7473. На двух быстро вращающихся в противоположные стороны валиках лежит горизонтально однородная доска. Расстояние между осями валиков l = 20 см, коэффициент трения между валиками и доской μ = 0,2. Показать, что если в начальный момент времени центр тяжести доски смещен относительно средней линии СС, то предоставленная самой себе доска будет совершать гармонические колебания. Найти период T этих колебаний. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c2. Дано: l = 20 см; μ = 0,2; g = 10 м/c2 Найти: T=? Решение. Пусть доска смещена от положения равновесия влево на расстояние x. Силы, действующие на доску при этом, изображены на рисунке, где mg - сила тяжести (m – масса доски), N1 и N2 - нормальные к доске составляющие сил реакции валиков, F1 и F2 - силы трения скольжения, причем 𝐹1 = 𝜇 ∙ 𝑁1 , 𝐹2 = 𝜇 ∙ 𝑁2 . На рисунке использованы также обозначения: 𝑙 𝑙 𝑥 ′ = − 𝑥, 𝑥 ′′ = + 𝑥. 2 2 В проекции на вертикальное направление сумма сил равна нулю (исходя из условия равновесия доски в проекции на это направление), откуда следует, что 𝑁1 + 𝑁2 = 𝑚 ∙ 𝑔. Уравнение моментов, записанное относительно мгновенного положения центра тяжести доски, имеет вид: 𝑙 𝑙 𝑁1 ∙ ( − 𝑥) = 𝑁2 ∙ ( + 𝑥). 2 2 Из записанной системы уравнений находим; 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (𝑙 + 2 ∙ 𝑥) 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ (𝑙 − 2 ∙ 𝑥) 𝑁1 = , 𝑁2 = . 2∙𝑙 2∙𝑙 Сумма сил трения скольжения направлена вправо и по модулю равна 2∙𝜇∙𝑚∙𝑔 𝐹 = 𝐹1 − 𝐹2 = 𝜇 ∙ (𝑁1 − 𝑁2 ) = ∙ 𝑥. 𝑙 Поэтому уравнение движения доски 2∙𝜇∙𝑚∙𝑔 𝑚 ∙ 𝑥̈ = − ∙𝑥 𝑙 имеет вид уравнения гармонических колебаний с круговой частотой 2∙𝜇∙𝑔 𝜔=√ . 𝑙 Учитывая, что период колебаний, получаем ответ 𝑻= 𝟐∙𝝅 𝒍 𝟎, 𝟐 = 𝟐∙𝝅∙√ =𝟐∙𝝅∙√ = 𝟏, 𝟒 𝒄. 𝝎 𝟐∙𝝁∙𝒈 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎