно ли его разрезать его по линиям сетки на 9 попарно различных фигур одинаковой площади? 8. Ежедневно Андрей спускается в метро по эскалатору. Если он сбегает на одну ступень в секунду, то спускается за 96 секунд, а если на две ступени в секунду, то за 60 секунд. За какое время спустится Андрей, если будет стоять неподвижно? . Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Республиканский ресурсный центр по математике Центр математического образования школьников, УдГУ V Ижевский командный турнир математиков 2 тур, 16 марта 2013 г., 7 класс, высшая лига 1. При каких n квадрат nn можно разбить на трехклеточные уголки и правильно их раскрасить в 2 цвета? (Уголки, имеющие неточечную границу, должны быть раскрашены в разные цвета.) 2. В выпуклом многоугольнике сумма тупых углов равна 2013. Сколько сторон может оказаться у этого многоугольника? 3. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15.00, встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14.00, и автобус, выехавший из B в 11.00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B в 13.00? 4. В треугольнике провели все биссектрисы и все биссектрисы внешних углов, продлили их до прямых, а сам треугольник стерли. Какое наибольшее количество пар перпендикулярных прямых могло остаться на доске? 5. Пусть p – простое число. Рассмотрим полоску 1p2. Назовем шаблоном набор из p закрашенных клеток на этой полоске. Сколько существует различных шаблонов, что, положив p экземпляров такого шаблона, можно закрыть ими все клетки полоски 1 p2? 6. У марсиан есть 2013 частей тела. Каждая из этих частей тела может быть красной, желтой, зеленой или синей. Однажды компания марсиан собралась и обнаружила, что у каждого из них хотя бы одна из перечисленных частей тела уникальна (то есть окрашена в цвет, в который эта часть тела не окрашена больше ни у кого из компании). Какова максимально возможная численность компании? 7. Найдите сумму всех натуральных чисел n таких, что дробь 1/n имеет минимальный период длиной 3. 8. Вычислите, чему равно выражение 23 −1 23 +1 × 33 −1 33 +1 × 43 −1 43 +1 ×…× 𝑛3 −1 . 𝑛3 +1 9. Семизначное число N совпадает с каждым из восьми семизначных чисел M1, M2, …, M8 в трёх разрядах. Докажите, что среди чисел M1, M2, …, M8 найдутся два, совпадающие по крайней мере в двух разрядах. 10. В роте 85 солдат. Каждый день старшина выбирает одного солдата и отправляет в поле красить траву его, а также либо всех тех, кто и выше, и старше выбранного, либо всех тех, которые и ниже, и младше выбранного. Докажите, что через 10 дней можно будет найти пару солдат, которые красили траву в одни те же дни. Рост и возраст у всех солдат различны. Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?» МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска Республиканский ресурсный центр по математике Центр математического образования школьников, УдГУ V Ижевский командный турнир математиков 2 тур, 16 марта 2013 г., 7 класс, первая лига 1. Можно ли в «сотах» расставить натуральные числа от 1 до 7 (каждое по одному разу) так, чтобы сумма чисел в любых трех шестиугольниках с общей вершиной делилась на 3? 2. В выпуклом многоугольнике сумма тупых углов равна 2013. Сколько сторон может оказаться у этого многоугольника? 3. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15.00, встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14.00, и автобус, выехавший из B в 11.00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B в 13.00? 4. В треугольнике провели все биссектрисы и все биссектрисы внешних углов, продлили их до прямых, а сам треугольник стерли. Какое наибольшее количество пар перпендикулярных прямых могло остаться на доске? 5. Назовем множество натуральных чисел p-парным, если его числа можно разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре равнялась p. Возьмем несколько простых чисел. Докажите, что существует множество, которое p-парное для каждого из взятых простых чисел. 6. Куб со сторонами nnn окрасили снаружи и потом разрезали на единичные кубики. Оказалось, что кубиков с четным числом окрашенных граней в два раза больше, чем кубиков с нечетным числом окрашенных граней. Найдите, чему равно n (все варианты и поясните, почему других нет). 7. В треугольнике ABC B ≥ 2C, AD – высота. Точка M – середина стороны BC. Докажите, что DM ≥ 0,5AB. 8. Ежедневно Андрей спускается в метро по эскалатору. Если он сбегает на одну ступень в секунду, то спускается за 96 секунд, а если на две ступени в секунду, то за 60 секунд. За какое время спустится Андрей, если будет стоять неподвижно?
