virknes - Liepājas A. Puškina 2. vidusskola

VIRKNES
последовательности
10.klase
Liepājas A.Puškina 2.vidusskola
Olga Maļkova
ESF projekta. Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002
Bērna auguma dinamika
Vecums
(gadi)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Augums
(cm)
54
76
105
123
136
152
168
178
184
Latvijas iedzīvotāju skaits 2009.g., tūkst.
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
2261
2260
2259
2258
2257
2256
2256
2255
2254
2253
2251
2250
Skaitļu virkne
 Числовая последовательность- это функция,
заданная на множестве натуральных чисел.
an= f(n)
a1; a2; a3; … an; …
n - arguments - indekss
(norāda virknes locekļa kārtas numuru)
virknes locekļi – funkcijas vērtības f(1); f(2); f(3); ... f(n); ...
an – virknes vispārīgais loceklis jeb n –tais loceklis
Virknes sastāda tādus dabas elementus, kurus var
sanumurēt.
Eksperimentu
rezultāti
Nedēļas
dienas
Klases
skolā
Mēnešu
nosaukumi
Bankas
rēķinu
numuri
No vēstures
 Skaitļu virknes jēdziens radās un attīstījās ilgi pirms jēdziena






funkcijas rašanās. Bezgalīgu skaitļu virkņu piemēri, kuri pazīstami
jau senatnē:
1, 2, 3, 4, 5 ... - naturālo skaitļu virkne;
2, 4, 6, 8, 10 ... - pāru skaitļu virkne;
1, 3, 5, 7, 9 ... - nepāru skaitļu virkne;
1, 4, 9, 16, 25 ... – naturālo skaitļu kvadrātu virkne;
2, 3, 5, 7, 11 ... - pirmskaitļu virkne
- skaitļu, kas apgriezti naturāliem, virkne
Virknes uzdošanas veidi
 Aprakstoši, t.i. ar vārdiem.
 Ar tabulas palīdzību.
 Grafiski.
 Analītiski ar vispārīgā (jeb n-tā) locekļa formulu.
 Rekurenti ar rekurences formulu (no vārda recursio – atgriezties)
– formula, kura izsaka jebkuru virknes locekli, sākot no kāda
konkrēta, ar iepriekšējiem.
Piemērs
 (yn): naturālie skaitļi, kuri dalās ar 3.
(yn): 3; 6; 9; 12; 15 ...
n
1
2
3
4
5
6
(yn)
3
6
9
12
15
16
 yn = 3n
 yn = yn-1 + 3
y1 = 3
Fibonači skaitļu virkne
Задача из «Книги абака» (1202.g.)
 Некто поместил пару кроликов в новом месте,
огороженном со всех сторон стеной, чтобы
узнать, сколько пар кроликов родится при этом
в течение года, если природа кроликов такова,
что через месяц пара кроликов производит на
свет другую пару, а рождают кролики со
второго месяца после своего рождения.
Fibonači virkne
Skaitļu virkni, kura
veidojas pierakstot
trušu pāru skaitu katrā
paaudzē,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
dēvē par Fibonači
virkni.
Katrs nākamais virknes
loceklis ir divu iepriekšējo
virknes locekļu summa.
Leonardo Fibonači
( Leonardo Pizano 1170-1250)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Fibonači skaitļu virkne
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
F1=1, F2=1, Fn+1= Fn+ Fn-1
Fibonači spirāle
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Молекулы ДНК скручены в
спираль
По спирали
происходит рост
тканей в стволах
деревьев
Винтовое
расположение
атомов в
кристаллах
Спирально
закручиваются
усики растений
По спирали
расположены
семечки в
подсолнухе
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Сосновая шишка
8 и 13
13 и 21
Ракушка
21
Подсолнух
34 и 55
55 и 89
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Гигантская морская черепаха
5 пластин в центре
8 – по краям
21 – на периферийной кайме
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д.
Крокодил
55 роговых пластин
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Гадюка
55 темных пятен
144 позвонка
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Комар
3 пары ног
5 усиков
8 сегментов
(брюшко)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Стрекоза
3 части корпуса
(голова, грудь, брюшко)
5 сегментов (брюшко)
8 частей хвоста
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
13 – число пар рёбер
21 – пара зубов
55 – число позвонков
34 пары зубов
233 пары зубов
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
1 – туловище, голова, сердце и т.д.
2 – руки, ноги, глаза, почки
Из 3 частей состоят ноги, руки, пальцы рук
5 пальцев на руках и ногах
8 состав руки вместе с пальцами
12 пар рёбер
≈ 32 – число зубов
34 - позвонка
≈ 233 – общее число костей скелета
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
3  5, 5  3, 5  8, 8  8
«Прощанье», «Предчувствие»,
«Пью за здравие Мери…», «Заклинанье…»
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
8, 13, 21, 34 строки
«В крови горит огонь желаний…»
«Я вас любил, любовь ещё, быть может…»
«Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит…»
«Сонет»
«Поэту»
«Мадонна»
«Няне»
«Храни меня, мой талисман»
«Во глубине сибирских руд»
«Я памятник себе воздвиг нерукотворный…»
«Зимний вечер»
«Анчар»
Virkņu monotonitāte
 Virkni sauc par augošu (dilstošu), ja katrs nākamais tās
loceklis ir lielāks (mazāks) par iepriekšējo, t.i.
an+1 > an katram
( an+1 < an )
Augošās un dilstošās virknes sauc arī par monotonām
virknēm.
 Virkni, kuras visi locekļi ir vienādi, sauc par nemainīgu jeb
konstantu.
an = c (c - konstanta)
 Virkni, kuras katri divi locekļi ir ar dažādām zīmēm, sauc
par maiņzīmju virkni.
Galīgas un bezgalīgas virknes
 Virkni, kuras locekļu skaits ir ierobežots, sauc par galīgu.
Piem.: Divciparu pirmskaitļu virkne.
 Virkni, kuras locekļu skaits ir neierobežots, sauc par
bezgalīgu.
Piem.: Nepāru skaitļu virkne.