Математический анализ (БТП)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рабочая программа учебной дисциплины
по направлению подготовки
19.03.04 «Технология продукции и организация общественного питания»
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2015
ББК **.**
Рабочая программа по дисциплине «Математический анализ» составлена в
соответствии с требованиями ООП 19.03.04 «Технология продукции и организация
общественного питания» на базе ФГОС ВПО.
Составитель: Шуман Г.И., доцент кафедры математики и моделирования,
Волгина О.А., канд.экон.наук, доцент кафедры математики и моделирования
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 20.05.2015г.,
протокол № 10.
© Издательство ВГУЭС
2015
ВВЕДЕНИЕ
В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и
проектирования играют все большую роль. Это обусловлено, прежде всего быстрым ростом
вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяется
возможность успешного применения математики при решении конкретных задач.
Дисциплина «Математический анализ» является фундаментом математического
образования бакалавра. Знания, приобретаемые студентами в результате изучения
дисциплины «Математический анализ», играют важную роль в процессе его обучения. Они
необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин,
предусмотренных учебными планами соответствующих направлений. Данная дисциплина
является математической основой для многих разделов большинства общенаучных и
специальных экономических дисциплин.
Дисциплина «Математический анализ» является базовой не только для предметов
математического цикла – «Алгебра и геометрия», «Теория вероятностей и математическая
статистика», но также для таких дисциплин как «Экономика», «Менеджмент», «Маркетинг»,
«Информатика» и др.
При построении дисциплины реализуется принцип преемственности обучения, он
опирается на математические знания, умения и навыки студентов, приобретенные ими в
общеобразовательной школе и средних специальных учебных заведениях.
Данная программа построена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО к дисциплине
«Математический анализ». Рабочая программа разработана на основе учебного плана
направления подготовки 19.03.04 «Технология продукции и организация общественного
питания» заочной формы обучения.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1 Цели освоения учебной дисциплины
Цели изучения дисциплины «Математический анализ»:
- повысить уровень фундаментальной математической подготовки студентов с
усилением ее прикладной экономической направленности;
- ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для
решения теоретических и практических задач;
- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике
и ее приложениям;
- развить логическое и алгоритмическое мышление;
- выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение
перевести экономическую задачу на математический язык.
Важнейшие задачи преподавания дисциплины «Математического анализа» состоят в том,
чтобы на примерах математических объектов и методов продемонстрировать студентам
сущность научного подхода, специфику математики, научить студентов приемам
исследования и решения математически формализованных задач, привить навыки
самостоятельной работы с математической литературой.
1.2 Место учебной дисциплины в структуре ООП бакалавра (связь с другими
дисциплинами)
Дисциплина
«Математический
анализ»
относится
к
математическому
и
естественнонаучному циклу дисциплин и имеет логическую и содержательно-методическую
взаимосвязь с дисциплинами основной образовательной программы. Для освоения данной
дисциплины необходимы знания и умения, приобретенные в результате изучения
предшествующей дисциплины «Алгебра и геометрия».
Освоение данной дисциплины необходимо обучающемуся для успешного освоения
следующих дисциплин (модулей) ООП: «Экономика», «Теория вероятностей и
математическая статистика», «Менеджмент», «Маркетинг», «Информатика» и другие.
1.3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения учебной
дисциплины.
Таблица 1. Формируемые компетенции
Название ООП
(сокращенное
название ООП)
19.03.04
Технология
продукции и
организация
общественного
питания
Блок
Б.2
Компетенции
ПК-3 - использовать основные
законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности. Уметь использовать
нормативные правовые документы
в своей деятельности.
Знания/ умения/ владения (ЗУВ)
Знания:
основных понятий и
методов
математического
анализа.
Умения:
разбираться в
профессиональных
вопросах,
сформулированных на
математическом языке;
применять
математические
понятия при описании
прикладных задач и
использовать
математические методы
при их решении.
Владение:
методами
математического
описания типовых
профессиональных
задач и интерпретации
полученных
результатов.
1.4 Основные виды занятий и особенности их проведения
Дисциплина читается для бакалавров ЗФО первого курса во 2 семестре для направления
«Технология продукции и организация общественного питания».
Общая трудоемкость дисциплины составляет 180 часов (5 зачетных единиц), из них
аудиторных 10 часов. На самостоятельное изучение дисциплины выделяется 129 часов.
Итоговая аттестация по дисциплине – экзамен.
1.5 Виды контроля и отчетности по дисциплине
Контроль успеваемости осуществляется в соответствии с рейтинговой системой оценки
знаний студентов.
Текущий контроль предполагает:
- защита контрольной работы, выполненной студентами, по разделам изученного материала;
- тестирование остаточных знаний.
Промежуточный контроль знаний проводится в форме компьютерного тестирования
(СИТО). Обязательным условием допуска студента к экзамену является успешное
выполнение контрольной работы.
Учебным планом предусмотрены консультации, которые студент может посещать по
желанию.
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. «Предел функции». Абсолютная величина действительного числа. Предел
функции, определение и примеры, признак существования предела. Основные теоремы о
пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение
порядков бесконечно малых и бесконечно больших функций. Определение пределов дробно
– рациональных функций, функций, содержащих иррациональность, тригонометрических
функций. Первый и второй замечательные пределы. Теорема о переходе к пределу в
показателе степени. Односторонние пределы. Теорема о равенстве односторонних пределов.
Тема 2. «Непрерывность функции в точке» (1час). Классификация точек разрыва.
Теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность функции на отрезке. Второе определение
непрерывности.
Тема 3. «Производная функции в точке». Задачи, приводящие к понятию производной.
Физический, геометрический, экономический смысл производной. Производная слева и
справа. Дифференцируемость функции и связь ее с непрерывностью. Понятие суммарных,
средних и предельных величин в экономике.
Тема 4. «Основные свойства производной. Дифференциал функции». Производная
сложной функции. Производные высших порядков. Дифференцирование неявной функции.
Логарифмическое дифференцирование, производная степенно – показательной функции.
Теоремы о дифференцируемых функциях. Дифференциал функции и его свойства. Теорема
единственности дифференциала. Связь дифференциала с производной. Приложение
дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал сложной функции. Свойство
инвариантности формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
Тема 5. «Приложение производной к исследованию функций». Возрастание и
убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности, геометрический
смысл. Понятие экстремума функции. Необходимое условие существования экстремума
(теорема Ферма). Критические точки первого рода. Первое и второе достаточные условия
экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклости
функции вверх (вниз). Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)
графика функции. Необходимое условие существования точки перегиба. Достаточное
условие существования точки перегиба. Асимптоты графика функции (вертикальные,
горизонтальные, наклонные). Общая схема исследования графика функции.
Тема 6. «Функции нескольких переменных». Основные понятия. Пример функции
двух переменных. Линии уровня. Частные производные функции двух переменных.
Геометрический смысл частных производных. Полных дифференциал функции двух
переменных. Связь дифференциала и частных производных. Достаточное условие
дифференцируемости. Производная сложной функции. Понятие производной по
направлению. Градиент функции. Частные производные высших порядков.
Тема 7. «Экстремум функции двух переменных». Локальный экстремум функции двух
переменных. Необходимое и достаточное условие локального экстремума. Условный
экстремум. Функция Лагранжа.
Тема 8. «Понятие первообразной функции». Неопределенный интеграл. Свойства
неопределенного интеграла. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Основные
методы интегрирования (непосредственное интегрирование, интегрирование по частям,
метод замены переменной, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование
простейших рациональных дробей).
Тема 9. «Определенный интеграл».
Геометрический и экономический смысл
определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом. Основные правила интегрирования. Замена
переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном
интеграле.
Тема 10. «Геометрические приложения определенного интеграла». Площадь плоской
фигуры. Длина дуги плоской кривой. Объем тела вращения. Некоторые приложения
определенного интеграла в экономике.
Тема 11. «Несобственные интегралы». Геометрический смысл несобственных
интегралов, интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от
неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и
условная сходимость несобственных интегралов.
Тема 12. «Дифференциальные уравнения». Дифференциальные уравнения. Задачи,
приводящие к дифференциальным уравнениям. Модель естественного роста при постоянном
темпе. Логический рост. Неоклассическая модель роста. Дифференциальные уравнения
первого порядка. Определение, теорема о существовании и единственности решения.
Геометрический смысл уравнения первого порядка. Неполные дифференциальные уравнения
первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Методы
их решения.
Тема 13. «Дифференциальные уравнения n-го порядка».
Методы решения
однородных и линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод вариации
постоянной. Метод замены переменной. Основные понятия. Уравнения, допускающие
понижение порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка. Линейные
неоднородные уравнения второго порядка. Методы их решения.
Тема 14. «Числовые ряды». Основные понятия. Свойства сходимости рядов. Числовые
ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда.
Признаки сравнения. Другие признаки сходимости. Сходимость произвольных числовых
рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Тема 15. «Степенные ряды». Основные определения. Область сходимости степенного
ряда. Свойства степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Разложение
некоторых элементарных функций в ряд Маклорана. Виды временных рядов. Правила
построения временных рядов. Вычисление значений показательной функции,
логарифмические функции, синуса, косинуса. Приближенное нахождение интегралов.
3. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В ходе изучения данной дисциплины студент слушает лекции и посещает практические
занятия по основным темам, выбранным на усмотрение преподавателя, занимается
индивидуально. Освоение дисциплины предполагает, помимо посещения лекций и
практических занятий, выполнение одной контрольной работы. Лекционные и практические
занятия построены как типичные занятия по математическому анализу в соответствии с
требованиями государственных стандартов для подготовки бакалавров указанного
направления. Лекционные занятия проводятся с использованием мульти-медийного
оборудования, позволяющего демонстрацию слайдов.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА
4.1 Методические рекомендации по организации СРС
Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой
образовательной и познавательной деятельности студента в период обучения.
Самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов,
развитие практических умений; включает в себя: работу с презентационным материалом,
изучение теоретического материала, выполнение контрольной работы согласно выданных
заданий, подготовку к экзамену.
При выполнении контрольной работы необходимо использовать теоретический
материал, делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы и пр. Решения
излагаются подробно и содержат необходимые пояснительные ссылки.
Самостоятельность в учебной работе способствует развитию заинтересованности
студента в изучаемом материале, вырабатывает у него умение и потребность самостоятельно
получать знания, что весьма важно для специалиста с высшим образованием.
Целью самостоятельной работы студентов является овладение фундаментальными
знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по профилю, опытом
творческой, исследовательской деятельности.
Для самостоятельной оценки качества освоения учебной дисциплины студенту
предлагается ответить на вопросы.
4.2 Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения учебной
дисциплины.
К теме 1:
1. Что называется функцией, областью определения? Каковы способы задания функции?
2. Что называется окрестностью точки?
3. Дать определение предела функции в точке.
4. Какие пределы функции называются односторонними?
5. Сформулировать теоремы о пределах.
6. Какие функции называются бесконечно малыми и бесконечно большими? Каковы их
свойства?
7. Сформулировать первый замечательный предел.
8. Сформулировать второй замечательный предел.
9. Каковы правила раскрытия неопределенностей?
К теме 2:
1. Дать определение непрерывности функции в точке. Какова классификация точек
разрыва?
2. Сформулировать свойства функций, непрерывных в точке.
3. Перечислить свойства функций, непрерывных на отрезке.
4. Сформулировать второе определение непрерывности функции.
К темам 3 и 4:
1. Дать определение суммарных, средних и предельных величин в экономике.
2. Что называется эластичностью функции?
3. Что называется эластичностью полных и средних издержек?
4. Что называется производной функции в точке?
5. Каков геометрический смысл производной функции в точке?
6. Каковы правила нахождения производной функции?
7. Как находится производная функции, заданной параметрически, неявно?
8. В каких случаях применяется логарифмическое дифференцирование?
9. Дать определение дифференциала функции.
10. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
11. Каковы правила нахождения дифференциала функции?
12. В чем заключается инвариантность формы дифференциала?
К теме 5:
1. Какие точки называются критическими точками первого рода?
2. Что такое точки экстремума, экстремальные значения функции?
3. Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции в точке.
4. Сформулировать достаточное условие существования экстремума функции в точке.
5. Какие точки называются критическими точками второго рода?
6. Какие точки называются точками перегиба графика функции?
7. Сформулировать достаточное условие существования перегиба графика функции в
точке.
8. Что называется асимптотами графика функции?
9. Какова общая схема исследования функции?
10.Каковы условия максимизации прибыли, условие уровня наиболее экономичного
производства?
К теме 6:
1. Что называется функцией нескольких переменных, областью определения?
2. Дать определение частного и полного приращения функции нескольких переменных.
3. Что называется частными производными функции нескольких переменных?
4. Что такое градиент функции нескольких переменных?
5. Дать определение производной функции по направлению вектора.
К теме 7:
1.Что такое локальный экстремум?
2. Сформулировать необходимое и достаточное условия локального экстремума.
3. Что называется условным экстремумом?
4. Что называется наибольшим и наименьшим значениями функции в замкнутой
области? Каков алгоритм их нахождения?
5. Что называется предельной величиной, эластичностью функции двух переменных?
6. Что показывает эластичность замещения?
К теме 8:
1. Что такое первообразная функции?
2. Что называется неопределенным интегралом и каковы его свойства?
3. Знать таблицу интегралов.
4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
5. Как используется метод замены переменной в неопределенном интеграле?
6. Какова формула интегрирования по частям?
7. Каковы способы интегрирования рациональных дробей?
8. Когда используется метод неопределенных коэффициентов?
9. Как осуществляется интегрирование иррациональных функций?
10. Каковы основные тригонометрические подстановки?
К теме 9:
1. Сформулировать задачу о площади.
2. Что называется определенным интегралом?
3. Каковы свойства определенного интеграла?
4. Что называется криволинейной трапецией?
5. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
6. Какова формула Ньютона-Лейбница?
7. Как используется метод замены переменной в определенном интеграле?
8. Какова формула интегрирования по частям?
К теме 10:
1. Как вычисляются площади плоских фигур?
2. Каковы формулы вычисления объема тела вращения плоской фигуры?
3. Как вычислить длину дуги гладкой кривой?
К теме 11:
1. Какие интегралы называются несобственными интегралами 1-го и 2-го рода?
2. Дать определение сходящихся несобственных интегралов.
К темам 12 и 13:
1. Какие уравнения называются дифференциальными? Сформулировать основные
понятия.
2. Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями 1-го порядка? Дать
определения общего и частного решения.
3. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями 1-го порядка с
разделяющимися переменными?
4. Дать понятие линейного дифференциального уравнения 1-го порядка, общего
решения.
5. Какие уравнения называются однородными дифференциальными уравнениями 1-го
порядка?
6. Дать понятие линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
7. Какое уравнение называется характеристическим?
8. Дать понятие однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
9. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородного уравнения 2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
10. Как определяется общее решение однородного уравнения в зависимости от корней
характеристического уравнения?
11. Какое уравнение называется неоднородным дифференциальным уравнением 2-го
порядка с постоянными коэффициентами?
12. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородного
дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
13 Как осуществляется подбор частного некоторого решения по виду данной правой
части неоднородного дифференциального уравнения?.
14. Как используются дифференциальные уравнения в экономической динамике?
К теме 14:
1. Что называется числовым рядом? Сходимость числовых рядов.
2. Сформулировать необходимый признак сходимости.
3. Какой ряд называется гармоническим? Что такое обобщенный гармонический ряд?
4. Сформулировать два признака сравнения числовых рядов.
5. Как формулируются два признака Коши?
6. Сформулировать признак Даламбера.
7. Какие числовые ряды называются знакопеременными?
8. Какие ряды называются знакочередующимися? Сформулировать признак Лейбница.
9. Дать определения абсолютной и условной сходимости знакопеременных числовых
рядов.
К теме 15:
1.
2.
3.
4.
5.
Какие ряды называются степенными?
Что такое область сходимости степенного ряда? Как определяется радиус сходимости?
Перечислить свойства степенных рядов.
Уметь записывать разложение функции в ряд Тейлора.
Какой ряд называется рядом Тейлора, рядом Маклорена?
4.3 Рекомендации по работе с литературой
В процессе изучения дисциплины «Математический анализ» возникает необходимость в
материале учебной литературы. Рекомендовать какой-либо один учебник затруднительно,
так как некоторые темы достаточно доступно изложены в одном учебнике, другие - в
другом.
Наиболее подробно и просто теория большинства тем изложена в учебнике «Вся высшая
математика» Краснова М.Л. и др., однако примеров решения практических задач данное
пособие содержит в небольшом объеме.
Для формирования практических навыков решения задач по темам наилучшим образом
подходят:
- «Высшая математика в упражнениях и задачах» Данко П.Е. и др.;
- «Высшая математика» часть 2, практикум, Шуман Г.И. Волгина О.А., Голодная Н.Ю.,
Одияко Н.Н.;
- «Высшая математика» части 3 и 4, практикум, Шуман Г.И., Волгина О.А.
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1 Основная литература
1. Шершнев В. Г. Математический анализ. Сборник задач с решениями: учеб. пособие
для студентов вузов / В. Г. Шершнев. - М. : ИНФРА-М, 2013.
2. Петрушко И. М., Кузнецов Л. А., Кошелева Г. Г. и др. Курс высшей математики.
Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. - СПб.: Лань, 2009.
3. Ермаков В. И., Бобрик Г. И., Гринцевичюс Р. К. и др. Сборник задач по высшей
математике для экономистов. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Математический
анализ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Линейное программирование. -М.:
ИНФРА-М, 2008.
4. Малыхин В. И., Высшая математика. - М.: ИНФРА-М, 2012.
5. Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др. Высшая математика для экономистов.
- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
6. Попов А. М., Сотников В. Н., Высшая математика для экономистов. - М.: Юрайт, 2012.
7. Клюшин В. Л., Высшая математика для экономистов. - М.: ИНФРА-М, 2009
8 . Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А.. Математический
анализ в вопросах и задачах. - СПб.: Лань, 2008.
9. Малугин В. А., Математика для экономистов. Математический анализ. - М.: Эксмо,
2006.
10. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П., Высшая математика в
упражнениях и задачах. - М.: Оникс : Мир и образование, 2009 .
5.2 Дополнительная литература
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.- СПб: Питер, 2005.
2. Солодовников А.С. Математика в экономике. ч. 1,2. – М.: Финансы и статистика, 2005.
3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА М, 2010.
4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2006.
5. Шипачев В.С. Основы высшей математике. – М.: Высшая школа, 2006.
6. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1,2. – М.:
Высшая школа, 2010.
7. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К.
Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. – М.: Эдиториал УРСС, 2008.
8. Карасев А.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗОВ. ч. 1,2. – М.:
Высшая школа, 2006.
9. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. – М.: Наука, 2005.
10. Крамер И.Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 2008.
11. Колеснеков А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИНФРА М, 2004.
12. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 1, 2. – Минск, изд. Тетра Системс, 2005.
Список учебно-методических разработок:
1. Шуман Г.И., Волгина О.А., Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н. Высшая математика, часть
2. - Владивосток, 2008.
2. Шуман Г.И., Волгина О.А., Высшая математика, часть 3. – Владивосток, 2009.
3. Шуман Г.И., Волгина О.А., Высшая математика, часть 4. – Владивосток, 2010.
4. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Ряды. – Владивосток, 2003.
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения лекционных занятий в аудитории должно быть оборудование для
представления презентационных материалов.
7. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
Окрестность точки - любой интервал, содержащий данную точку.
Функция - это правило или закон , по которому каждому значению одной переменной
ставится в соответствие одно определенное значение другой переменной. Первая переменная
является независимой и называется аргументов, а вторая переменная — зависимой и
называется функцией.
График функции - это множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых
абсциссой является значение аргумента, а ординатой — соответствующее значение функции.
Бесконечно малая — это функция, если при указанном стремлении аргумента ее
предел равен нулю.
Функция, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая.
Функция непрерывна в некоторой точке, если существует предел функции в этой точке
и он равен значению функции в этой точке.
Функция непрерывна в некоторой точке, если она определена в этой точке и ее
окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, - точки разрыва этой функции.
Производная функции в точке - это предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, является
дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции дифференцирование функции.
Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Дифференциал функции в точке - это главная часть ее приращения, равная
произведению производной функции на дифференциал независимой переменной.
Значение функции в точке максимума (минимума) - максимум (минимум) функции.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует - критические
точки.
График дифференцируемой функции выпуклый вниз (выпуклый вверх) на некотором
интервале, если он расположен выше (ниже) любой ее касательной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной выпуклости, - точка
перегиба.
Асимптота кривой — это прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на этой
кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по
кривой.
Дробно-рациональная функция (или рациональная дробь) — это функция, равная
отношению двух многочленов.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя.
Определенный интеграл от функции на данном отрезке (или в указанных пределах ) это предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных
отрезков стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от
неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
Несобственные интегралы — это определенный интеграл от непрерывной функции, но
с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным
промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Несобственный интеграл сходится, если он существует и равен конечному числу.
Производная функции по направлению вектора - это число, равное сумме
произведений частных производных этой функции, вычисленных в данной точке, на
косинусы углов, образованных данным вектором с положительным направлением
соответствующей оси.
Производная по направлению представляет собой мгновенную скорость изменения
функции в направлении вектора в данной точке.
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции в
точке, является градиентом функции.
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.
Уравнение, связывающее
независимую переменную, искомую функцию и ее
производные, есть дифференциальное уравнение (ДУ).
Решение дифференциального уравнения - это функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется
порядком этого уравнения.
Процесс отыскания решения ДУ - его интегрирование, а график решения ДУ —
интегральная кривая.
Общее решение ДУ первого порядка - это функция, содержащая одну произвольную
постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении константы;
2) каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной, что
данная функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частное решение ДУ первого порядка - любая функция, полученная из общего решения
при конкретном значении постоянной.
Дифференциальные уравнения порядка выше первого - ДУ высших порядков.
Общее решение ЛНДУ второго порядка равно сумме частного решения неоднородного
уравнения, подобранного по виду данной правой части, и общего решения
соответствующего ему однородного уравнения.
Числовой ряд (или просто ряд) - это бесконечная сумма действительных чисел,
называемых членами ряда, а слагаемое, стоящее на n -ом месте - общий член ряда.
Сумма первых n членов ряда - n -ая частичная сумма ряда.
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм данного ряда, то
этот предел есть сумма ряда и говорят, что ряд сходится. В противном случае ряд
расходится.
Знакопеременный ряд - ряд, содержащий положительные и отрицательные слагаемые.
Ряд, знаки членов которого чередуются, является знакочередующимся.
Знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, если ряд, составленный из модулей его
членов, сходится.
Знакопеременный ряд условно сходящийся, если сам он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
Ряд, членами которого являются функции, - функциональный ряд.
Совокупность числовых значений аргумента, при которых функциональный ряд
сходится, - область сходимости этого ряда.