Открытая олимпиада по математике для учащихся 9-х классов.ФМЛ-2008. 1.Разложить на множители: 1) а 2 – 9в2 + 12 вс – 4с2; 2.Сократить дробь: 5ас 2а 10с 4 1) ; 5с 2 3с 2 3. Упростить выражение: 3 2 3 2 1) (4 2 3 ) 2 2) х2у2 – 5 ху2 + 6у2 – х2 + 5х -6 6х 2 2 2) . ( х 1) 3 ( х 1) 3 ; 2) 3 х 2х х х х3 х 3 1 3 1 4. Решить уравнение: 1 1 х 2 2х х 2 2х 3 ; 1) 2 2) 7 х 2 х 2 2 9 . 4 х 3 3 х 5.Найдите целые значения, при которых выражение (18 х 3) (20 х 5) не имеет смысла. 6. При каких значениях а неравенство х 2 + (2а +4)х + 8 а + 1 0 выполняется при всех значениях х ? 7.Решить систему. 2 2 x 4 y 9 а) xy 2 y 2 3 1 x 3y y 5 в) y 6 x 3 y 8. Прямая проходит через точку (0;-1) и касается гиперболы у = 1 . В какой точке эта х прямая пересекает ось абсцисс ? 9. При каком значении м парабола у = х2 + ( м + 1)х + м расположена выше прямой у = -4 ? 10. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые при делении на 3 дают в остатке 2. 11. Одна мельница может смолоть 38 ц. пшеницы за 6 час, другая - 96 ц. за 15 час., третья - 35 ц. за 7 час. Как распределить 133 ц. пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени ? 12. Построить график функции у = - х2 + 2 х . Сколько общих точек может иметь с графиком прямая у = а? ( для каждого случая укажите соответствующие значения а). 13.ABCD- прямоугольник, в котором АВ=1,ВС=2. На сторонах ВС и DA взяты точки M и N так, что BMDN –ромб. Найти стороны ромба . 14.Около окружности радиуса 1 описана равнобочная трапеция с боковой стороной равной 3. Найти площадь трапеции. Ответы. 1.1). (а-3в+2с) (а + 3в- 2с). 1.2). (у – 1) (у + 1) (х + 2) (х + 3). a2 2.1). c 1 2.2). 1. 1 3.1) 2 х 1 3.2). 4.1) 5;3; -1; -3 2 4.2). 3 20 18 5. х ; 5 3 6. а 1;3 3 3 3 3 ; 5 ; } 7а) { х; у } { 5 ; 7 7 7 7 17 7в) (х; у) = (- ; 3) 2 5 4 14. 6 13. Открытая олимпиада по математике для учащихся 9-х классов.ФМЛ-2007. (Июнь 2007) 1. . Вычислите: 19 21 7 28 17 2 а) ((( — - — ) · 8 — + 3,39) · 7,5 – 2,3) : (1 — - — ) – 6 : — 24 40 16 6 21 19 11 51 1 2 б) 1,75 – 1 — · — + 0,75 : (4 – 1,2 · (3,25 – 1 — + 6 — : 20 )) 17 56 12 3 2. .Решите уравнения: a) x 2 5x 2 2 x 2 5 x 24 0 с) x 2 3x x 2 3..Решите системы: x 2 xy x 10 y 2 xy y 20 а) 3 1 2 2x y x 2 y 2 б) 2 1 1 2 x y x 2 y 18 4.Между городом и деревней 129 км. Из деревни в город выезжает в 7 час. 20 минут автобус, а в 8 час. 50 минут выезжает другой автобус из города в дере1 вню и через 1— часа встречается с первым. Сколько километров в час про3 езжает каждый автобус, если второй проезжает в час на 10 % больше первого? 5.Второе число составляет 125 % первого, а третье составляет 80 % первого. Сколько процентов второго числа составляет третье число? 6.На основании BC равнобедренного треугольника ABC взята произвольная точка D. Доказать, что радиусы окружностей, описанных соответственно около треугольников ABD и ACD, равны . 7.Площадь треугольника равна 5, две стороны равны 3 и 4. Найти площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными сторонами.