Рациональные выражения

Рациональные выражения
Выражения, содержащие деление на выражение с переменными,
называются дробными выражениями.
Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют
1
смысла. Например, выражение 10+ не имеет смысла при х=0.
𝑥
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют
допустимыми значениями переменных.
Дроби, числитель и знаменатель которых являются многочленами,
5 𝑏2 +6 𝑥−10
называют рациональными дробями. Например, ,
𝑎
,
2𝑏
𝑥 2 +3
Рациональной дробью называется выражение вида
– многочлены степени n и m соответственно и
Qm x   0.
.
Pn x 
,
Qm x 
где
Pn  x , Q m x 
Если для рациональной дроби выполняется nm, то дробь называется
неправильной, если n<m – дробь называется правильной.
Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:
I.
A
; A, x0  R;
x  x0
A
k
II. x  x0 
III.
IV.
; k  2, k  N, A, x0  R;
Ax  B
;
x  x  q A, B, p, q  R
2
x
Ax  B
2
xq

r
;
и у квадратного трехчлена D<0;
r  2, r  N, A, B, p, q  R
и у квадратного трехчлена D<0.
Алгоритм разложения дроби на простейшие дроби
1. Если nm необходимо выделить целую часть делением многочлена
Pn x 
R x 
Pn  x  на многочлен Qm x  :
 M x  
, где М  x  – многочлен - частное
Qm x 
Qm x 
(целая часть); Rx  – правильная дробь.
Qm x 
2. Разложить
Q m x 
на множители:


Qm x   x  a  x  b ... x2  px  q ,
(1) где
Rx 
Qm x 
можно
k
s
r
k , s, ..., r  N.
3. Если разложение знаменателя имеет вид (1), то дробь
представить в виде суммы простейших дробей:
R x 
A
A2
Ak
B
B2
 1 
 ... 
 1 
 ... 
2
k
Qm x  x  a x  a 
x  a  x  b x  b2

Bs
x  bs
 ... 
C1x  D1
Cr x  Dr
 ... 
,
2
r
x  px  q
x 2  px  q


(2)
где A1 , A2 , ..., Ak ; B1 , B2 , ..., Вs ; C1 , ..., C r ; D1 , Dr – неопределенные коэффициенты,
которые необходимо найти.
4. Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства (2) к
общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби, т. е.
Qm x .
5. Приравнять числители дробей.
6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов A1; A2 ; ... и т. д.
Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:
а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и
правой части равенства записать в стандартном виде и
приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях числителя;
б) метод частных значений: придать произвольные значения
переменной х (удобнее использовать значения x=a, x=b и т. д.) и получить
равенства для исходных коэффициентов;
в) комбинирование методов а) и б).
7. Подставить полученные числовые значения коэффициентов в
равенство (2), что и будет искомым разложением.
Пример 1. Разложить на простейшие дроби:
1)
x4  2
;
( x  1)  ( x  3)  ( x  4)
x3
3)
5)
x3  8
2)
4)
;
3 x
x  1  x 2  x  1
2
x2  x  7
x  32  x  4
x2  9 x  1
x4  6 x2  8
;
;
.
Решение. 1) Так как дробь
x4  2
( x  1)  ( x  3)  ( x  4)
неправильная, выделим целую
часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов.
Получим
x4  2
x4  2
 3

( x  1)  ( x  3)  ( x  4) x  2 x 2  11 x  12
15 x 2  10 x  22
x2
.
( x  1)  ( x  3)  ( x  4)
Для правильной дроби запишем общий вид разложения:
15 x 2  10 x  22
A
B
C




( x  1)  ( x  3)  ( x  4) x  1 x  3 x  4

A( x  3)  ( x  4)  B( x  1)  ( x  4)  C ( x  1)  ( x  3)
.
( x  1)  ( x  3)  ( x  4)
Так как равны знаменатели, то приравниваем числители:
15x2  10x  22  A( x  3)  ( x  4)  B( x  1)  ( x  4)  C( x  1)  ( x  3).
Коэффициенты вычислим методом частных значений. Подставим в
последнее выражение последовательно х=1, х= –3, х=4.
При
x 1
получим
При
x  3
При
x  4,
1
15  10  22  A(1  3)  (1  4); 3  12 A; A   .
4
получим
получим
Таким образом,
15  9  30  22  B  (3  1)  (3  7); 83  28 B; B 
15  16  40  22  C(4  1)  (4  3); 258  21C ; C 
83
.
28
258
.
21
8
86
1

x4  2
23
4
x2

 7 
( x  1)  ( x  3)  ( x  4)
x 1 x  3 x  4
1
83
86
x2


.
4  ( x  1) 28  ( x  3) 7  ( x  4)
2) Запишем общий вид разложения на простейшие дроби соответственно
виду множителя знаменателя:

x2  x  7
x  3  x  4
2
A1  x  4  A0  x  3  x  4  B  x  32
x  32  x  4
Найдем коэффициенты
A0 , A1, B1

A0
A1
B



2
x  3 x  3
x4
.
методом неопределенных коэффициентов:
x2  x  7   A0  B  x2  A1  A0  6B  x  9B  12 A0  4 A1 .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х.
Получаем
x2 :
x:
A0  B  1,
A1  A0  6 B  1,
x 0 : 9 B  12 A0  4 A1  7.
Пришли к системе уравнений:
Решаем ее:
30

 A0  49 ,
 A0  1  B,

19


  A1   ;
 A1  7 B,
7
9 B  12 1  B   4  7 B  7,

 B  19 .

49
Таким образом, получаем
x2  x  7
x  3 x  4
2

 A0  B  1,

 A1  7 B  0,
9b  12 A  4 A  7.
0
1

30
19
19
7
 49 
 49
x  32 x  4 x  3 x  32 x  4
x2  x  7
30
19
19


.
2
49 x  3 7x  3
49 x  4
3) Выделим целую часть дроби
x3
x3  8
1
8
x3  8
или
x3
x3  8
,
так как она неправильная:
.
Знаменатель
полученной
правильной
дроби
8
x 8
3
разложим
на
множители и запишем общий вид разложения:
A
Bx  c
 2

x  2  x  2 x  4 x  2 x  2 x  4
A  x 2  2 x  4  x  2  Bx  c 

.
x  2  x 2  2 x  4


Вычислим
коэффициенты,
используя
коэффициентов и метод частных значений:

2





метод
неопределенных

x  2 : 8  A  x2  2x  4  x  2  Bx  c;
подставим
получим
8
2
8  A  4  4  4; 8  12 A; A  .
3
Запишем многочлен в стандартном виде и используем равенство
многочленов:
При
A
x 2 A  B  0,
8  x   A  B  x   A  2B  c  4 A  2C ; x 2 A  2 B  C  0,
x 0 4 A  2C  8.
2
2
3
система имеет вид:
2
2
8
 x
2
2x  8
3
3
3 1
1
 2

.
3


x

2
3

x

2
x 8
x  2x  4
3  x2  2x  4
x3
Поэтому

Разлагаем
x2  9 x  1
x4  6 x2  8

x
x2  9x  1
2
2
 3  B  0,

 2
2   2 B  C  0,
 3
4 2  2C  8.
 3
2
2
8
A , B  ,C  .
3
3
3
Из нее находим:
4)

 2  x2  4
знаменатель


x2  9 x  1
дроби
на
x4  6 x2  8
множители:
.
Записываем общий вид разложения






x
x2  9 x  1
2

2  x 4
2


Ax  B
x2  2

Cx  D
x2  4

 Ax  B  x 2  4  Cx  D  x 2  2;
x
2

 2  x2  4

x2  9x  1   A  C   x3  B  D  x2  4 A  2B  x  4B  2D.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и решаем
систему:
9

A  2 ,

x 3 A  c  0,
 A  C ,
B   1 ,
2
 B  1  D,
x B  D  1,

2
 

3
x 4 A  2C  9, 41  D   2 D  1,
D  ,

2
x 0 4 B  2 D  1, 4 C   2C  9,

9
C   .
2

Получаем
9 1
9
3

 x
2  9x  1  9x  3 .
 22 2  22
4
2
x  6x  8 x  2
x 4
2  x2  2 2  x2  4
x2  9x  1




5) Знаменатель дроби уже разложен на множители. Записываем общий
вид разложения на сумму простейших дробей:
3 x
x  1  x


2

 x 1

2

A
B x  C1
B2 x  C2
 1


x  1 x2  x  1 x2  x  1 2




A  x  x  1  B1x  C1   x  1  x  x  1  B2 x  C2   x  1
2
2
x  1  x

2
2

 x 1


;

3  x  A  x 2  x  1  B1x  C1   x  1  x 2  x  1  B2 x  C2   x  1.
При
2
x 1
2
2  3 A; A  .
3
получаем
3  x   A  B1   x 4  2 A  C1   x 3  3 A  B2   x 2 
 2 A  B1  C2  B2   x   A  C1  C2 .
Тогда
При
x4
x3
x2
x1
x0
A
2
3
A  B1  0,
2 A  C1  0,
3 A  B2  0,
2 A  B1 C 2  B2  1,
A  C1  C2  3.







система имеет вид:
Поэтому получаем:

2
2
A  ,
 3  B1  0,
3


2
2

2   C  0,
1
 B1   3 ,
 3

 2
4

 C1   ,
3   B2  0,
3
 3

2  2  B  C  B  1,
 B  2,
1
2
2
 3
 2
2

  C1  C2  5,
C  3.
 3
 2
3 x
x  1  x
2

 x 1

2
2x  4
2x  3


.
2
3  x  1 3  x  x  1 x2  x  12


Упражнения
1. Запишите общий вид разложения дроби на сумму простейших:
1)
2x
;
 x  1   x  2 
2)
x2  x  1
5)
9)
x
2

 x  5   x  1
2
3
;
3x 2  4
;
x8  x 4  1
x2  3
 x  4    x  3
6)
10)
2
3)
;
2 x2  5
;
x  6 x  2 x 2  30 x  35
4
7)
3
x3  x  2
 x  4
2

 x 4
2

4)
;
x2  2 x
.
x  x2  1
8)
4
2x  1
.
x3  1
2x  1
x
4
 64
x4  4
x4  2 x2  4

.
x8  8 x 4  2 x 3  4 x 2  4 x  4
2. Разложите на сумму простейших дробей:
1)
x2  4 x  2
;
x  1  x  2  x  3
2)
x3
;
x  4  5  x 
3)
4 x
.
x  3x 2  27


4)
x
4
3

 8   x  1
;

2
;
5)
9)
x 1
;
x  1  x2  x  1

x

x5  x  3
2

x2  5
;
( x  1) 2  ( x  2)
6)
10)
;
2
 2 x  7  x  2
x
x6
2

 5  x2  2
2x  3
.
( x  3)2  ( x  1)2
7)

2
8)
x
1 x
4


 16  x 2  1
;
;
3. Вычислите:
1)
1
1
1
1


 ... 
;
2 4 4 6 68
98  100
2)
3)
4)
5)
1
1
1
1


 ... 
.
5  8 8  11 11  14
23  26
6)
7)
8)
9)
1
1
1
1



.
4  7  10 7  10  13 10  13  16 13  16  19
10)
Пример 1. Найти допустимые значения переменной в дроби
5
𝑎(𝑎−9)
.
Решение. а(а – 9)0; а0, а9. Следовательно, допустимыми значениями
переменной а являются все числа кроме 0 и 9.
Ответ: ( - ∞; 0)(0; 9)(9; +∞)
Пример 2. Найти значение дроби
Решение.
3𝑎−𝑏
2𝑎𝑏
=
2
3∙ −(−1,5)
3
2
2∙ ∙(−1,5)
3
2+1,5
=2
3
∙(−3)
3𝑎−𝑏
2
при 𝑎 = , 𝑏 = −1,5.
2𝑎𝑏
=
3
3,5
−2
= −1,75.
Ответ: - 1,75
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите значение дроби:
1)
5)
𝑦−1
𝑦
при у=3
𝑎−8
2𝑎+5
9) 𝑥 +
2)
при a= - 2
8
𝑥−1
при 𝑥 =
6)
1
2
𝑏2 +6
2𝑏
3𝑥 2
2𝑥−1
10)
𝑥+5
𝑥−3
(𝑎+𝑏)2 −1
при b=3
3)
𝑎2 +1
а= - 3; b= - 1
при х=2
7)
𝑦+3
𝑦
−
𝑦
𝑦−3
у=1,5
при 4)
3𝑥 2
2𝑥−1
при х=−
2
при 8) 2𝑥 +𝑥−1
−3𝑥+2
х= - 1
при х=1
2. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
1)
3𝑥−6
7
2)
𝑥 2 −8
4𝑥(𝑥+1)
3)
𝑥
𝑥−6
+
15
𝑥+6
4)
𝑥−10
𝑥 2 +3
5)
𝑥−5
𝑥 2 +25
− 3𝑥
1
3
при
6)
𝑥
𝑥+8
+
𝑥−8
𝑥
7)
25
8)
𝑥−9
32
𝑥
−
𝑥+1
𝑥+7
9)
1
10)
6𝑥−3
𝑥 2 +1
𝑥 2 −2𝑥
3. Найдите область определения функции:
1) 𝑦 =
5) 𝑦 =
9) 𝑦 =
1
𝑥−2
3𝑥
𝑥+5
7𝑥+1
2𝑥−6
2) 𝑦 =
6) 𝑦 =
18−12𝑥
−
𝑥 2 −3𝑥
6
3−𝑥
3𝑥(𝑥+1)−3𝑥 2 +15
10) 𝑦 =
𝑥(𝑥+5)
3) 𝑦 =
7) 𝑦 =
16
(2−𝑥)2 −(2+𝑥)2
2𝑥+3
4) 𝑦 = 𝑥 +
8) 𝑦 =
𝑥(𝑥+1)
1
𝑥+5
𝑥−4
𝑥 3 +2𝑥+3
36
(𝑥+1)2 −(𝑥−1)2
4. При каких значениях переменной x:
1)
5)
9)
𝑥−3
5
𝑥−5
8
𝑥−3
5
3
=1
2)
=0
6)
=3
10)
𝑥 2 +1
2𝑥+3
10
𝑥−3
5
>0
3)
=0
7)
= −1
−5
𝑥 2 +4
<0
𝑥(𝑥−1)
𝑥+4
=0
4)
8)
(𝑥−1)2
𝑥 2 +10
𝑥(𝑥+3)
𝑥−5
≥0
=0