1(школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике №1. №2. №3.

1(школьный) этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
5 класс
№1. Три ученика делают 3 самолетика за 3 минуты. Сколько учеников сделают 9
самолетиков за 9 минут?
№2. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров надо вынуть,
чтобы достать 2 шара одного цвета?
№3. Если Сережа поедет в школу автобусом, а обратно пойдет пешком, то он затратит на
весь путь 1 час 30 минут. Если же в оба конца он поедет автобусом, то затратит всего 30
минут. Сколько времени потратит Сережа на дорогу, если он пойдет пешком и в школу и
обратно7
№4. В очереди стоят юра, Миша. Саша и Олег. Юра стоит раньше Миши, но после Олега.
Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.
В каком порядке стоят мальчики?
№5. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого. Ни французского
языка. 75 знали немецкий язык и 83 знали французский язык. Сколько туристов знали
французский и немецкий языки?
6 класс
№1. Разглядывая семейный альбом, Ванечка обнаружил, что у него 4 прабабушки и 4
прадедушки. А сколько прабабушек и прадедушек имели его прабабушки и прадедушки все
вместе?
№2. Половину натурального числа умножили на 20% от этого же числа и получили 22,5 .
Найдите само число.
№3. Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в
остатке получается 18. На какое число делили?
№4. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.
Коля сказал: "Это число 9".
Роман: "Это простое число".
Катя: "Это четное число".
А Наташа сказала, что это число -15.
Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.
№5. От кубика, склеенного из бумаги, отрезали уголок. Этот кубик разрезали по некоторым
ребрам, развернули и получили одну из фигурок A - E. Какую?
7 класс
№1. Найти наибольшее натуральное число, которое при делении на 17 дает одинаковые
остаток и неполное частное.
№2. Двузначное число п умножили на 2, у результата поменяли цифры и поделили на 2.
Получили 92. Каким могло быть число п?
№3. Средний возраст членов гимнастической секции 11 лет. Старосте секции 17 лет, а
средний возраст остальных членов секции 10 лет. Сколько детей занимается в секции?
№4. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?
№5. До полной готовности пирога осталось поставить его в духовку ровно на 9 минут. Как
нашей кулинарке отсчитать требуемые минуты, если она (чудачка!) не признает иных часов,
кроме песочных? В ее распоряжении песочные часы на 4 минуты и на 7 минут( никаких
делений в таких часах нет).
8 класс
№1. Решите уравнение
х2 −4
х−2
= 2х
№2. Найдите а6+3а2в2+в6, если а2+в2=1.
№3. Винни-Пух и Пятачок одновременно пошли друг к другу в гости по одной тропинке. По
пути Пух так увлекся сочинением «шумелки», а пятачок счетом ворон, что они не заметили
друг друга. Известно, что до встречи Пух шел 3 минуты, а после встречи – 2 минуты (до
дома Пятачка). Сколько времени после встречи шел пятачок (до дома Винни-Пуха)?
№4. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников в четверо больше, чем
одноклассниц. А у жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя:
девочка или мальчик7
№5. Веревку сложили пополам, потом еще раз пополам, потом еще пополам, а затем
разрезали в каком-то месте. Какова может быть длина веревки, если известно, что какие-то
два из получившихся кусков имеют длины 9м и4м?
9 класс
№1. Чему равны значения p и q, если уравнение х2 + pх + q = 0 имеет корни 4p и
№2. Сколько натуральных решений имеет неравенство х +
q
?
4
8
≤6?
х
№3. Сколько квадратных сантиметров занимает рамка, рассчитанная на фотографию 9 х 13
см, если ее ширина равна 2 см?
№4. Решите уравнение
х  49 х  50
49
50



50
49
х  50 х  49
№5. Равнобокая трапеция АВСD разбивается диагональю АС на два равнобедренных
треугольника. Найдите углы трапеции.
10 класс
№1. Пункты А и В расположены на прямолинейной магистрали, на расстоянии 9 км друг от
друга. Из пункта А в пункт В выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью
40 км/ч. Одновременно из пункта В в том же направлении с постоянным ускорением
32 км/ч2 выходит мотоцикл. Найдите наибольшее расстояние между автомашиной и
мтоциклом в течение первых двух часов.
№2. Составьте две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из 4 членов; при
этом, если сложить одноименные члены этих прогрессий, то получатся числа 27, 27, 39,87.
№3. Решите уравнение: √х − 2 + √2х − 5+√х + 2 + 3√2х − 5=7√2.
№4. Биссектриса разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Найти углы
исходного треугольника.
№5. Решите уравнение в действительных числах: х6+х5+х4+х3+х2+х+1=0
11 класс
№1. Разделить фигуру на две одинаковых
№2. Найдите такие два числа, что при умножении первого на 2 получится квадрат второго, а
при умножении первого на 3 — куб второго.
№3. Найти минимальное значение функции f(x) = (x + 1/x)4 + (x2 + 1/x 2)4 + … + (x10 +1/x10)4
№4. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр.
Отрезок этого перпендикуляра, заключенный внутри треугольника равен 3 см, а вне
треугольника (до пересечения с продолжением другого катета) 9 см. Найти длину
гипотенузы.
№5. При каком значении параметра а данное уравнение имеет единственное решение:
(11х – 40)2 – 8 = 32а