Дидактические материалы по теме “Показательная функция”

МАТЕРИАЛЫ по теме
«ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ»
1.ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1.ПРОСТЕЙШИЕ ПОКОЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2. ПРОСТЕЙШИЕ ПОКОЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
3.МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ «сложных» ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.ДВОЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
5.СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Показательная функция это
функция y(x) = a x, зависящая от показателя степени x,
при некотором фиксированном значении
В дальнейшем будем считать, что основание
степени a является положительным числом: a > 0
При a = 1 показательная функция является
постоянной y = 1
Переменная х может принимать любое значение:
D (y)=R,
Область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке
(0; 1), так как любое число в
нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное
число в любой степени не может быть равным нулю.
Для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8,a = 1/2 и a = 1/8. На графике
видно, что при a > 1показательная функция монотонно возрастает. Чем больше
основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция
монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем более сильное убывание.
1)Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени
равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не
х
может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=а , тем
ближе расположена кривая к оси Оу.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и
большее значение функции.
2) Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой
степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой
степени не может быть равным нулю.Чем меньше основание а (при
х
функции у=а , тем ближе расположена кривая к оси Оу.
0<a<1) показательной
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее
значение функции.
Залание: Построить схематически графики:
1) у=7х
1 х
2) у=( )
7
3) у=9х
1 х
4) у=( )
9
5) у=4,7х
5) у=0,3х
ТЕМА: Простейшие показательные уравнения и неравенства
1
1)Записать иначе:1) =
8
2)1 =
3) (25х )3 =
4)0,1х =
5)9∙ 37х+1 =
6) 75+3х =
2)При каких х
а)2х меньше нуля ?
б) 2х равно нулю ?
в)ах меньше нуля ?
г) ах равно нулю ?
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7)35Х ∙ 25Х =
8) 52Х−3 =
2). х2 = 16 ?
1). 2х – 7 =9 ?
3). 2х = 16 ?
Пример 1: 2х = 16
2х = 24 ⇒ х = 4.
Ответ: Х = 4.
1 х
Пример 2: ( ) =
5
1 х
1
125
1 3
( ) = ( ) => х = 3
5
5
Ответ: Х = 3.
Пример 3: 13х−4 = 1
13х−4 = 130 => Х – 4 = 0
Ответ: Х= 4.
Пример 4: 2х = − 4
2х > 0 при всех х => 2х ≠ −4
Ответ: решений нет.
АЛГОРИТМ:
1. Сводим к двум степеням с одинаковыми основаниями.
2. Убираем основания.
3. Решаем полученное уравнение и пишем ответ.
Решаем:
В.68.2.
1 х+1
( )
6
В.49.2. 4
В.92.2.
В.78.2.
= 36х−1
1 6−4х
5х+1
=( )
5−3х
2
16
= 0,1255х−6
16∙ 82+3х = 1
1 3х−2
В.77.2. 243 ∙ ( )
81
В.65.2.
2
7−5х
 В.4.116.
= 27х=3
1 2х+1
− ( )
8
2
4х
14 х
=
142х
2
7х
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
3) 2х > 16 ?
2) х2 > 25 ?
1). 2х -7 ≥ 9 ?
У=ах возрастает при а> 1
1)43 > 42 => 3> 2
У=ах убывает при а< 1
1 3
1) ( )
4
1 2
< ( ) =>3> 2
4
Знак не меняется
Знак
меняется
1 а
1 с
2) ( ) < ( )
4
4
а ?
с
2)4с > 4в
с? в
Пример 1: 2х ≥ 16
2х ≥ 24
а = 2> 1 => 2х ↑=> З. С. => Х ≥ 4
Ответ: Х ≥ 4 или Х ∈ [4; +∞)
1 5х
Пример 2: ( )
3
5х
1
≤
1
27
1
1
1 х
( ) ≤ ( ) ;3 а = < 1 => ( ) ↓ =>З.М.
3
3
3
3
5х≥ 3 => Х ≥ 0,6
Ответ: Х ∈ [0,6; ∞)
АЛГОРИТМ :
1.Сводим к двум степеням с одинаковыми основаниями.
2. Убираем основания ( меняя знак, если а < 1 и не меняя
знак, если а > 1 ).
3. Решаем неравенство и пишем ответ.
Решаем:
В.13.2. 1002х+1 < 0, 1
1 2−х
В.61.2. ( )
27
> 92х−1
В.91.2.
1
3
≤ 33+х < 9
В.23.2. 0,2 ≤ 5х+4 ≤ 125
В.21.2.
1+2х
27
1 2+х
 В.4.120.
>( )
9
1 2+3х
В.29.2. ( )
4
2х −1
3х+2
<0
≤ 8х−1
В.41.2. 0,01 < 102+х < 100
Методы решения «СЛОЖНЫХ» показательных уравнений
Любое «сложное» показательное уравнение сводится кпростейшим.
1.Метод вынесения общего множителя.
Пример. Решить уравнение 4 ∙ 3𝑥+2 + 5 ∙ 3𝑥+1 − 6 ∙ 3𝑥 = 5
Решение.
4 ∙ 3𝑥+2 + 5 ∙ 3𝑥+1 − 6 ∙ 3𝑥 = 5
3𝑥 (4 ∙ 32 + 5 ∙ 31 − 6) = 5
3𝑥 ∙ 45 = 5
|: 45
вынесем за скобки 3 в наименьшей степени
вычислим значение в скобках
разделим обе части уравнения на 45
3𝑥 =
5
45
сократим дробь
3𝑥 =
1
9
1
= 3−2
9
3𝑥 = 3−2
𝑥 = −2
основания одинаковые – приравниваем
степени
Ответ: −2.
Задания. Решите показательные уравнения методом вынесения общего множителя:
1) 5𝑥+1 + 5𝑥 + 5𝑥−1 = 31
1 2−𝑥
2) 3𝑥 − (3)
= 24
Подсказка: 5𝑥−1 (52 + 51 + 1) = 31
Подсказка:3𝑥 − 3𝑥−2 = 24
3) 3𝑥+2 − 5 ∙ 3𝑥 = 36
3𝑥−2 (32 − 1) = 24
Подсказка:3𝑥 (32 − 5) = 36
4) 7𝑥+2 − 14 ∙ 7𝑥 = 5
Подсказка:7𝑥 (72 − 14) = 5
5) 2𝑥+4 − 2𝑥 = 120
Подсказка:2𝑥 (24 − 1) = 120
6) 10 ∙ 5𝑥−1 + 5𝑥+1 = 7
1 1−𝑥
7) 7𝑥 − (7)
=6
8) 3𝑥+2 + 3𝑥 = 810
9) 2𝑥+3 + 2𝑥+1 − 7 ∙ 2𝑥 = 48
10) 2 ∙ 5𝑥+2 − 10 ∙ 5𝑥 = 8
2.Метод замены переменной.
Пример. Решить уравнение 4𝑥 − 3 ∙ 2𝑥 = 4
Решение:
4𝑥 − 3 ∙ 2𝑥 = 4
(22 )𝑥 − 3 ∙ 2𝑥 − 4 = 0
(2𝑥 )2 − 3 ∙ 2𝑥 − 4 = 0
Обозначим 2𝑥 = 𝑦
𝑦 2 − 3𝑦 − 4 = 0
Решим квадратное уравнение
𝑦1,2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑦1 = −1 или 𝑦2 = 4
Сделаем обратную замену
1)2𝑥 = −1 – нет решения, так как −1 < 0
2) 2𝑥 = 4
2𝑥 = 22
𝑥=2
Ответ: 2
Задания. Решите показательные уравнения методом замены переменной:
1
1 𝑥−1
1) ∙ ( )
3
9
1 𝑥
1 𝑥
−( ) =0
3
1 𝑥
2) 9 ∙ ( ) − 2 ∙ ( ) = 0
4
2
3) 9𝑥 − 3𝑥+1 = 54
4) 4𝑥 − 3 ∙ 2𝑥 = 4
5) 9𝑥 + 8 ∙ 3𝑥 = 9
6) 22𝑥+1 + 7 ∙ 2𝑥 = 4
7)32𝑥+1 − 8 ∙ 3𝑥 = 3
8) 9𝑥 − 5 ∙ 3𝑥+1 + 54 = 0
9) 22𝑥+1 − 7 ∙ 2𝑥 + 3 = 0
10) 4𝑥 + 2𝑥 = 12
ТЕМА: ДВОЙНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ПОВТОРИМ:
Если умножаем ( делим ) на отрицательное число все части неравенства, то
знак ( > или< ) меняется на противоположный. Если на положительное число,
тогда не меняется.
6 > 2 умножим на 3 и на (- 3)
1)18> 6
2) −18 < −6
ПОВТОРИМ РЕШЕНИЕ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:
1)40<4+2х ≤ 90,
плюс ( −4 )
40 - 4< 4 + 2х − 4 ≤ 90 − 4
36< 2х ≤ 86, делим на 2
18< х ≤ 43
____ _____
ОТВЕТ: х∈ (18; 43]
2) 40< 4 − 2х ≤ 90, плюс (−4)
40 − 4 < 4 − 2х − 4 ≤ 90 − 4
36< −2х ≤ 86, делим на (−2)
−18 > х ≥ −43 " разворвчиваем"
−43 ≤ х < −18 _____
ОТВЕТ: х ∈ [−43; −18)
ОБРАЗЕЦ: 0,2≤ 514−10х ≤ 125
2
1
0,2= 10 = 5 = 5−1 ; 125 = 53
5−1 ≤ 514−10х ≤ 53 ,
убираем а= 5 > 1 => возрастающая => знак не меняется
−1≤ 14 − 10х ≤ 3,
плюс (−14)
−1−14 ≤ 14 − 14 − 10х ≤ 3 − 14
-15 ≤ −10х ≤ −11, делим на (−10)
1,5≥ х ≥ 1,1
« разворачиваем»
1,1≤ х ≤ 1,5
ОТВЕТ: х ∈ [1,1; 1,5 ]
РЕШАЕМ ПРИМЕРЫ:
1. 0,01 < 102+х < 10000.
1
2.
< 37+х < 9.
3
3.
4.
0,2≤ 52х+4 ≤ 625.
1
< 63−х < 36.
6
ТЕМА: СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПОВТОРИМ:
2х − 5у = 7
2х − 5у = 7
1) {
<=> {
сложим
х+у= 0
5х + 5у = 0
7х=7=> х = 1
Подставим во второе уравнение х=1=> 1+ у = 0=> у = −1.
Ответ: ( 1; -1 )
ОБРАЗЕЦ 1
3х − 2у = −1
3х − 2у = −1
9х − 6у = −3
3х − 2у = −1
{ 38х
<=> { 8х−3у
2 <=> { 8х − 3у = 2 <=> {−16х + 6у = −4
3
=3
= 9
33у
-7х =-7=> х=1, подставим в первое
3-2у = -1 => −2у = −4 => у = 2. ОТВЕТ: ( 1; 2 )
ОБРАЗЕЦ 2
27х
{ х
81
Под
(33 )х = (32 )у
= 9у
33х = 32у <=> { 3х = 2у <=
<=>
{
<=>
{
4х = у + 1
= 3у+1
(34 )х = 3у+1
34х = 3у+1
3х − 2у = 0
3х − 2у = 0
>{
<=> {
<=>
4х − у = 1
−8х + 2у = −2
2
-5х = -2=> х = 5
2
6 1
3
2
3
подставим 3∙ 5 = 2у => у = 5 ∙ 2 = 5 => ОТВЕТ: (5 ; 5 )
ОБРАЗЕЦ 3
1
1
1
1
3х ∙ 2у = 9
3х ∙ 22+х = 9
6х ∙ 22 = 9
6х = 36
{
<=> {
<{
<=> {
<=>
у−х=2
у= 2+х
у= 2+х
у= 2+х
х = −2
6х = 6−2
{
<=> {
ОТВЕТ: (2; 0)
у=2−2=0
у=2+х
х−у
4. { х−2у
2
Решить
1.
16х =
64у
{ х+1
27
= 81у−1
х+у= 3
1
2. { х+3у
5
= 5
у
3.{
х
2 = 200 ∙ 5
х+у=1
=8
ОТВЕТ: ( 10; 2 )
= 16
ОТВЕТ: ( 21; 14 )
х + 2у = 3
5.{
4х−2,5
43у
=2