Решение задач по теме «Основы термодинамики» Цели урока

Решение задач по теме
«Основы
термодинамики»
Цели урока:
1. Повторить основные формулы.
2. Научиться применять
полученные знания для решения
задач.
3. Провести анализ полученных
результатов.
Основные формулы
1. Уравнение состояния идеального
газа (Менделеева – Клапейрона)
m
pV 
RT
M
одноатомного газа
3 m
3
U
RT  pV
2M
2
двухатомного газа
5 m
5
U
RT  pV
2M
2
2. Внутренняя энергия
3. Работа газа
m
A  pV 
R T
M
4. Работа внешних сил
A   A  p(V1  V2 )
Основные формулы
при нагревании и
охлаждении
при горении
5. Количество теплоты
при плавлении и
кристаллизации
при
парообразовании
и конденсации
Q  cmT
Q  qm
Q  m
Q  rm
Основные формулы
U  A  Q
6. Первый закон термодинамики
Q  U  A
A

Q1
7. КПД тепловых двигателей

Q1  Q2
Q1
A  Q1  Q2
 max
T1  T2

T1
Задача 1. В стальном баллоне находится гелий массой 0,5 кг при
температуре 10 0С. Как изменится внутренняя энергия гелия, если его
температура повысится до 30 0С?
Дано:
m = 0,5 кг
t1 = 100С
t2 = 300C
M = 4*10-3 кг/моль
R = 8,31 Дж/моль К
ΔU - ?
T  t  273
t  T
“СИ”
283 0K
T1 =
T2 = 3030K
Решение.
5 m
U1 
RT1.
2 M
5 m
U2 
RT2 .
2M
Найдём изменение внутренней энергии:
5m
5m
5m
U  U 2  U1 
RT2 
RT1 
RT2  T1 
2M
2M
2M
5m
U 
RT .
2M
5  0,5кг  8,31 Дж мольК  200 К
3
U 

62
,
5

10
Дж  62,5кДж
3
2  4 10 кг моль
Задача 2. Какова внутренняя энергия 5 моль кислорода при 10 0С?
Дано:
 = 5 моль
t = 10 0C
R = 8,31 Дж/моль К
U-?
“СИ”
Решение.
Кислород О2 – двухатомный газ.
283 0K
5 m
U 
RT ,
2 M
m
- количество вещества.
 
M
5
U 
RT .
2
5
Дж
U   5 моль  8,31
2830 К 
2
мольК
 29396,62 Дж  29кДж.
Задача 3. Какова внутренняя энергия гелия, заполняющего аэростат
объёмом 50 м3 при давлении 60 кПа?
Дано:
V = 50 м3
р = 80 кПа
“СИ”
8∙104 Па
U-?
Решение.
5 m
U 
RT
2 M
m
-уравнение
pV 
RT
МенделееваM
-Клапейрона
5
U 
pV .
2
5  8 10 Па  50м
U
 10 106 Дж  10МДж.
2
4
3
Задача 4. На рисунке приведён график зависимости давления газа от
объёма. Найдите работу газа при расширении.
Дано:
Решение.
Газ расширяется изобарно, поэтому работа газа:
А' = pΔV = p(V2 – V1).
Значения р, V1 и V2 найдём из графика:
Найти: А' -?
р = 7∙105 Па
V1 = 2∙10-3 м3
V2 = 9∙10-3 м3.
Тогда:
А  7 10 Па(9  2)10 м 
5
3
3
 49 10 Дж  4,9кДж.
2
Ответ: А‘ = 4,9 кДж
Задача 5. Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 4
так, как показано на рисунке. Вычислите работу, совершаемую газом.
Дано:
Решение.
А  А12  А23  А34
А12  р1 (V2  V1 )
А23  0, т.к.V  0
A34  p3 (V4  V3 )
Найти: А‘ - ?
A  A12  A34
A  6 105 (3  1) 103  4 105 (6  3) 103  24 102  2,4кДж.
Ответ: А‘ = 2,4 кДж.
Задача 6. Какую работу совершает идеальный газ в количестве
2 моль при его изобарном нагревании на 5 0С?
Дано:
“СИ”
= 2 моль
p = const
Δt = 5 0C
ΔT = 5 0K
R = 8,31 Дж/мольК
А‘ - ?
Решение.
A  pV
m
m
pV1 
RT1 ; pV2 
RT2
M
M
m
pV 2 pV1 
R (T2  T1 )
M
m
m

pV 
RT  A 
RT
M
M
m
 
M
A  RT
Дж
A  2 моль  8,31
50 К  83,1 Дж
мольК
Ответ: А‘ = 83,1 Дж
Задача 7. Для приготовления ванны вместимостью 200 л
смешали холодную воду при температуре 10 0С с горячей водой
при температуре 60 0С. Какие объёмы той и другой воды надо взять,
чтобы температура установилась 40 0С?
Дано:
V = 200 л
t1хол = 10 0С
t2гор = 60 0С
t = 40 0C
ρ = 103 кг/м3
с = 4200Дж/кг0К
V1 - ?
V2 - ?
“СИ”
0,2 м3
T1хол = 283 0К
T2гор = 333 0K
T = 313 0K
t C  T K
0
0
Примечание: холодную и горячую воду можно
рассматривать как замкнутую систему тел, так как
при данных условиях нет теплообмена с
окружающей средой.
Решение.
Количество теплоты, полученное холодной водой:
Q1  cm1 (t  t1 )
Количество теплоты, отданное горячей водой:
Q2  cm2 (t  t2 )
или
Уравнение теплового баланса:
m  m1  m2  m1  m  m2
(m  m2 )(t  t1 )  m2 (t 2  t )
(m  m2 )( 40  10)  m2 (60  40)
30(m  m2 )  20m2
30m  30m2  20m2
 Q2  cm2 (t2  t )
Q1  Q2  0  Q1  Q2
m
V

80кг
3
V1  3

0
,
08
м
 80 л
3
10 кг м
120кг
3
V2  3

0
,
12
м
 120 л
3
10 кг м
30 V
 120кг
50m2  30m  30 V  m2 
50
Ответ: V1 = 80 л
m1  200  120  80кг
V2 = 120 л
Задача 8. В сосуд, содержащий воду массой 1,5 кг при температуре
15 0С, впускают водяной пар массой 200 г при температуре 100 0С.
Какая общая температура установится после конденсации пара?
Дано:
m1 = 1,5 кг
m2 = 200 г
t1 = 15 0C
t2 = 100 0C
c = 4200 Дж/кг∙0К
r = 2,3∙106 Дж/кг
t-?
“СИ”
Решение.
Q1
0,2кг
288 0К
373 0К
1000С
Q2
t
Q3
150С
Количество теплоты, выделившееся
при конденсации пара:
Количество теплоты, выделившееся при
охлаждении воды, полученной из пара:
Количество теплоты, полученное
холодной водой:
Q1  rm2
Q2  cm2 (t2  t )
Q3  cm1 (t  t1 )
Запишем уравнение теплового баланса:
или
Q1  Q2  Q3  0
 rm2  cm2 (t2  t )  cm1 (t  t1 )  0
Преобразуем выражение и выразим конечную температуру t.
 rm2  cm2t 2  cm2t  cm1t  cm1t1  0
ct (m1  m2 )  cm1t1  cm2t 2  rm2
c(m1t1  m2t 2 )  rm2
t
c(m1  m2 )
4200(1,5 15  0,2 100)  2,3 106  0,2
t
 570 C
4200(1,5  0,2)
Ответ: t = 57 0C
Задача 9. При изотермическом расширении идеальным газом
совершена работа 15 кДж. Какое количество теплоты сообщено газу?
Дано:
А‘ = 15 кДж
Т = const
“СИ”
1,5∙104 Дж
Решение.
По I закону термодинамики:
Q  A  U
При изотермическом процессе (Т = const)
внутренняя энергия газа не меняется, то есть
U  0.
Q-?
Тогда газ совершает механическую работу за счёт сообщенного ему
количества теплоты:
Q  A
Таким образом, газу сообщено количество теплоты, равное
Q  1,5 10 Дж  15кДж.
4
Ответ: Q = 15 кДж.
Задача 10. В закрытом баллоне находится газ. При охлаждении его
внутренняя энергия уменьшилась на 500 Дж. Какое количество
теплоты отдал газ? Совершил ли он работу?
Дано:
ΔU = - 500 Дж
Q-?
А‘ - ?
Решение.
Газ находится в закрытом баллоне, следовательно,
объём газа не меняется, то есть V = const и ΔV = 0.
Газ работу не совершает, так как
По I закону термодинамики
A  pV  A  0.
Q  A  U  Q  U .
Таким образом, при изменении внутренней энергии газ отдаёт
количество теплоты, равное
(знак «-» показывает,
Q  500 Дж
что газ выделяет количество теплоты).
Ответ: Q = -500 Дж; А‘ = 0.
Задача 11. Для изобарного нагревания газа, количество вещества
которого 400 моль, на 300 0К ему сообщили количество теплоты 5,4
МДж. Определите работу газа и изменение его внутренней энергии.
Дано:
р = const
 = 400 моль
ΔТ = 300 0К
Q = 5,4 МДж
“СИ”
Решение.
Запишем первый закон термодинамики:
Q  U  A
Работа газа при постоянном давлении:
5,4∙106 Дж
А‘ - ?
ΔU - ?
m
A  pV 
R T
M
m
т.к. 
, тоA  RT
M
Изменение внутренней энергии системы:
U  Q  A
Дж
0
4
6

300
К

99
,
72

10
Дж

0
,
9972

10
Дж
0
моль К
U  5,4 106  0,9972 106  4,4 106 Дж
A  400 моль  8,31
Ответ: А‘ = 1МДж; ΔU = 4,4 МДж.
Задача12. Найти работу тепловой машины за один цикл,
изображенный на рисунке.
Решение.
Работа газа численно равна
площади прямоугольника 1234:
A  S1234
А  ( p2  p1 )  (V2  V1 )
Ответ:
А  ( p2  p1 )  (V2  V1 ).
Задача 13. Какую работу – положительную или отрицательную –
совершает газ за один цикл (см. рисунок)? На каких участках
количество теплоты поглощается, отдаётся?
Решение.
Перенесём этот график на диаграмму р(V).
1→2: T=const, p↑ → V↓ - изотермическое сжатие.
2→3: p=const, T↑ → V↑ - изобарное расширение.
3→1: p↓ и T↓ → V=const – изохорное охлаждение.
С помощью диаграммы р(V) определим работу газа.
А = рΔV.
A31  0, т.к.V  0
Работа равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса, осью OV и прямыми V=V1 и V=V2.
S12  S23  A12  A23
Таким образом за один цикл газ совершает
положительную работу.
Газ поглощает количество теплоты на участке 2→3
(при расширении), отдаёт количество теплоты при
сжатии – участок 1→2 и при охлаждении – участок
3→1.
Ответ: А‘ > 0; Q23 > 0; Q12 < 0; Q31 < 0.
Задача 14. Тепловой двигатель получает от нагревателя за одну
секунду 7200 кДж теплоты и отдаёт холодильнику 5600 кДж. Каков
КПД теплового двигателя?
Дано:
“СИ”
Q1 = 7200 кДж
Q2 = 5600 кДж
η-?
7,2 ∙ 106 Дж
5,6 ∙ 106 Дж
Решение.
По определению КПД тепловой машины:
Q1  Q2

100%
Q1
7,2 106  5,6 106

100% 
6
7,2 10
(7,2  5,6) 106
1,6

100% 
100%  22%
6
7,2 10
7,2
Ответ: η = 22%.
Задача 15. Идеальная тепловая машина получает от нагревателя,
температура которого 5000К, за один цикл 3360 Дж теплоты. Найти
количество теплоты, отдаваемое за один цикл холодильнику,
температура которого 4000К. Найти работу машины за один цикл.
Дано:
Т1 = 5000К
Q1 = 3360 Дж
Т2 = 4000К
Q2 - ?
A‘ -?
Решение.
Т 1Т 2

Т1
или
Q1  Q2

Q1
Т1  Т 2 Q1  Q2

Т1
Q1
T2
Q2
T2 Q2
Q1T2
1  1
 
 Q2 
T1
Q1
T1 Q1
T1
Работа машины за один цикл:
A  Q1  Q2
3360 Дж  4000 К
Q2 
 2688 Дж ; А  3360  2688  672 Дж
0
500 К
Ответ: Q2 = 2688 Дж; А‘ = 672 Дж.
Задача 16. Какое максимальное теоретически возможное значение
КПД может иметь турбина, в которой используют пар с температурой
6000С, а отвод тепла осуществляется с помощью речной воды,
обеспечивающей холодильнику температуру 270С? Каковы основные
пути повышения КПД тепловых машин?
Дано:
t1 = 6000C
t2 = 270C
“СИ”
8730K
3000K
Решение.
 max
T1  T2

100%
T1
 max
873  300

100%  66%
873
η-?
Основной способ увеличения КПД – повышение температуры
нагревателя Т1 и понижение температуры холодильника Т2.
Ответ: ηмах = 66%.
Задача 17. В паровой турбине расходуется дизельное топливо
массой 0,35 кг на 1 кВт∙ч мощности. Температура поступающего в
турбину пара 2500С, температура холодильника 300С. Вычислите
фактический КПД турбины и сравните его с КПД идеальной тепловой
машины, работающей при тех же температурных условиях.
Дано:
“СИ”
Решение.
А‘ = 1 кВт∙ч
1∙103 Вт ∙ 3600с = 3,6 ∙ 106 Дж
Для реальной тепловой машины:
m = 0,35 кг
q = 42∙106 Дж/кг
t1 = 2500С
T1 = 5230K
t2 = 300C
T2 = 3030K
А
  100%
Q
η-?
ηmax - ?
q – удельная теплота сгорания
Q  qm, где
топлива.
А
3,6 106 100%

100% 
 25%
6
qm
42 10  0,35
T1  T2
523  303
КПД идеальной
 max 
100% 
100%  42%
тепловой машины:
T1
523
Ответ :  25%,max  42%.
Желаю успеха
в самостоятельном
решении задач!
Литература
1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б.,Сотский Н.Н. Физика 10
класс. – М.: Просвещение, 2007. – 365 с.
2. Касьянов В.А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2006. – 410 с.
3. Волков В.А. Поурочные разработки по физике. 10 класс. –
М: Вако, 2006. – 400 с.
4. Рымкевич А.П. Задачник 10 – 11 классы. – М.: Дрофа, 2004.
– 188 с.
5. Степанова Г.Н. Сборник задач по физике 10 – 11 классы. –
М: Просвещение, 2003. – 287 с.
6. Власова И.Г. Решение задач по физике. Справочник
школьника. – М.: «Слово», 1997. – 640 с.