ФУНКЦИИ, ГРАФИКИ, МОДУЛЬ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ Методическая работа по теме:

ФГКОУ Санкт-Петербургский кадетский корпус
Министерства обороны РФ
Методическая работа по теме:
ФУНКЦИИ, ГРАФИКИ, МОДУЛЬ НА
ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ
Преподаватель математики: А.А. Дегтерева
Предлагаемая в настоящей работе тема очень важна, во-первых,
потому, что задачи, связанные с построением графиков функции,
содержащих абсолютную величину, часто встречаются на математических
олимпиадах и на выпускных экзаменах по математике, и, во-вторых, потому,
что эта тема связана практически со всеми разделами школьной программы
и особенно удобна при повторении и углублённом изучении математики. В
работе рассматриваются приёмы построения графиков функции,
аналитическое выражение которых содержит знак модуля. В практической
части приводятся примеры построения графиков указанного вида,
построение на плоскости множеств точек, координаты которых
удовлетворяют уравнениям, содержащим знак модуля.
Задачи и Цели курса:
- Показать, как, зная график простейшей функции, можно составить и
строить графики более сложных функций.
- Подготовка к математическим олимпиадам и успешной сдачи выпускных
экзаменов.
2
ЗАНЯТИЕ №1
Тема: ФУНКЦИЯ
Цель: Провести повторение понятия функции и на основании этого дать
корректное определение. ПОРАБОТАТЬ НАД ЭТИМ ПОНЯТИЕМ. Повторить
определение модуля. Рассмотреть построение графика функции вида 𝒚 =
|𝒙 − 𝒂| + 𝒃, где 𝒂, 𝒃– любые действительные числа.
Прежде, чем дать точное определение функции, поговорим немного
об этом понятии. Описательно говоря, функция – это когда каждому
значению некоторой величины, которую математически называют
аргументом и обозначают обычно буквой 𝒙, отвечает значение другой
величины 𝒚называемой функцией.
Так, например, величина смещения земной поверхности при
землетрясении в каждый момент времени имеет определённое значение –
величина смещения есть функция времени. Сила тока в полупроводниковом
элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения
соответствует определённое значение силы тока.
Таких примеров можно привести очень много: высота, на которую
поднимается брошенный вертикально вверх камень, есть функция его
начальной скорости и т.д. Есть одно существенное замечание. Когда говорят,
что величина𝒚есть функция величины𝒙, то прежде всего указывают, какие
значения может принимать 𝒙. Эти «разрешённые» значения аргумента 𝒙
называют допустимыми значениями, а множество допустимых значений
величины 𝒙 называется областью определения функции. Например, если
мы говорим, что объём шара есть функция его радиуса, то областью
𝟒
определения функции 𝑽 = 𝝅𝑹𝟑 будут все числа, больше нуля, поскольку
𝟑
величина 𝑅 радиуса шара может быть только положительным числом.
Всегда, когда задаётся функция, необходимо указать её область
определения. Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция:
Мы говорим, что у нас есть функция величины 𝑥, если:
1) Указано, какие значения 𝑥 являются допустимыми, т.е. задана область
определения.
2) Каждому допустимому значению 𝑥 соответствует в точности одно
значение величины 𝑦.
3
Коротко вместо слов «величина 𝑦есть функция величины 𝑥»
записывают: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Например,
𝑥 2 , если 𝑥 < 0
𝐹(𝑥) = {1 − 𝑥, если 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
3, если 𝑥 > 1
Всё, что сейчас было произнесено – вам известно. Теперь проверим
насколько хорошо и осознанно вами усвоено понятие функции.
ЗАДАНИЕ №1
Является ли данная запись возможной и правильной для записи функции:
2𝑥 − 3, если 𝑥 ≤ 1
1) 𝑦 = {
√𝑥, если 𝑥 ≥ 1
(нет, т.к. в точке 𝑥 = 1 𝑦 принимает два значения: -1 и 1)
3𝑥 − 2, если 𝑥 ≤ 1
2) 𝑦 = {
√𝑥, если 𝑥 ≥ 1
(да, О.О. – все действительные числа; в точке 𝑥 = 1 𝑦 = 1)
1 + 𝑥, если 𝑥 ≥ 1
3) 𝑦 = { 2
𝑥 , если 𝑥 ≤ −1
(да, О.О.: 𝑥 ≥ 1 и 𝑥 ≤ −1;
в каждой точке 𝑥𝑦 принимает единственое значение)
4) 𝑦 = {√𝑥, если 𝑥 ≥ −1
2𝑥, если 𝑥 ≤ 0
(нет, 𝑦 не существует в точке 𝑥 = −1)
𝑥, если 𝑥 ≥ −1
5) 𝑦 = {√ 2
𝑥 , если 𝑥 ≤ 0
(нет, та же ситуация, что и в предыдущем пункте)
10𝑥 − 4, если 𝑥 > 1 или 𝑥 < 1
4, если 𝑥 = 1
(да, каждой точке 𝑥 соответствует единственное𝑦)
6) 𝑦 = {
4
ЗАДАНИЕ №2
Построение кусочных функций
Постройте график функции. Укажите область определения и множество
значений этой функции.
2
, если 𝑥 > 0
1) 𝑦 = { 𝑥−2
𝑥 2 − 1, если 𝑥 ≤ 0
1
, если 𝑥 > 0
2) 𝑦 = { 𝑥
√𝑥 + 4, если 𝑥 ≤ 0
4
, если 𝑥 ≤ 1
3) 𝑦 = { 3−𝑥
2 − 𝑥 2 , если 𝑥 > 1
5
𝟒)𝑦 = {
1+
6
𝑥+2
2
, если 𝑥 < 0
4 − 𝑥 , если 𝑥 ≥ 0
1
, если 𝑥 ≤ 0
𝟓)𝑦 = {
𝑥+1
√𝑥 − 4, если 𝑥 > 0
−1 +
𝑥+7
, если 𝑥 ≤ −1
𝟔)𝑦 = { 𝑥 + 4
√𝑥 + 5, если 𝑥 > −1
𝑥+7
3
= 1+
𝑥+4
𝑥+4
6
𝑥
𝟕)𝑦 = {
𝑥−3
, если 𝑥 ≥ 0
√−𝑥, если 𝑥 < 0
𝑥
3
=1+
𝑥−3
𝑥−3
Внимание на доску, вы видите здесь следующую запись:
𝒚 = |𝑭(𝒙)|, где 𝑭(𝒙)– любая функция, зависимая от переменной х.
Попробуем избавиться от модуля.
𝑭(𝒙), если 𝑭(𝒙) ≥ 𝟎
По свойству модуля: 𝒚 = |𝑭(𝒙)| = {
−𝑭(𝒙), если 𝑭(𝒙) < 0
Поэтому график функции 𝒚 = |𝑭(𝒙)|совпадает с графиком
функции𝒚 = 𝑭(𝒙)на тех промежутках, где 𝑭(𝒙) ≥ 𝟎, а на тех промежутках,
где 𝑭(𝒙) < 0, график функции 𝒚 = |𝑭(𝒙)|, получается из графика функции
𝒚 = 𝑭(𝒙) с помощью симметрии относительно осиОх.
ЗАДАНИЕ №3
По графику функции𝒚 = 𝒇(𝒙)построить график функции 𝒚 = |𝒇(𝒙)|.
Ответ:
7
Вывод: Этапы построения графика функции𝑦 = |𝑓(𝑥)|
1) Построить график функции𝑦 = 𝑓(𝑥)
2) Построить график функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, для чего надо участки графика
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащего ниже оси, симметрично отразить
относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.
ЗАДАНИЕ №4
Построить график функции
1) 𝑦 = |𝑥|
Если воспользоваться определением
модуля, то получим:
𝑥, если 𝑥 ≥ 0
𝑦={
−𝑥, если 𝑥 < 0
Вывод: график 𝑦 = |𝑥| получается из
графика 𝑦 = 𝑥отражением нижней части
вверх.
2) 𝑦 = |−𝑥|
По свойству модуля |𝑥| = |−𝑥|, следовательно график аналогичен первому.
3) 𝑦 = |𝑥| + 1
Этапы:
1. 𝑦 = |𝑥|
2. 𝑦 = |𝑥| + 1 (параллельный
перенос графика 1 вдоль
оси Оу на одну единицу
вверх)
8
4) 𝑦 = |𝑥 − 3|
Этапы:
1. 𝑦 = |𝑥|
2. 𝑦 = |𝑥 − 3|
(параллельный
перенос графика вдоль оси Ох
на 3 единицы вправо)
5) 𝑦 = |𝑥 + 2| + 2
Этапы:
1. 𝑦 = |𝑥|
2. 𝑦 = |𝑥 + 2|
(параллельный
перенос вдоль оси Ох на 2
единицы влево)
3. 𝑦 = |𝑥 + 2| + 2 (параллельный
перенос графика вдоль оси Оу
на 2 единицы вверх)
Домашняя работа:
1) Построить график функции 𝑦 = |𝑥 − 2| − 4
2) Зная график функции𝑦 = 𝑓(𝑥)постройте
а) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 3
б) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1)
в) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) + 1
9
ЗАНЯТИЕ №2
Цель:ЗАКРЕПЛЕНИЕ НАВЫКОВ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ𝑦 = |𝑓(𝑥)|.
ЗАДАНИЕ №1
Постройте графики функции
а)𝑦 = |||𝑥| + 1| − 2|
Этапы:
1)
2)
3)
4)
𝑦 = |𝑥|
𝑦 = |𝑥| + 1
𝑦 = ||𝑥| + 1|
𝑦 = ||𝑥| + 1|-2
5) 𝑦 = |||𝑥| + 1| − 2|
Примечание:
обратить
внимание на то, что второй и
третий пункты в данном
случае совпадают.
б)𝑦 = ||||𝑥| − 1| − 2| − 3|
1)
2)
3)
4)
𝑦 = |𝑥|
𝑦 = |𝑥| − 1
𝑦 = ||𝑥| − 1|
𝑦 = ||𝑥| − 1| − 2
5) 𝑦 = |||𝑥| − 1| − 2|
6) 𝑦 = |||𝑥| − 1| − 2|-3
1-3
7) 𝑦 = ||||𝑥| − 1| − 2| − 3|
10
6-7
4-5
1-3
в) 𝑦 = |2 − |1 − |𝑥|||
𝑦 = ||1 − |𝑥|| − 2| = |||𝑥| − 1| − 2|
1) 𝑦 = |𝑥|
2) 𝑦 = |𝑥| − 1
3) 𝑦 = ||𝑥| − 1|
4) 𝑦 = ||𝑥| − 1| − 2
5) 𝑦 = |||𝑥| − 1| − 2|
4-5
11
ЗАДАНИЕ №2
При каких значениях параметра aуравнение ||||𝒙| − 𝟏| − 𝟐| − 𝟑| = 𝒂 имеет
наибольшее количество решений? Наименьшее количество решений?
Давайте посмотрим на график этого уравнения в осях х и а. Мы
получим тоже самое, что в первом задании сегодняшнего занятия под
пунктом в).
Для того, чтобы определить количество решений уравнения в
зависимости от а, проведём различные прямые а=с (где с – произвольная
константа) и посмотрим в скольких точках эти прямые пересекают
построенный график.
Приа<0 нет точек пересечения, следовательно, уравнение не имеет
решений.
Приа=02 решения.
При 0<a<1 4 решения.
Приа=1 6 решений.
При 1<a<3 8 решений.
Приа=3 5 решений.
Приа>3 2 решения.
Ответ: При 1<a<3 уравнение имеет наибольшее количество решений: 8
При а=0 и а>3 уравнение имеет наименьшее количество решений.
12
ЗАДАНИЕ №3
При каких значениях параметра b
1
1
уравнение имеет максимальное
1
1
количество решений𝑏 = |||||𝑥| − | − | − | − |
3
6
12
24
13
ЗАНЯТИЕ №3
Тема: ЗАДАНИЕ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ
Цель: Закрепление навыков построения графиков функции, содержащих
знак модуля. Сформировать навыки построения геометрических мест точек,
координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Расширение знаний: - геометрическое место точек
- правила быстрого построения графика
уравнений|𝑔(𝑥, 𝑦)| = 𝑓(𝑥, 𝑦) и |𝑔(𝑥, 𝑦)| = |𝑓(𝑥, 𝑦)|.
1. Небольшая проверочная работа.
Вариант 1:
При каких значениях параметра a уравнение имеет не более трёх решений
1 + 𝑎 = ||𝑥 − 1| − 2|.
Решение:
1-3
𝑎 = ||𝑥 − 1| − 2| − 1
1)
2)
3)
4)
𝑎 = |𝑥 − 1|
𝑎 = |𝑥 − 1| − 2
𝑎 = ||𝑥 − 1| − 2|
𝑎 = ||𝑥 − 1| − 2| − 1
4
При а<-1 нет решений
14
При а=-1 два решения
При -1<a<1 четыре решения
При а=1 три решения
При а>1 два решения.
Ответ: При 𝑎 = −1 и 𝑎 ≥ 1 уравнение имеет не более трёх решений.
Вариант 2:
При каких значениях b уравнение имеет не менее одного решения 𝑏 − 1 =
||𝑥 + 2| − 3|.
Решение:𝑏 = ||𝑥 + 2| − 3| + 1
1)
2)
3)
4)
𝑏 = |𝑥 + 2|
𝑏 = |𝑥 + 2| − 3
𝑏 = ||𝑥 + 2| − 3|
𝑏 = ||𝑥 + 2| − 3| + 1
1-3
4
При b<1 нет решения
При b=1 два решения
При 1<b<4 четыре решения
При b=4 три решения
15
При b>4 два решения
Ответ: При 𝑏 ≥ 1 уравнение имеет не менее одного решения.
Проверка непосредственно на уроке. Даётся 15 минут.
Построение множества точек, удовлетворяющих уравнению
|𝒈(𝒙, 𝒚)| = |𝒇(𝒙, 𝒚)|. Оно равносильно следующей совокупности:
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒈(𝒙, 𝒚)
|𝒈(𝒙, 𝒚)| = |𝒇(𝒙, 𝒚)| ↔ [
𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝒈(𝒙, 𝒚)
Построение множества точек, удовлетворяющих уравнению |𝒈(𝒙, 𝒚)| =
𝒇(𝒙, 𝒚). Оно равносильно следующей системе:
𝒇(𝒙, 𝒚) ≥ 𝟎
|𝒈(𝒙, 𝒚)| = 𝒇(𝒙, 𝒚) ⟺ { 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚)
[
𝒈(𝒙, 𝒚) = −𝒇(𝒙, 𝒚)
ЗАДАНИЕ №1
Найти множество точек |𝑦| = |𝑥|
Решение:
𝑦=𝑥
|𝑦| = |𝑥| ⟺ [𝑦 = −𝑥
ЗАДАНИЕ №2
Найти множество точек |𝑦 + 1| =
|𝑥 − 2|.
Решение:
|𝑦 + 1| = |𝑥 − 2|
𝑦+1=𝑥−2
𝑦 + 1 = −𝑥 + 2
𝑦 =𝑥−3
⟺[
𝑦 = −𝑥 + 1
⟺[
16
ЗАДАНИЕ №3
Найти множество точек |3𝑦 + 2𝑥 − 2| = |𝑥 − 𝑦 + 3|.
Решение:
|3𝑦 + 2𝑥 − 2| = |𝑥 − 𝑦 + 3| ⟺ [
5
3𝑦 + 2𝑥 − 2 = 𝑥 − 𝑦 + 3
⇔
3𝑦 + 2𝑥 − 2 = −𝑥 + 𝑦 − 3
𝑥
𝑦= −
4𝑦 = 5 − 𝑥
4
4
⇔[
[
1
3𝑥
2𝑦 = −1 − 3𝑥
𝑦=− −
2
2
ЗАДАНИЕ №4
Построить множество точек,
удовлетворяющих
уравнению
|𝑦| = 𝑥.
Решение:
𝑥≥0
|𝑦| = 𝑥 ⇔ { 𝑦 = 𝑥
[𝑦 = −𝑥
17
ЗАДАНИЕ №5
Построить множество точек,
удовлетворяющих
уравнению |𝑦 + 𝑥| = 𝑦.
Решение:
𝑦≥0
𝑦
=𝑦+𝑥
|𝑦 + 𝑥| = 𝑦 ⟺ {
[−𝑦 = 𝑦 + 𝑥
𝑦≥0
⟺ { 𝑥 = 0𝑥
[𝑦 = −
2
Домашнее задание: построить множество точек, удовлетворяющих
уравнению |𝑦| = |1 − 𝑥|
Решение:
𝑦 =1−𝑥
|𝑦| = |1 − 𝑥| ⟺ [
𝑦 =𝑥−1
18
ЗАНЯТИЕ №4
Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА 𝒚 = 𝒇(|𝒙|).
Цель: Сформировать навыки и правила быстрого построения графика
функции вида 𝑦 = 𝑓(|𝑥|).
ЗАДАНИЕ №1
Построить график функции 𝑦 =
√|𝑥|.
Решение:
По свойству модуля получаем:
при 𝑥 < 0 𝑦 = √−𝑥
при 𝑥 ≥ 0 𝑦 = √𝑥
Заметим, что достаточно было построить часть графика: для 𝑥 ≥ 0 вторая часть получается отражением первой от оси Оу, так как для любого х в
данном случае 𝑦(𝑥) = 𝑦(−𝑥).
Обобщим нашу задачу: По известному графику 𝑦 = 𝑓(|𝑥|).
Если 𝒙 ≥ 𝟎, то |𝒙| = 𝒙, поэтому 𝒇(|𝒙|) = 𝒇(𝒙), т.е. при𝒙 ≥ 𝟎
Графики функций 𝒚 = 𝒇(|𝒙|) и𝒚 = 𝒇(𝒙)совпадают. Кроме того, 𝒇(|𝒙|) =
𝒇(|−𝒙|), так как |𝒙| = |−𝒙|, следовательно, её график при 𝑥 < 0
симметричен относительно оси Оу графику этой функции при 𝑥 ≥ 0.
Другими словами, для построения графика функции 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) надо
построить график функции𝑦 = 𝑓(𝑥), затем оставить только его часть,
лежащую справа от оси Оу, и отобразить эту часть симметрично той же оси.
ЗАДАНИЕ №2
Построить график функции 𝑦 = |𝑥| − 3.
Можно
построить,
используя
преобразования,
воспользоваться предыдущим обобщением, что и сделаем.
19
а
можно
Решение:
1) Строим график функции 𝑦 = 𝑥 − 3.
2) Отражаем часть графика при 𝑥 ≥ 0 относительно оси Оу.
ЗАДАНИЕ №3
Построить график
1
функции 𝑦 = |𝑥|.
ЗАДАНИЕ №4
Постройте график функции
1
𝑦 = (|𝑥|−1).
20
ЗАДАНИЕ №5
Постройте график
1
функции 𝑦 = (|𝑥|+2).
ЗАДАНИЕ №6
𝑥
Постройте график функции 𝑦 = (|𝑥|−1).
Необходимо заметить, что 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥). Следовательно, к
перечисленным в обобщённой задаче этапах построения добавляется ещё и
третий этап. У нас получается:
1) Построение графика
𝑥
функции 𝑦 = (𝑥−1).
2) Оставляем
часть
графика,
лежащую
справа от оси Оу, и
отображаем эту часть
симметрично той же
оси.
3) Отражаем
часть
полученного графика,
лежащую слева от оси
Оу, симметрично оси
Ох.
𝑦=
𝑥
1
=1+
(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
21
Домашнее задание: постройте график функции 𝑦 = |
𝑦=
2𝑥+3
𝑥+1
=2+
1
2𝑥+3
𝑥+1
|
.
𝑥+1
22
ЗАНЯТИЕ №5
Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ 𝒚 = 𝒇(|𝒙 − 𝒂|) и 𝒚 = |𝒇|𝒙||
Цель: Сформировать навыки быстрого построения графиков функции 𝑦 =
𝑓(|𝑥 − 𝑎|) и 𝑦 = |𝑓|𝑥||.
ЗАДАНИЕ №1
Построить график функции 𝑦 = √|𝑥 − 1|.
На предыдущем занятии мы с вами строили график функции 𝑦 = √|𝑥|.
Он оказался симметричным относительно оси Оу. Заметим, что в нашем
случае график будет симметричен относительно прямой 𝑥 = 1.
Итак, чтобы построить график функции 𝑦 = √|𝑥 − 1|надо:
1) Построить график функции 𝑦 = √𝑥 − 1 для 𝑥 ≥ 1
2) Отразить полученный график симметрично относительно прямой 𝑥 = 1.
ЗАДАНИЕ №2
Построить график функции
𝑦 = √|𝑥 + 3|.
23
ЗАДАНИЕ №3
Построить график функции 𝑦 = 2 − √|𝑥| − 3.
Этапы построения:
1) 𝑦 = 2 − √𝑥 − 3 = −(√𝑥 − 3 − 2)
2) 𝑦 = 2 − √|𝑥| − 3
ЗАДАНИЕ №4
Построить график функции 𝑦 = |2 − √|𝑥| − 3|
Этапы построения:
1) 𝑦 = 2 − √|𝑥| − 3
1) 𝑦 = |2 − √|𝑥| − 3|
24
ЗАДАНИЕ №5
Построить график функции 𝑦 = 2 − √|𝑥 − 3|
ЗАДАНИЕ №6
Построить график функции 𝑦 = |2 − √|𝑥 − 3||
Этапы построения:
1) 𝑦 = 2 − √|𝑥 − 3|
2) 𝑦 = |2 − √|𝑥 − 3||
25
ЗАДАНИЕ№7
Построить график функции
𝑦=
|𝑥|
𝑥
.
𝑥
При 𝑥 > 0
𝑦= =1
При 𝑥 < 0
𝑦=
𝑥
−𝑥
𝑥
= −1
Область определения
𝑥𝜖𝑅\{0}
ЗАДАНИЕ №8
Постройте график функции 𝑦 =
При 𝑥 > 0
𝑦=
При 𝑥 < 0
𝑦=
(𝑥−3)𝑥
𝑥
(𝑥−3)𝑥
(−𝑥)
(𝑥−3)𝑥
|𝑥|
.
=𝑥−3
= −𝑥 + 3
26
ЗАНЯТИЕ №6
Тема: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ ВИДА𝒚 = √𝒇𝟐 (𝒙)
Цель: научиться строить графики функции вида 𝑦 = √𝑓 2 (𝑥).
ЗАДАНИЕ №1
Построить множество точек, удовлетворяющих следующему уравнению 𝒚 +
|𝒚| = 𝒙.
Если 𝑦 ≥ 0, то |𝑦| = 𝑦. Следовательно, 𝑦 + |𝑦| = 𝑦 + 𝑦 = 2𝑦 ⟹ 2𝑦 = 𝑥 ⇒
𝑥
𝑦= .
2
Если 𝑦 < 0, то |𝑦| = −𝑦.
Следовательно, 𝑦 + |𝑦| =
𝑦 − 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 0.
ЗАДАНИЕ №2
Построить множество точек, удовлетворяющих уравнению 𝒚 = 𝒙|𝒚|.
𝑦
1) При 𝑦 ≠ 0 𝑥 = |𝑦|
а) если 𝑦 > 0, то 𝑥 =
б) если 𝑦 < 0, то 𝑥 =
𝑦
𝑦
=1
𝑦
−𝑦
=
−1
2) При 𝑦 = 0 𝑥 −
любое число
Итак, 𝑥 =
любое, если 𝑦 = 0
[ 1, если 𝑦 > 0
−1, если 𝑦 < 0
27
ЗАДАНИЕ №3
Построить график функции
𝒚 = √𝒙𝟐 + 𝒙.
𝑦 = √𝑥 2 + 𝑥 = |𝑥| + 𝑥
𝑦=[
2𝑥, 𝑥 ≥ 0
0, 𝑥 < 0
ЗАДАНИЕ №4
Построить график функции 𝒚 =
√𝒙𝟐 − 𝒙.
𝑦 = √𝑥 2 − 𝑥 = |𝑥| − 𝑥
0, 𝑥 ≥ 0
𝑦=[
−2𝑥, 𝑥 < 0
ЗАДАНИЕ №5
Построить график функции 𝒚 = √(𝒙 + 𝟏)𝟐 + √(𝒙 − 𝟏)𝟐.
𝑦 = √(𝑥 + 1)2 + √(𝑥 − 1)2 = |𝑥 + 1| + |𝑥 − 1|
1) 𝑥 ≤ −1 ⟹ 𝑦 = −𝑥 − 1 − 𝑥 + 1 = −2𝑥
2) −1 < 𝑥 < 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 = 2
3) 𝑥 ≥ 1 ⟹ 𝑦 = 𝑥 + 1 + 𝑥 − 1 = 2𝑥
−2𝑥, 𝑥 ≤ −1
𝑦 = [2, − 1 < 𝑥 < 1
2𝑥, 𝑥 ≥ 1
28
ЗАДАНИЕ №6
Построить график функции 𝒚 = √(𝟑 − 𝒙)𝟐 + √(𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟑)𝟐.
𝑦 = √(3 − 𝑥)2 + √(0,5𝑥 + 3)2 = |3 − 𝑥| + |0,5𝑥 + 3|
1) 𝑥 ≤ −6 ⟹ 𝑦 = 3 − 𝑥 − 0,5𝑥 − 3 = −1,5𝑥
2) −6 < 𝑥 < 3 ⇒ 𝑦 = 3 − 𝑥 + 0,5𝑥 + 3 = 6 − 0,5𝑥
3) 𝑥 ≥ 3 ⟹ 𝑦 = −3 + 𝑥 + 0,5𝑥 + 3 = 1,5𝑥
−1,5𝑥, 𝑥 ≤ −6
𝑦 = [6 − 0,5𝑥,
−6 < 𝑥 < 3
1,5𝑥, 𝑥 ≥ 3
ЗАДАНИЕ №7
Построить график функции𝒚 =
√(𝒙−𝟏)𝟐
(𝒙−𝟏)
.
√(𝑥 − 1)2 |𝑥 − 1|
𝑦=
=
(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
ОДЗ: 𝑥 ≠ 1
1) 𝑥 < 1 ⇒ 𝑦 =
−(𝑥−1)
(𝑥−1)
=
−1
(𝑥−1)
2) 𝑥 > 1 ⇒ 𝑦 = (𝑥−1) = 1
𝑦=[
−1, 𝑥 < 1
1, 𝑥 > 1
ЗАДАНИЕ №8
𝟏
Построить график функции 𝒚 = 𝒇 (𝒇(𝒇(𝒙))), если 𝒇(𝒙) = (𝟏−𝒙).
29
ЗАНЯТИЕ №7
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: Проверка усвоения знаний, полученных в ходе факультативных
занятий по теме «Функции. График. Модуль.»
Критерий оценки: 5задач – 5
4 задачи – 4
3 задачи – 3
в журнале будут выставлены только положительные оценки.
Вариант 1
№1
При каких значениях параметра а
Вариант 2
№1
При каких значениях параметра 𝑏
уравнение ||||𝑥| + 2| − 3| − 1| = 𝑎
уравнение ||||𝑥| − 3| + 2| − 5| = 𝑏
имеет наименьшее количество
решений.
имеет наибольшее количество
решений.
№2
Построить график функции
|𝑥| − 3
𝑦=
.
|𝑥| − 1
№2
Построить график функции
−|𝑥| − 2
𝑦=
.
|𝑥| + 3
№3
Изобразить на плоскости множество
точек, удовлетворяющих уравнению
|𝑦| = √𝑥.
№3
Изобразить на плоскости множество
точек, удовлетворяющих уравнению
|𝑦| = √−𝑥.
№4
Построить график функции
𝑦 = √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + √𝑥 2 − 6𝑥 + 9.
И доказать, что при −3 ≤ 𝑥 ≤ 3
функция линейная.
№4
Построить график функции
𝑦 = √𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + √𝑥 2 − 4𝑥 + 4.
И доказать, что при 𝑥 < −2 функция
линейная.
№5
Построить график функции
|𝑥 − 1|
𝑦= 2
.
𝑥 −1
№5
Построить график функции
|𝑥 + 1|
𝑦= 2
.
𝑥 −1
30
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
Задание №1
При каких значениях параметра а
уравнение ||||𝑥| + 2| − 3| − 1| = 𝑎
имеет наименьшее количество
решений.
Этапы:
1. 𝑎 = ||𝑥| + 2|
2. 𝑎 = ||𝑥| + 2| − 3
1
3. 𝑎 = |||𝑥| + 2| − 3|
4. 𝑎 = |||𝑥| + 2| − 3| − 1
5. 𝑎 = ||||𝑥| + 2| − 3| − 1|
4-5
2-3
Ответ: При 𝑎 > 2 уравнение имеет наименьшее количество решений.
31
Задание №2
|𝑥|−3
Построить график функции𝑦 = |𝑥|−1.
|𝑥|−3
2
𝑦 = |𝑥|−1 = 1 − (|𝑥|−1)
Задание №3
Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению
|𝑦| = √𝑥.
32
Задание №4
Построить график функции 𝑦 = √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + √𝑥 2 − 6𝑥 + 9.
И доказать, что при −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 функция линейная.
𝑦 = √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + √𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = |𝑥 + 3| + |𝑥 − 3|
−2𝑥, 𝑥 < −3
𝑦 = [6, − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3
2𝑥, 𝑥 > 3
Задание №5
Построить график функции 𝑦 =
|𝑥−1|
𝑥 2 −1
.
1
, 𝑥>1
(𝑥 + 1)
𝑦=
−1
, 𝑥<1
[(𝑥 + 1)
33
Вариант 2
Задание №1
При каких значениях параметра 𝑏 уравнение ||||𝑥| − 3| + 2| − 5| = 𝑏 имеет
наибольшее количество
решений.
Этапы:
1. 𝑏 = |𝑥| − 3
2. 𝑏 = ||𝑥| − 3|
1-2
3. 𝑏 = |||𝑥 | − 3| + 2|
4. 𝑏 = |||𝑥| − 3| + 2| − 5
5. 𝑎 = ||||𝑥| − 3| + 2| − 5|
3-4
5
Ответ:
При
0<𝑏<3
уравнение имеет наибольшее
количество решений.
34
Задание №2
Построить график функции𝑦 =
𝑦=
−|𝑥|−2
|𝑥|+3
.
−|𝑥| − 2
1
= −1 +
|𝑥| + 3
(|𝑥| + 3)
Задание №3
Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению
|𝑦| = √−𝑥.
35
Задание №4
Построить график функции 𝑦 = √𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + √𝑥 2 − 4𝑥 + 4.
И доказать, что при 𝑥 < −2 функция
линейная.
𝑦 = √𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + √𝑥 2 − 4𝑥 + 4
= |𝑥 + 2| + |𝑥 − 2|
−2𝑥, 𝑥 < −2
𝑦 = [4, − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
2𝑥, 𝑥 > 2
Задание №5
Построить график функции𝑦 =
1
𝑦=
(𝑥−1)
[ −1
(𝑥−1)
|𝑥+1|
𝑥 2 −1
.
, 𝑥 > −1
, 𝑥 < −1
36
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра 8. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Учебник для
общеобразовательных учреждений и школ с углубленным изучением
математики. — 9-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 2010. — 303 с.
2. Алгебра 8. Мордкович А.Г. и др. Учебник и задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений. – 12-е изд., исп. и доп. – М.:
Мнемозина, 2010. – 271с.
3. Галицкий М.Л., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре (Учебное
пособие для 8-9 классов с углублённым изучением математики). – М.:
«Просвещение», 2001. – 271с.
4. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., ШнольЭ.Э. Функции и графики
(основные приёмы). – М.: МЦНМО, 2006. – 120 с.
5. Лаврентьева О. Изучаем тему «Модуль числа»/ Статья в газете
«Математика», 1996г, №12.
6. Коршунова Е. Модуль и квадратичная функция/ Статья в газете
«Математика», 1998г, №7.
7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.. Алгебра 8. Дополнительные главы к
школьному учебнику. - М. «Просвещение», 2001г. – 188 с.
37