Рациональные дроби Рациональной дробью называется выражение вида – многочлены степени n и m соответственно и Qm x 0. Pn x , Qm x где Pn x , Q m x Если для рациональной дроби выполняется nm, то дробь называется неправильной, если n<m – дробь называется правильной. Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей: I. A ; A, x0 R; x x0 A k II. x x0 ; k 2, k N, A, x0 R; III. Ax B ; x x q A, B, p, q R IV. x 2 Ax B 2 xq r ; и у квадратного трехчлена D<0; r 2, r N, A, B, p, q R и у квадратного трехчлена D<0. Алгоритм разложения дроби на простейшие дроби 1. Если nm необходимо выделить целую часть делением многочлена Pn x R x Pn x на многочлен Qm x : M x , где М x – многочлен - частное Qm x Qm x (целая часть); Rx – правильная дробь. Qm x 2. Разложить Q m x на множители: Qm x x a x b ... x2 px q , (1) где Rx Qm x можно k s r k , s, ..., r N. 3. Если разложение знаменателя имеет вид (1), то дробь представить в виде суммы простейших дробей: R x A A2 Ak B B2 1 ... 1 ... 2 k Qm x x a x a x a x b x b2 C x D1 Cr x Dr ... 2 1 ... , s r 2 x px q x b x px q Bs (2) где A1 , A2 , ..., Ak ; B1 , B2 , ..., Вs ; C1 , ..., C r ; D1 , Dr – неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти. 4. Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства (2) к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби, т. е. Qm x . 5. Приравнять числители дробей. 6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов A1; A2 ; ... и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы: а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя; б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использовать значения x=a, x=b и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов; в) комбинирование методов а) и б). 7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство (2), что и будет искомым разложением. Пример 1. Разложить на простейшие дроби: 1) x4 2 ; ( x 1) ( x 3) ( x 4) x3 3) 5) x3 8 2) 4) ; 3 x x 1 x 2 x 1 2 x2 x 7 x 32 x 4 x2 9 x 1 x4 6 x2 8 ; ; . Решение. 1) Так как дробь x4 2 ( x 1) ( x 3) ( x 4) неправильная, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Получим x4 2 x4 2 3 ( x 1) ( x 3) ( x 4) x 2 x 2 11 x 12 15 x 2 10 x 22 x2 . ( x 1) ( x 3) ( x 4) Для правильной дроби запишем общий вид разложения: 15 x 2 10 x 22 A B C ( x 1) ( x 3) ( x 4) x 1 x 3 x 4 A( x 3) ( x 4) B( x 1) ( x 4) C ( x 1) ( x 3) . ( x 1) ( x 3) ( x 4) Так как равны знаменатели, то приравниваем числители: 15x2 10x 22 A( x 3) ( x 4) B( x 1) ( x 4) C( x 1) ( x 3). Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в последнее выражение последовательно х=1, х= –3, х=4. При x 1 получим При x 3 При x 4, 1 15 10 22 A(1 3) (1 4); 3 12 A; A . 4 получим получим 15 9 30 22 B (3 1) (3 7); 83 28 B; B 15 16 40 22 C(4 1) (4 3); 258 21C ; C 83 . 28 258 . 21 Таким образом, 8 86 1 x4 2 x 2 4 23 7 ( x 1) ( x 3) ( x 4) x 1 x 3 x 4 1 83 86 x2 . 4 ( x 1) 28 ( x 3) 7 ( x 4) 2) Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно виду множителя знаменателя: x2 x 7 x 3 x 4 2 A1 x 4 A0 x 3 x 4 B x 32 x 32 x 4 Найдем коэффициенты A0 , A1, B1 A0 A1 B x 3 x 32 x 4 . методом неопределенных коэффициентов: x2 x 7 A0 B x2 A1 A0 6B x 9B 12 A0 4 A1 . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х. Получаем x2 : x: A0 B 1, A1 A0 6 B 1, x 0 : 9 B 12 A0 4 A1 7. Пришли к системе уравнений: Решаем ее: 30 A0 49 , A0 1 B, 19 A1 ; A1 7 B, 7 9 B 12 1 B 4 7 B 7, 19 B . 49 Таким образом, получаем x2 x 7 x 3 x 4 2 A0 B 1, A1 7 B 0, 9b 12 A 4 A 7. 0 1 30 19 19 7 49 49 x 32 x 4 x 3 x 32 x 4 x2 x 7 30 19 19 . 2 49 x 3 7x 3 49 x 4 3) Выделим целую часть дроби x3 x 8 3 1 8 x 8 3 или x3 x 8 3 так как она неправильная: , . Знаменатель полученной правильной дроби 8 x 8 8 3 разложим A Bx c 2 x 2 x2 2x 4 множители и запишем общий вид разложения: x 2 2x 2 x 4 A x 2 x 4 x 2 Bx c . x 2 x 2 2 x 4 Вычислим коэффициенты, используя коэффициентов и метод частных значений: подставим x 2 : 8 A x2 2x 4 x 2 Bx c; метод на неопределенных получим 2 8 A 4 4 4; 8 12 A; A . 3 Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство многочленов: При A x 2 A B 0, 8 x2 A B x A 2B c 4 A 2C ; x 2 A 2 B C 0, x 0 4 A 2C 8. 2 3 2 2 8 A , B ,C . 3 3 3 2 2 8 x 2 2x 8 3 1 1 3 2 3 . 3 x 2 x 2x 4 3 x 2 3 x 2 2 x 4 x 8 x3 Поэтому Разлагаем x2 9 x 1 x4 6 x2 8 x x2 9x 1 2 2 3 B 0, 2 2 2 B C 0, 3 4 2 2C 8. 3 система имеет вид: Из нее находим: 4) 2 x2 4 знаменатель x2 9 x 1 дроби на x4 6 x2 8 множители: . Записываем общий вид разложения x x2 9 x 1 2 2 x 4 2 Ax B x 2 2 Cx D x2 4 Ax B x 2 4 Cx D x 2 2; x 2 2 x2 4 x2 9x 1 A C x3 B D x2 4 A 2B x 4B 2D. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем систему: 9 A 2 , x 3 A c 0, A C , B 1 , B 1 D, x 2 B D 1, 2 41 D 2 D 1, 4 A 2 C 9 , 3 x D , 2 x 0 4 B 2 D 1, 4 C 2C 9, 9 C . 2 Получаем 9 1 9 3 x 2 2 2 2 9x 1 9x 3 . 2 4 2 2 x 6x 8 x 2 x 4 2 x2 2 2 x2 4 x2 9x 1 5) Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий вид разложения на сумму простейших дробей: 3 x x 1 x 2 x 1 2 A B x C1 B2 x C2 21 x 1 x x 1 x2 x 1 2 A x x 1 B1x C1 x 1 x x 1 B2 x C2 x 1 2 2 x 1 x 2 2 x 1 ; 3 x A x 2 x 1 B1x C1 x 1 x 2 x 1 B2 x C2 x 1. 2 При x 1 2 2 3 A; A . 3 получаем 3 x A B1 x 4 2 A C1 x 3 3 A B2 x 2 2 A B1 C2 B2 x A C1 C2 . Тогда При x4 x3 x2 x1 x0 A 2 3 A B1 0, 2 A C1 0, 3 A B2 0, 2 A B1 C 2 B2 1, A C1 C2 3. система имеет вид: Поэтому получаем: 2 2 A , 3 B1 0, 3 2 2 2 C 0, 1 B1 3 , 3 4 2 C1 , 3 B2 0, 3 3 2 2 B C B 1, B 2, 1 2 2 3 2 2 C1 C2 5, C 3. 3 2 3 x x 1 x 2 x 1 2 2x 4 2x 3 . 2 3 x 1 3 x x 1 x2 x 12 Упражнения 1. Запишите общий вид разложения дроби на сумму простейших: 1) 2x ; x 1 x 2 2) x2 x 1 5) 9) x 2 x 5 x 1 2 3 ; 3x 2 4 ; x8 x 4 1 x2 3 x 4 x 3 6) 2 3) ; 2 x2 5 ; x 4 6 x3 2 x 2 30 x 35 10) 7) x3 x 2 x 4 2 x2 4 4) ; x2 2 x . x4 x2 1 8) 2x 1 . x3 1 2x 1 x 4 64 x4 4 x4 2 x2 4 . x8 8 x 4 2 x 3 4 x 2 4 x 4 2. Разложите на сумму простейших дробей: 1) x2 4 x 2 ; x 1 x 2 x 3 2) x3 ; x 4 5 x 3) 4 x . x 3x 2 27 4) x 3 5) x 1 ; x 1 x2 x 1 6) x2 5 ; ( x 1) 2 ( x 2) 7) 2x 3 . ( x 3)2 ( x 1)2 8) x 4 9) x x5 x 3 2 ; 2 2 x 7 x 2 3. Вычислите: 10) x x6 2 5 x2 2 2 ; 4 8 x 1 1 x ; 16 x 2 1 ; 2 ; 1) 1 1 1 1 ... ; 2 4 4 6 68 98 100 2) 3) 4) 5) 1 1 1 1 ... . 5 8 8 11 11 14 23 26 6) 7) 8) 9) 1 1 1 1 . 4 7 10 7 10 13 10 13 16 13 16 19 10)