конус

11 класс
Тема: «Конус».
Тема урока: Конус. Усеченный конус. Формулы для
площадей боковой и полной поверхности конуса и усеченного
конуса.
Цели урока:
Историческая справка
Сформировать понятие конической поверхности, конуса и
его элементов;
Научиться строить сечения конуса различными
плоскостями.
Сформировать понятие усеченного конуса, его элементов.
Вывести формулы для вычисления площадей боковой и
полной поверхности конуса и усеченного конуса;
Научиться решать простейшие задачи по данной теме.
Проверить уровень усвоения материала
Для перехода на следующий слайд, нажимайте управляющие кнопки
III. Историческая справка
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая
шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В
1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до
н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме
общей части пересекающихся цилиндров. Архимед
приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–
380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С
помощью этого принципа Демокрит получил формулы для
вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до
н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он
в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой
работал 20 лет.
Пусть сюда не входит никто,
не знающий геометрии
Каждый, входящий в Академию,
читал надпись: «Пусть сюда не
входит никто, не знающий
геометрии». Школе Платона, в
частности, принадлежит:
а) исследование свойств призмы,
пирамиды, цилиндра и конуса;
б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан
Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида
(III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под
названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в
школах Англии по ним учатся до сих пор.
В жизни понятие конуса встречается очень часто. Например:
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма
рельефа, образованная скоплением обломочных пород
(гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на
предгорную равнину или в более плоскую широкую
долину.
Вулкан Авачинский имеет форму
двойного вулкана – конус в конусе.
Для того чтобы образовался один
конус вулкана в другом, должно было
произойти очень сильное
катастрофическое извержение. Так
было и здесь. Когда-то вулкан Авача
имел конус, высота которого была
намного выше современного.
Но взрывом огромной силы, который произошел около 3 тыс. лет
назад, была снесена полутора километровая вершина конуса.
Образовался огромный кратер, открытый в юга-западном
направлении.
2. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний
6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого
бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как
образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод,
тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются
спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на
нем заряды накапливаются и дерево может быть источником
напряжения.
3. В физике встречается понятие «телесный угол». Это
конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения
телесного угла – 1 стерадиан.
4. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это
верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток
образовательной ткани.
5. «Конусами» называется семейство морских моллюсков
подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см),
ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках
и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу.
Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи.
Раковины используются как украшения, сувениры.
7. В астрономии конусы, столбы и
величественные потоки можно в
большом количестве найти в
звездных яслях, где облака газа и
пыли подвергаются воздействию
мощных ветров недавно родившихся
звезд.
Хорошо известный пример - туманность Конус, входящая в
яркую галактическую область звездообразования NGC 2264.
Ее изображение крупным планом было получено новейшей
камерой Космического телескопа Хаббла. В то время как
туманность Конус, находящаяся на расстоянии 2500 световых
лет в созвездии Единорог, имеет длину около 7 световых лет,
показанная здесь область около затупленной вершины конуса
имеет в поперечнике всего 2.5 световых года.
Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР,
перпендикулярную к плоскости этой окружности.
Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р.
Р
О
Поверхность, образованная этими отрезками называется
конической, а сами отрезки образующими конической
поверхности.
Для перехода на следующий слайд, нажимайте управляющие кнопки
Тело, ограниченное конической поверхностью и
кругом с границей L называется конусом.
Прямая ОР, проходящая через центр основания
и вершину, называется осью конуса
Р
Вершина
конуса
образующая
l
R
– радиус основания
R
О
Основание конуса
В
Ось конуса
Что будет называться высотой конуса?
Равны ли все образующие конуса? (объясните почему).
Что такое тело вращения?
С каким телом вращения мы уже знакомы?
Можно ли конус назвать телом вращения?
Какую фигуру надо вращать, чтобы получить конус.
А
В
С
С1
С4
С2
С3
Данный конус получен вращением прямоугольного
треугольника АВС вокруг катета АВ.
Боковая поверхность образуется вращением гипотенузы АС, а
основание – вращением катета ВС.
Как вы думаете, какая фигура получится при
вращении треугольника АВС вокруг катета
ВС?
А
С
В
А если вращать треугольник АВС вокруг гипотенузы? Какая
фигура получится?
В
А
С
Рассмотрим сечения конуса различными плоскостями.
Как вы думаете, сечение конуса какой
плоскостью будет называться осевым?
Какая фигура получится в осевом сечении?
Изобразите в тетради конус и его осевое сечение.
Р
РАВ – осевое сечение

В
О
А
А что получиться в сечении, если секущая
плоскость проходит через вершину конуса
и образующие?
Пересечем конус, плоскостью перпендикулярной
к его оси.
Как вы думаете, какая фигура получится в
сечении?
Верно ли что
R1 РО1 РА1


R РО РА
А1
А
О1
О
α
Почему?
РОА подобен РО1А1 по
двум углам.
Р
Р
О
О
Р
О
Усеченный конус
Возьмем конус и проведем сечение плоскостью,
перпендикулярной к его оси.
Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает
конус на две части.
Конус
Усечен
ный
конус
Основание исходного конуса и круг, полученный в
сечении этого конуса плоскостью называется
основаниями усеченного конуса, а отрезок,
соединяющий их центры – высотой усеченного
конуса.
R – радиус нижнего
основания
Образующая
усеченного
конуса
R1 – радиус верхнего
основания
R1
О
Основания
усеченного
конуса.
l
R
О1
Высота усеченного
конуса.
Можно ли считать усеченный конус фигурой вращения?
Какую фигуру нужно вращать?
В
А
С
D
Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции
АВСD вокруг стороны АD.
Боковая поверхность образуется вращением боковой стороны ВС,
основания усеченного конуса – вращением оснований АВ и СD –
трапеции.
Найдем площадь боковой и полной поверхности
конуса.
Р
Р
l
А
А1
В
А
В
Развертка боковой поверхности представляет из себя сектор
круга с радиусом равным образующей конуса l.
Площадь боковой поверхности конуса равна площади его
развертки.
2
S бок  S сектора 
l
360


,  - градусная мера дуги АВА1
Так как длина дуги равна длине окружности основания, то
l
360 R
2R 
   

180
l
Подставляя значение в формулу площади сектора получаем:
S бок 
l 2 360 R
360
l
Sбок  Rl
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению
длины окружности основания на образующую.
Sполн.=Sбок+Sосн= Rl + R2= R(l +R)
Выразим Sбок усеченного конуса через его образующую l и
радиусы оснований(R>R1).
Р
А1
А
О1
О
l –образующая усеченного
конуса.
Чтобы найти площадь боковой
поверхности усеченного конуса
нужно и площади поверхности
большого конуса вычесть площадь
маленького конуса. Так как
площадь боковой поверхности
конуса равна S= Rl, то
Sус.кон.= RРА- R1РА1.
Замечая, что РА= РА1+АА1
получим
Sус.кон.= R(РА1+АА1) - R1РА1= RРА1+ R АА1- R1РА1=
=  РА1 (R-R1) + R АА1= Rl +  РА1 (R-R1)
Найдем РА1. Рассматривая сечения конуса,плоскостью
перпендикулярной оси мы доказали, что
РОА подобен РО1А1 по двум углам.
Р
А1
А
О1
РА1 R1
РА1
R1
РА1  l R






РА R
РА1  l R
РА1
R1
О
R
R
l
l
R1l
1



 1  РА1 
РА1 R1
РА1 R1
R1  R
R1l
 S  Rl   ( R  R1 )
 l ( R  R1 )
R1  R
Значит площадь боковой поверхности усеченного конуса
S= l (R+R1),
где l – образующая усеченного конуса.
Решение простейших задач
Решим №547 из учебника (стр. 134).
Р
Дано: Конус
Высота РО=15см.
?
А
8
15
R=АО=8см
О
Найти:
Образующую конуса l
Решим задачу № 550
Р
Дано:
А
О
В
Запишите в тетради дано и решение задачи.
Решим задачу № 567
О1
А
О
В
Решите самостоятельно
№ 565, №571.
Дано:
Проверьте свои знания.
Выберите один из вариантов ответа.
1. Конус – это…
a)
Тело, которое состоит из окружности, точки не лежащей на этой
окружности и всех отрезков соединяющих эту точку с точками
окружности.
b) Тело, ограниченное кругом с границей L и конической поверхностью.
c)
Тело, ограниченное кругом с границей L и прямыми, проходящими через
точку, лежащую вне круга и точки круга.
2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса в центр
основания называется
a)
Образующей конуса;
b) Высотой конуса;
c)
Осью конуса.
Проверьте свои знания.
3. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
a) Rl ;
b) (R-R1) l ;
c) (R1+R)l; d) R2l .
4. Образующая конуса равна 13 м, высота 5 м. Найдите
Площадь боковой поверхности конуса.
a) 156 м2;
b) 60 м2 ;
c) 65 м2.
5. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 7 см, высота 3 см.
Найдите образующую усеченного конуса.
a) 23 см;
b) 40 см;
с) 5 см.
Номер
вопроса
Ответ
1
2
3
4
5
b
b
c
a
c
Посчитайте количество верных ответов.
§2 стр. 130 №548(а), №568, №563
Запишите в тетрадь вывод формул площади
боковой поверхности конуса и усеченного
конуса.