2. Синтез цифровой системы автоматического управления

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ШОСТКИНСКИЙ ІНСТИТУТ СУМСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО
УНІВЕРСИТЕТУ
кафедра системотехніки та інформаційних технологій
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА
з дисципліни “Оптимальні та адаптивні системи управління”
На тему: “Синтез цифрової системи управління методом ЛАХ”
Варіант №7
Виконав
Группа
Перевірив
Шостка 2014
ПППППППП.
СУ-11Ш
Худолей Г.М.
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Содержание
1. Синтез аналоговой системы автоматического управления методом
логарифмических характеристик........................................................................... 3
2. Синтез цифровой системы автоматического управления методом
логарифмических характеристик........................................................................... 7
3. Литература ........................................................ Error! Bookmark not defined.0
2
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Синтез аналоговой системы автоматического
управления методом логарифмических характеристик
1. Синтез аналоговой системы автоматического управления
Синтез выполним методом Солодовникова, с помощью логарифмических
характеристик.
Для передаточной функции
1
.
𝑠(0.01𝑠 + 1)(0.002𝑠 + 1)
необходимо синтезировать корректирующее устройство для обеспечения
таких показателей качества переходного процесса:
Перерегулирование  = 35%;
Время переходного процесса t,сек  0,5;
Добротность по скорости Dw – 400c-1;
Добротность по ускорению De – 64c-1.
W(s) =
Построим асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику
По формуле 𝜔=1/Т найдем сопрягающие частоты
𝜔1=100 Гц ;
𝜔2=500 Гц.
Точка пересечения с осью L(ω) на частоте 1Гц
20 log(1) = 0 Дб.
Построим ЛАХ непрерывной системы(рис.1). Для этого через точку А
проводим прямую асимптоту с наклоном -20 дБ/дек до первой частоты
сопряжения где наклон увеличивается до -40 дБ/дек, на следующей частоте
наклон становится -60 дБ/дек и уже не меняется
Рисунок 1 –Асимптотическая ЛАХ непрерывной системы
3
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Построение желаемой ЛАХ произведем таким образом
Из точки   D  400 Гц проводим прямую с наклоном –20дб/дек. Проводим
через точку   D  8 Гц прямую с наклоном -40дб/дек. Находим точку
пересечения этих прямых. Это и есть первая сопрягающая частота.
По нормограмамм Солодовникова определяем частоту среза (рис.2)
Рисунок 2 – Нормограмма Солодовникова
По рис.2 аходим точку 5.2 , и теперь можем определить точку среза для
построения жеаемой ЛАЧХ  ср 
5.2
 32.6 Гц . Проводим прямую с наклоном
t
–20дб/дек через  ср до пересечения с прямой -40дб/дек слева. Это вторая
сопрягающая частота. По нормограмамм Солодовникова опеределяем запас
по амплитуде L(Umax)=L(1.4)=11дб (рис.3) и откладываем его до
пересечения с прямой -20дб/дек и получаем третью сопрягающую частоту.
Рисунок 3 – График зависимости LΔφ(ω)
4
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Построение желаемой ЛАХ показано на рис.4
Рис.4- Желанная асимптотическая ЛАЧХ
По виду желанной асимптотической ЛАЧХ получим передаточную функцию
разомкнутой желанной системы
20*lg(k)=36 .
Решив уравнение, находим, что k=63
Wg(s) =
63(0.53𝑠 + 1)
.
𝑠(6.25𝑠 + 1)(0.006𝑠 + 1)3
Теперь получим передаточную функцию регулятора, разделив передаточную
функцию желаемой системы на передаточную функцию неизменяемой.
Wreg ( s ) 
Wж ( s )
63(0.53s  1)(0.01s  1)(0.002s  1)

.
1  Wж ( s )
(6.25s + 1)(0.006s + 1) 3
1.2 Анализ качества переходного процесса
Получаем передаточную функцию замкнутой системы по формуле
5
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Результаты моделирования приведены на рис.5.
Рис.5 – Переходной процесс в аналоговой системы управления
Как видно из рисунка, время регулирования (<0.5 сек) и
перерегулирование (<35%) удовлетворяют заданные требования к
переходному процессу.
2. Синтез цифровой системы автоматического
управления методом логарифмических характеристик
2.1 Синтез цифровой системы автоматического управления
Найдем дискретную передаточную функцию для исходной
непрерывной передаточной функции, с временем квантования T0=0.01сек.
Так, как используется экстраполятор нулевого порядка, дискретная
передаточная функция находится по формуле:
W ( z) 
z  1 1 W ( s) 
Z 
.
z
 s 
Разложив передаточную функцию W(s) на простые дроби получим:
W ( s) parfrac 1.0 0.012
0.0125
0.0005




2
s
float , 3
s
s  100.0 s  500.0 .
s
По таблицам Z – преобразований находим Z – передаточную функцию
системы(W(z))
W ( z) :
z  1  0.001z
0.012z
0.0125z
0.0005z 




2
z
z1
z  0.905 z  0.607
(
z

1
)


6
.
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Для построения асимптотической ЛАХ необходимо перейти к абсолютной
псевдочастоте. Для этого предварительно проводим билинейное
преобразование подстановкой z 
W ( w) : 
(
2
w 1
w 1
)
3
1.0  2383.0  w  1325.0  w  6409.0  w  7467.0
3
2
1.224534e9  w  3.60532e8  w  1.4934e7  w
После преобразования получим:
( w  2.81)  ( w  2)  ( w  1)  ( 1325.0)
W ( w) :
( w  0.245)  ( w  0.05)  w  ( 1.224534e9)
.
.
После подстановки w=0.0005jλ и преобразования выражения получим:
W(𝜆) =
(0.000178𝑗𝜆 + 1)(0.00025𝑗𝜆 + 1)(0.0005𝑗𝜆 + 1)
.
𝑗𝜆(0.0021𝑗𝜆 + 1)(0.01𝑗𝜆 + 1)
Из функции W(𝜆) найдем сопрягающие псевдочастоты:
𝜆1 = 100;
𝜆2 = 500;
𝜆3 = 2000;
𝜆4 = 4000;
𝜆5 = 5618.
Выполняем построение желаемой асимптотической ЛАЧХ разомкнутой
системы(рис.6).
Рис.6- ЛАЧХ неизменяемой передаточной функции разомкнутой системы
7
Пристромов Олег, СУ-11Ш
 ср 
5.2
 32.6 Гц
t
Перейдя к псевдочастоте, получим:

2
 T 0 
tan 
  32.5
T0  2 
Итак, примем псевдочастоту среза равной 32.5.Проводим через эту
точку прямую с наклоном –20Дб/дек.Дальнейшее построение желаемой ЛАХ
производится аналогично методике построения желаемой ЛАХ аналоговой
САУ. Желаемая ЛАХ приведена на рис.7
Рисунок 7 - Желаемая и неизменяемая асимптотическая ЛАЧХ цифровой
системы
В результате анализа данной ЛАЧХ получаем :
1
 5;
0.2
1
T 2   0.5;
2
1
T3 
 0.0053;
190
1
T4 
 0.0005.
2000
T1 
В итоге передаточная функция желаемой цифровой системы
имеет вид
𝑊ж (𝑗𝜆) =
67(0.5𝑗𝜆 + 1)(0.0005𝑗𝜆 + 1)3
.
𝑗𝜆(5𝑗𝜆 + 1)(0.0053𝑗𝜆 + 1)2
2) Реализация корректирующего контура цифровой системы.
8
Пристромов Олег, СУ-11Ш
Дискретную передаточную функцию цифрового корректирующего
устройства находим как отношение передаточной функции желаемой
системы к передаточной функции непрерывной:
𝑊ж (𝑗𝜆)
67(0.5𝑗𝜆 + 1)(0.0005𝑗𝜆 + 1)2 (0.0021𝑗𝜆 + 1)(0.01𝑗𝜆 + 1)
=
.
(5𝑗𝜆 + 1)(0.0053𝑗𝜆 + 1)2 (0.000178𝑗𝜆 + 1)(0.00025𝑗𝜆 + 1)
𝑊(𝑗𝜆)
Перейдем от псевдо частотной передаточной функции к z-передаточной
функции, с помощью подстановки j 
2 z 1
z 1
.После подстановки
 5000
T0 z  1
z 1
и преобразованию к виду удобному к составлению разностного уравнения
получим:
7.91z 5  5.84 z 4  9.21z 3  2.06 z 2  9.65 z  3.7
Wp ( z ) 
1.43z 5  0.35 z 4  2.2 z 3  3.4 z 2  3.1z  1
Сравнительный анализ синтезированных САУ.
Используя математический пакет Matlab и приложение Simulink,
произведем моделирование синтезированного последовательного
корректирующего устройства и передаточной функции объекта управления
цифровой системы.
Графики переходных характеристик для аналоговой и цифровой
системы приведены на рисунке 8.
а)
б)
Рисунок 8– Переходные характеристики систем:
а - непрерывной; б – цифровой
Сравнительный анализ синтеза приведен в таблице 1.
Таблица 1 - Сравнительный анализ
Аналоговая САУ
Цифровая САУ
Показатели качества по заданию на контрольную работу
время регулирования 0.6 сек , перерегулирование <20%.
Показатели качества по результатам моделирования
время регулирования - 0,45 сек
время регулирования - 0,5 сек
перерегулирование - 12%.
перерегулирование - 0%.
9
Пристромов Олег, СУ-11Ш
ЛИТЕРАТУРА
1.Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування.
Підручник. К. Либідь, 1997. – 544с.
2.Автоматика и управление в технических системах: в 11 кн./ Отв. ред.
С.В.Емельянов, В.С.Михалевич. – К.: Вища школа, 1992 – Кн.4. Теория
автоматического управления. Ч.I. Линейные системы автоматического
управления/.
3.Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы
теории и элементы: Учебн.пособие/ В.В.Солодовников, В.Т.Коньков и др. –
под ред.Солодовникова. – М.:Высш.шк.,1991. – 255с.
4.Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и
управления. Учебное пособие для втузов. – М., Высш. шк. 1972. – 519с.
10