Тема 2. Множества и операции над ними

ТЕМА 2. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на
примерах. Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о
множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о
множестве людей на планете, о множестве людей в Европе, о
множестве климатических зон, о множестве точек на прямой, о
множестве натуральных чисел и т.п.
Объекты, из которых состоит множество, называются его
элементами.
Если в множестве A имеется элемент х, то пишут x  A и
говорят, что элемент х входит в множество A (принадлежит
множеству A , содержится в множестве A ) или что множество A
содержит элемент х.
Если элемент х в множество A не входит, то пишут x  A .
Множества бывают конечные; бесконечные и пустые.
Множество называется конечным, если в нем содержится
конечное число элементов.
Например, множество рек в России конечно, множество пустынь
на Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного
элемента.
Например, множество гор в Новосибирской области, высота
которых более 5000 м., пустое.
Множество, которое не является ни конечным, ни пустым,
называется бесконечным.
Например, множество натуральных чисел бесконечно,
множество точек на окружности бесконечно и т. д.
Задать множество, это значит указать необходимое и
достаточное условие попадания элемента в данное множество.
Другими словами, указать набор признаков, по которым для
любого объекта мы можем сказать, является этот объект элементом
данного множества или не является.
1
Если множество конечное и все его элементы известны, то
говорят, что множество задано перечислением своих элементов.
При этом, если множество A состоит из элементов a , b , c , то
пишут:
A  a, b, c .
Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его
элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания
характеристического свойства элементов этого множества.
Характеристическим свойством элементов данного множества
называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в
данное множество, выраженное словесно или с помощью
математических символов.
Например: A   |   R,   1 читаем: множество A из таких
элементов  , которые являются вещественными числами, большими
или равными 1. Характеристическое свойство элементов, входящих в
множество A состоит из трёх положений:
1. объект должен быть числом,
2. объект должен быть вещественным числом,
3. объект должен быть вещественным числом, большим или
равным единицы.
Элемент  , который фигурирует в записи этого множества,
называют текущим элементом множества A .
Пустые множества обозначают символом  .
При
задании
множества
учитываются
следующие
договорённости:
1. При записи множества порядок символов, обозначающих элемент
данного множества не существенен. Т. е., если множество A
состоит из трёх элементов, обозначенных символами a , b , c , то мы
можем записать A  a; b; c , а можем записать A  c; a; b . Заметим,
всего видов записи множества A , состоящего из трёх элементов a ;
b ; c шесть штук.
2. Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух
разных элементов. Т. е., если один из элементов множества
обозначен символом а, то второй элемент символом, а обозначить
нельзя. Нужно применить другой символ, например, a1 .
2
3. Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и
того же элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать
вывод, что если мы имеем запись A  a; b; c , то это значит, что в
множестве A имеется в точности три различных элемента, а если
мы имеем запись A  a; a; b , то это не запись множества.
4. Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно
для рассуждений.
Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не
лишаемся его в множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы
его можем вынимать столько раз, сколько нам требуется для
рассуждений.
Пусть даны множества A и B . При этом мы не указываем, какие
это множества – конечные, бесконечные или пустые. Если каждый
элемент множества A является элементом множества B , т. е.
x ( x  A  x  B)
то говорят, что множество A есть подмножество множества B , и
пишут A  B . При этом говорят, что множество B есть подмножество
множества A , и пишут B  A.
По определению   B и B  B . Другими словами, у непустого
множества всегда есть, по крайней мере, два подмножества  и B .
Эти подмножества называются несобственными подмножествами
(тривиальными). Все остальные подмножества множества B
называются собственными подмножествами.
Если множество M конечное и состоит из n элементов, то
говорят, что множество M имеет длину n и пишут M  n .
Если M  n , то подмножеств у него 2 n .
Например, если M  a; b; c , т. е. M  3 , то оно имеет 23  8
подмножеств:  , M , M 1  a , M 2  b, M 3  c, M 4  a, b , M 5  a, c,
M 6  b, c . Других подмножеств у множества М нет.
Булеаном множества А называется множество всех его
пожмножеств. Булеан обычно обозначается буквами греческого
алфавита. Например,
3
A  a, b, c   ( A)  , a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c .
Пусть даны множества A и B .
Если A  B и B  A , то множества A и B называются равными.
Другими словами, множества A и B называются равными, если
выполняются следующие условия:
(1) x ( x  A  x  B)
(2) y ( y  B  y  A) .
При этом пишут A  B .
С помощью множеств A и B можно образовать другие
множества.
Объединение множеств A и B называется такое множество C ,
которое состоит из всех элементов множества A и всех элементов
множества B и только из этих элементов.
Объединение множеств A и B обозначается символом A  B .

  x  A

Итак, A  B   x x  A или x  B   x 
.
x

B


 

Например, если A  a; b; c , B  a; c; k , то A  B  a; b; c; k.
Пересечением множеств A и B называется такое множество K ,
которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и
множеству A и множеству B , и только из таких элементов.
Пересечение множеств A и B обозначают символом A  B .

 x  A 

Итак, A  B   x x  A и x  B    x 
.
 x  B 


Например, если A  a; b; c и B  a; c; k , то A  B  a; c .
Разностью множеств A и B называется такое множество M ,
которое состоит из элементов множества A , не входящих в
множество B , и только из этих элементов.
Разность множеств A и B обозначают символом A \ B .

 x  A 

Итак, A \ B   x x  A и x  B    x 
.
 x  B 


Например, если A  a; b; c , B  a; c; k , то A \ B  b , а B \ A  d .
4
В частности, если B  A , то A \ B называют дополнением
множества B до множества A и обозночают символом BA .
Например, если A  a; b; c; d  , B  a; c, то B A  b; d .
Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто
рисуют круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый
круг на рисунке изображает некоторое множество. При этом точки
круга не ассоциируют с элементами множества. Т. е. круг может
соответствовать как конечному множеству, так и бесконечному, так и
пустому. Это изображение аналогично представлению множества в
виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может
содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов,
быть пустым.
Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества,
называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств
с помощью кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.
Рассмотрим некоторые диаграммы Эйлера-Венна:
рис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи
множеств A и B :
1) A  B (рис. 1)
2) A  B (рис. 2 – заштрихованная часть),
3) A  B (рис. 3 – заштрихованная часть),
4) A \ B (рис. 4 – заштрихованная часть).
Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества
одного и того же множества J . Такое множество J называют
универсальным множеством. Понятие универсального множества
относительно. Для каждой задачи оно свое.
Например, если A – множество студентов первого курса
ИФМИЭО, B – множество студентов ИФМИЭО специальности
5
“Информатика”, C – множество спортсменов – студентов НГПУ, D –
множество старост академических групп факультетов и институтов
НГПУ, то в качестве универсального множества J можно взять
множество студентов НГПУ. Если же A – множество рек Сибири, B –
множество озер Европы, C – множество морей, то в качестве
универсального множества можно взять гидросферу Земли. На
диаграмме Эйлера-Венна универсальное множество J изображают в
виде прямоугольника. (рис. 5)
Заметим, дополнение множества
A до универсального множества J
обозначают символом A . Нужно
отметить общепринятые обозначения
некоторых специальных множеств.
N – множество натуральных чисел,
рис. 5
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество вещественных чисел.
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , ( a  b ),
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе:
a; b  ,
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе:
a; b ,
a; b – множество вещественных чисел x таких, что a  x  b , иначе:
a; b  .
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пусть даны два множества A и B . Например, множество A –
множество флаконов духов(10 штук) и множество B – книги (100
штук). С помощью множеств A и B мы можем составить множество
подарков (100 штук), состоящих из двух предметов – духи и книга.
Каждый подарок можно назвать парой. Причем, в этом случае
не важно, какой из этих предметов первый, а какой второй. Если же
мы хотим оформить документально наличие подарков и их
6
содержание, то мы составляем таблицу, в которой содержится
наименование подарка и содержание подарка, причем название
предметов обычно одинаковое. Например, первым идет название
книги, вторым название духов. Итак, мы теперь говорим о паре, в
которой существует порядок следования компонент: на первом месте
название книги, на втором – название духов. В этом случае говорят
об упорядоченной паре.
Пусть теперь даны произвольные множества A и B (не пустые).
Мы можем говорить об упорядоченных парах элементов множеств A
и B таких, у которых первая компонента берется из множества A , а
вторая из множества B . Такие пары мы будем обозначать символом
 x; y  , причем x  A , y  B . На первую компоненту x не накладывается
никаких ограничений, кроме принадлежности множеству A , на
вторую компоненту не накладывается никаких ограничений, кроме
принадлежности множеству B . Множество упорядоченных пар  x; y  ,
где x  A , y  B называют декартовым произведением множеств A и B
и обозначают символом A B . Другими словами A  B  d | d   x, y ,
A  B  C  d | d   x, y, z , x  A, y  B, z  C –
x  A, y  B . Аналогично
декартово произведение трех множеств A , B и С. A1  A2    An 
 d | d   x1 , x2 , , xn , xi  Ai , i  1, 2, , n – декартово произведение n
множеств A1 , A2 ,  , An . Ясно, если множества A и B конечны и A  n
, B  m , то A B тоже конечное, причем A  B  n  m .
Если хотя бы одно из множеств бесконечно, то декартово
произведение A B тоже бесконечное. В частности, можно говорить о
декартовом произведении множества A на себя, т. е. о A A .
Декартово произведение множества A на себя называют декартовым
квадратом множества A и обозначают символом A 2 . Другими
словами, A2  d | d   x, y , x, y  A . Например, если A  a, b , то
A 2  a; a , a; b , b; a , b; b  .
Рассмотрим пример. Точки на плоскости удобно описывать
двумя числами — её координатами. То есть любой точке
плоскости M с координатами xM и yM соответствует упорядоченная
7
пара
 xM , yM  .
Значит, упорядоченные пары вещественных чисел
можно рассматривать как точки на плоскости. Теперь пусть A   a; b
и B   c; d  — два отрезка вещественной прямой.
Тогда их декартовым произведением будет множество точек
плоскости С, которое имеет вид
То есть мы получаем прямоугольник на плоскости.
Действительно, если первые координаты всех входящих в C точек
изменяются от a до b, а вторые — от c до d, то фигура, которую они
образуют, и будет изображённым выше прямоугольником.
8
Задания для аудиторного занятия
1. Изобразите множества с помощью диаграмм Эйлера.
а)  A
B  C; б )  A
в) A B;
г) A B; д)
B  C;
 AB  \ C;
е) B   A\C .
2. Пользуясь диаграммами Эйлера, проверьте истинность равенств:
а) A
 B  A  A; б) A  B  A  B.
в)  A B  C   A C 
3.
Пусть
X  4; 2 ,

B

C




A  x 5 x5
Y  y y 2  2 y 80 ,
и
B  x x 2, x 5 . Убедитесь, что тогда X  Y , X  A , Y  A , B   .
4.
Найдите
X
Y,
X
Y,
X \Y ,
Y \ X; Y, X ,
если
X   1;2    3;4  , Y   0;3,5 .
5. Найдите булеан множества A  1; 2. Сколько элементов он
содержит?
6. Докажите утверждения: а) если A  B , то   A   B ;
б) если A  , B   и A  B   , то A  B    A     B  .
7. Изобразите на плоскости множества A  B , если
а) A   1;2  ,
B  1 ; б) A   ; 2, B  0; 5  10 .
8. Найдите все элементы множества A , если:
9
8


a) A   x  N x 2  3x  4  0; б ) A   x  N  N , x  1;
x


x
12
8



 

в) A   x  Z  N ; г ) A   x  N  N    x  N  Z ;
8
x
x



 

x
x

 

д) A   x  N
 Z    x  N  Z .
12
8

 

9. Найти X

Y; X
Y ; X \ Y ; Y \ X , если



а) X  x  R x 2  x  20 , Y  x  R x 2  x  12  0 ;




б ) X  x  Z x 2  5x  6  0 ; Y  y  R y 2  5  0 .
10. Найти пересечение множеств X и Y, если

a) X   x 


14 x
9 x  30 

;
Y


x 
x 1
x4 


б) X  x 


x2  6x  7

2
; Y  x 
х2  1


10
2

x
x

sin

cos

sin
x



2
 2


х2  x  5  x .
,
Задания для домашней работы
1. Задать перечислением элементов множество делителей числа 36.
Можно ли задать таким образом множество кратных чисел 36?
2. Из каких элементов состоят следующие множества:
а) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1 и 3;
б) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5
причем никакие две цифры не встречаются дважды;
в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5
причем любые две соседние цифры различны;
г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 5.
3. S – множество правильных многоугольников, T – множество
прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и
объединение множеств S и T ? Какие из фигур, изображенных
на рис., принадлежат пересечению множеств S и T , а какие – их
объединению?
4. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B ,
если
а) A   ; 7, В  1;    ;
б) A  3; 7, B  0; 9.
5.
Найти объединение и пересечение множеств X и Y, если

a) X   x 

5x  4 2  x 

; Y  x 
3  x 1 x 


х  14  x  2 ;


х3  8
a) X   x 
 x  2 ; Y   x  3х  5  5  2 х .
x


6. Изобразите на плоскости множества A  B и B  A , если
A   2;2   ; 4  , B  0;   .
11