Перемежаемость

Перемежаемость
Если в какой-то системе имеет место чередование стадий (фаз) регулярного и
хаотического поведения, то говорят о перемежаемости. Например, в
гидродинамических течениях встречается перемежающаяся турбулентность, когда
течение одновременно имеет в одних пространственных областях плавный,
ламинарный, а в других – нерегулярный, турбулентный характер.
В контексте ДС термин перемежаемость (intermittency) вошел в обиход после
опубликованной в 1980 г. работы французских исследователей Помо и Манневилля.
Они указали три типа перемежаемости, которые могут сопровождать переход от
периодического движения к хаосу.
Наиболее распространенной является перемежаемость
типа I. Ее возникновение ассоциируется с касательной
бифуркацией и появлением «коридора» на месте
исчезнувших
после
слияния
устойчивой
и
неустойчивой точек (циклов). Предполагается, что
после пребывания в удаленных областях фазового
пространства, где динамика системы сложная и
нерегулярная, система всегда возвращается в
исходную область (реинжекция) и должна снова и
снова проходить через «коридор».
Перемежаемость типа I: примеры
Следуя Помо и Манневиллю, рассмотрим динамику модели Лоренца
при  = 10, b = 8/3 и значениях r в некотором диапазоне вблизи 166.
Фазовые портреты аттрактора, выполненные в технике кодирования тонами
серого цвета в соответствии с вероятностью пребывания изображающей точки в
тех или иных областях. r = 166 (a), r = 166,24 (б)
При r = 166 реализуется периодический режим, которому в фазовом пространстве
отвечает предельный цикл. При r немного большем этой величины наблюдаются
длительные временные участки регулярного, почти периодического движения –
ламинарные стадии, которые перемежаются относительно непродолжительными
турбулентными всплесками. Чем дальше мы по параметру от точки
возникновения перемежаемости, тем короче ламинарные стадии. На фазовом
портрете можно видеть ярко прорисованную область, близкую по форме к
исчезнувшему предельному циклу. В этой области протекает динамика на
ламинарных стадиях. Остальная часть портрета, прорисованная бледными
тонами, соответствует турбулентным стадиям.
Чтобы прояснить механизм возникновения перемежаемости в системе Лоренца,
обратимся к построению сечения Пуанкаре и выберем в качестве секущей
поверхности плоскость x = 0. Пусть (yn , zn) – последовательность точек, в
которых фазовая траектория пересекается с этой плоскостью.
На рисунке показана зависимость yn+1 от yn
в режиме перемежаемости. Видно, что в
выбранном интервале точки располагаются
вдоль гладкой кривой, почти касающейся
биссектрисы. (Чем ближе мы к точке
возникновения
перемежаемости,
тем
ситуация ближе к касанию). Таким
образом, налицо присутствие характерного
для перемежаемости типа I «коридора» на
итерационной
диаграмме,
где
изображающая точка проводит основное
время, а
именно,
на протяжении
ламинарных стадий.
Второй пример – логистическое отображение
xn 1  1   xn2 .
В области  > c = 1,401155… наряду с областями хаоса имеется множество окон
устойчивости – интервалов параметра, где реализуется аттрактор в виде
устойчивого цикла того или иного определенного периода.
При выходе из окна устойчивости в сторону увеличения параметра можно
наблюдать каскад удвоений периода на базе исходного цикла, а выход в сторону
уменьшения параметра, как оказывается, сопровождается возникновением хаоса
через перемежаемость.
Рассмотрим самое широкое окно, нижняя
граница которого расположена при  =1.75.
В этом окне реализуется цикл периода 3.
Чтобы понять, что происходит с этим
циклом при уменьшении , построим
график отображения за три шага итераций,
f3 (x) = f(f(f(x))) при  большем, равном и
немного
меньшем
бифуркационного
значения.
 =1.745
 =1.75
 =1.755
Имеет место касательная бифуркация: в
результате
слияния
устойчивой
и
неустойчивой точек образуется «коридор».
Зависимости переменной x от
дискретного
времени
n
для
логистического отображения при
выходе по параметру из окна
периода 3 с возникновением
перемежаемости
Первая диаграмма отвечает регулярному режиму – циклу периода 3, вторая и третья
демонстрируют перемежаемость. На ламинарных стадиях поведение похоже на
периодической режим, однако более тщательный анализ выявляет присутствие
медленно накапливающихся возмущений. Этот процесс завершается появлением
турбулентного всплеска. После этого вновь возникает ламинарная стадия, затем вновь
турбулентный всплеск и т.д., причем промежутки времени между последовательными
всплесками не повторяются, а оказываются случайными. Каждый турбулентный
всплеск сопровождается сбоем фазы колебаний близких к периодическим на
ламинарных стадиях. Средняя продолжительность ламинарных стадий уменьшается
при удалении от порога касательной бифуркации, а при приближении к нему
стремится к бесконечности.
Перемежаемость, связанная с касательной (седло-узловой) бифуркацией
циклов, наиболее типична для широкого класса ДС. Она была обнаружена и
исследована раньше других случаев перемежаемости и получила название –
перемежаемость I типа. Для анализа свойств перемежаемости I типа
используют одномерное модельное отображение вида
xn 1  f ( xn )    xn   xn " возврат".
p
(60)
Параметр ε соответствует параметру надкритичности  – кр системы, так как в
отображении (60) касательная бифуркация имеет место при ε = 0; р – целое
число, определяющее порядок экстремума функции последования. Возврат
изображающей точки в ограниченный интервал значений x может быть
осуществлен различными способами.
Например, для отображения на рисунке для возврата изображающей точки
служит ветвь графика функции последования на отрезке АВ. Отображение,
приведенное на рисунке слева, соответствует моменту касательной бифуркации ε
= 0. Пунктирные линии на графике представляют собой построение с помощью
диаграммы Ламерея траектории седло-узловой точки. Отображение на рисунке
справа соответствует случаю ε ≥ 0. В окрестности исчезнувшей неподвижной
точки график функции последования образует так называемый канал, по
которому изображающая точка движется довольно долго, что соответствует
ламинарной фазе перемежаемости. Уход изображающей точки из канала
определяет турбулентную фазу, в которой точка должна попасть на участок АВ,
обеспечивающий ее возврат в канал.
В точке
бифуркации
Сразу после
бифуркации
Исследование
отображений
вида
(60)
выявляет
определенные
количественные закономерности перемежаемости
I типа (например,
характер зависимости средней длительности ламинарной фазы от параметра
надкритичности), носящие универсальный характер в том смысле, что они не
зависят от конкретного вида отображения и определяются порядком
экстремума p. Применение ренормгруппового анализа позволяет
теоретически определить асимптотику поведения средней длительности
ламинарной фазы:
T1
  ,

p 1
.
p
При p = 2 имеем Tл ~ 1/√ε, что хорошо согласуется с результатами
многочисленных экспериментов.