Домашнее задание 21

Домашнее задание № 2. Вариант 6.
2.1.
Классификация погрешностей измерений. Привести рисунок, поясняющий классификацию
погрешностей и необходимые пояснения. Дать определение каждой из рассмотренных погрешностей. Привести
количественные характеристики погрешностей. Рассмотреть методические погрешности (на примере измерения
электрического тока).
Классификация погрешностей измерений.
ПИ
СС
ОБ
СИ
СЛ
ГР
МТ
ВФ
СБ
ВЧ
СЧ
КМ
ПИ – погрешность измерения – это разность между результатом измерения т истинным значением измеряемой
величины.
СС – систематическая погрешность – это погрешность остающаяся не изменой или закономерно изменяющаяся
при повторных измерениях одной и той же величины.
СП – случайная погрешность – это погрешность, которая изменяется случайным образом при повторном
измерении одной и той же величины.
ОБ – объективные погрешности – это погрешность, не зависящая от действия оператора.
СБ – субъективные погрешности – это составляющие погрешности измерений, зависящие от действий оператора.
ГР – грубые погрешности – это погрешности, существенно превышающие по своему значению оправдываемые
объективными условиями измерений систематические и случайные погрешности.
СИ – погрешность средств измерения (инструментальная погрешность) – это погрешность, обусловленная
погрешностью применяемого средства измерений.
МТ – методические погрешности - это погрешности, обусловленные используемым методом измерений и не
зависящие от погрешности самих измерительных устройств.
ВФ – погрешность от влияющих факторов – это составляющие погрешности измерений, являющиеся следствием
неучтенного влияния на результаты измерений внешних факторов, например температуры, атмосферного давления,
влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и т. п.
ВЧ – погрешность вычисления – это погрешности, возникающие при подсчетах конечных результатов по данным
проведенных измерений. Эти погрешности могут появиться, например, при проведении косвенных измерений или из-за
неверных действий оператора.
СЧ – погрешность считывания – это погрешности, возникающие при считывании показаний со средств
измерений. Обычно эти погрешности малы или вообще отсутствуют (например при использовании цифровых приборов).
КМ – коммутационные погрешности – это погрешности, возникающие при переключениях в измерительных
цепях, проводимых оператором в процессе измерений.
Количественные характеристики погрешностей
1.
Абсолютная погрешность , представляющая собой разность между результатом измерения х и
истинным значением измеряемой величины x0:
 = x - x0.
2.
Относительная погрешность , представляющая собой отношение абсолютной погрешности  к истинному значению
измеряемой величины x0:

3.

 100%
х0
Приведенная погрешность , представляющая отношение абсолютной погрешности  к нормирующему значению xN:
 

 100%
хN
Обычно xN = xk, где xk - верхний предел шкалы (при этом нулевое значение прибора должно быть в начале
шкалы).
Нормирующее значение хN следует устанавливать равным большему из пределов измерений используемого
прибора или равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение находится внутри диапазона
измерений.
Для электроизмерительных приборов нормирующее значение допускается устанавливать равным сумме
модулей пределов измерений.
Для средств измерений физических величин, имеющих шкалу с условным нулем, нормирующее значение
устанавливают равным модулю разности пределов измерений.
4. Классы точности средств измерений.
Класс точности средства измерений – это обобщенная характеристика средства измерений, выражаемая
пределами его допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими характеристиками,
влияющими на точность.
Класс точности дает возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность средств измерений
этого класса, но не является непосредственным показателем погрешности измерений, выполняемых с помощью этих
средств.
Класс точности может выражаться в форме абсолютных , приведенных  или относительных  погрешностей в
зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и
назначения средств измерений конкретного вида (см. ГОСТ 8.401-80 [45]):
  a ;
  (a  b  x) ;

 100%   p ;
xN

   100%   q ;
x

x


   100%   c  d  k  1 % ;
x
 x


 
где
х
значение измеряемой величины;
а, b - положительные числа, не зависящие от х;
xк
верхний предел шкалы;
хN
нормирующее значение, выраженное в тех же
единицах, что и  (обычно хN = хк);
p, q, c, d отвлеченные положительные числа, выбираемые
из ряда 110n; 1,510n; (1,610n); 210n;
n
n
n
n
n
2,510 ; (310 ); 410 ; 510 ; 610 ; (n = 1; 0; -1; -2; -3
и т. д.).
Значения, указанные в скобках, не используют для вновь разрабатываемых средств измерений.
Класс точности средств измерений характеризует не только их допускаемые основные и дополнительные
погрешности, но и другие параметры средств измерений, влияющие на их точностные свойства.
Методическая погрешность - это составляющая погрешности измерения, обусловленная используемым
методом измерений. Отметим, что под методом измерений понимается совокупность приемов использования
принципов и средств измерений.
Рассмотрим методическую погрешность на примере измерения электрического тока амперметром с внутренним
сопротивлением Rа, включенным (в соответствии с общепринятым "методом измерения") в разрыв исследуемой цепи
последовательно с сопротивлением этой цепи.
Рис. 2.1.1. Схема включения амперметра
U
I ,
R
I' 
U
,
R  Ra
Ra
,
R  Ra
Ra
I
 I   100% 
 100%,
I
R  Ra
I  I  I '  U
где
I
ток в исследуемой цепи "без амперметра";
I'
ток в цепи при включении амперметра;
U
напряжение, приложенное к исследуемой цепи;
R
сопротивление цепи;
Ra
- внутреннее сопротивление амперметра;
I
абсолютная методическая погрешность измерения;
I
относительная методическая погрешность измерения.
Выражения (2.15) и (2.16) свидетельствуют о том, что рассматриваемые методические погрешности зависят не от
погрешности используемого амперметра, а лишь от соотношения сопротивлений Rа и R. Например, при Rа = R
относительная методическая погрешность равна 50%. Очевидно, что для уменьшения методической погрешности в
данном случае необходимо выполнить условие (2.17):
Ra << R .
Приведенный пример свидетельствует о том, что использование средств измерений высокого класса еще не
гарантирует получение малых погрешностей, так как методические погрешности (не зависящие от класса точности
используемого прибора) могут
значительно превзойти инструментальные погрешности результата измерений.
Таким образом, погрешность результата измерений состоит из многих составляющих (см. рис.2.1), каждая из
которых имеет свою природу и свой порядок учета и контроля. Вместе с тем, можно сформулировать некоторые общие
положения.
При правильно организованных измерениях грубые погрешности должны отсутствовать; погрешности
субъективные, метода и от влияющих факторов должны быть малыми, чтобы ими можно было пренебречь. В этом
случае остаются лишь погрешности средств измерений, которые и определяют погрешности результатов измерений. На
практике редко удается все свести к погрешностям средств измерений и приходится учитывать некоторые другие
составляющие погрешности. Примеры оценки погрешностей приведены ниже, в последующих разделах учебного
пособия.
2.2.
Классификация погрешностей средств измерений (СИ). Дать определение каждой из погрешностей СИ.
Порядок экспериментальной оценки статических погрешностей. Классы точности средств измерений по ГОСТ 8.401 – 80.
Дать определение и подробные пояснения. Представить обозначения классов точности средств измерений в виде
таблицы. Привести стандартный ряд классов точности. Порядок присвоения класса точности средствам измерений.
Динамические погрешности средств измерений. Основные положения и определения. Перечислить характеристики
средств измерений, описывающие их динамические свойства.
Классификация погрешностей средств измерений (СИ).
ПСИ
ДН
СТ
СС
СЛ
СС
СЛ
ПСИ – погрешности средств измерения
СТ – статическая погрешность –это погрешности средств измерений, возникающие при измерении неизменных
во времени величин или при измерении параметров установившихся периодических процессов.
ДН – динамическая погрешность – это погрешности средств измерений, возникающие при измерении
переменных во времени величин или при измерении параметров неустановившихся периодических процессов.
СС – систематическая погрешность – составляющие погрешности, которые в данном ряду измерений остаются
постоянными или закономерно изменяются.
СЛ – случайная погрешность – это составляющие погрешности, которые в данном ряду измерений,
выполненного исследуемым СИ, изменяются случайным образом.
Порядок экспериментальной оценки статический погрешностей средств измерения
1.
Схема эксперимента
СИ
x0
ОСИ
x
v
x0
ОСИ
СИ
x
x0
Рис.2.2.2 Схемы исследования средств измерений:
СИ - исследуемое средство измерений; ОСИ - образцовое средство измерений; х0 - "истинное" значение
измеряемой величины; х - показания исследуемого средства измерений; v - управляющий сигнал, воздействующий на
ОСИ
2.
Выбор исследуемых точек на школе прибора
 Чем выше класс прибора, тем большее число исследуемых точек необходимо выбрать.
 Для рабочих измерительных приборов число исследуемых точек обычно составляет 5-6, а их число и расположение
должно соответствовать требованиям ГОСТ 8.508-84.
3.
Эксперимент
Измерения рекомендуется проводить путем постепенного увеличения измеряемой величины до предельного
значения для исследуемого устройства с последующим постепенным уменьшением ее до минимума. Увеличение и
уменьшение измеряемой величины проводятся столько раз, сколько измерений необходимо провести, фиксируя
каждый раз показания измерительного устройства в выбранных точках шкалы.
4.
Обработка результатов измерений
1)
Подсчитать среднее арифметическое значение ряда измерений.

1 n
  xi
n i 1
x
2)
Подсчитать среднее квадратичное отклонение

n
 ( xi  x) 2

i 1
n 1
3)
Выявление промахов
Метод «3 σ»:

x n  x  3 , xn - не промах.
Метод Смирнова-Греббса:

xn  x

 Wt ,
xn - не промах, Wt - табличное значение.
4)
Оценка абсолютной погрешности

 с  x  x0
5)
Оценка случайной погрешности
0
  k  ,
6)
k – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности
Оценка суммарной погрешности
0


    с   



    100%
x0

    100%
xk
Класс точности.
Класс точности средств измерения — обобщенная характеристика прибора, характеризующая допустимые по стандарту
значения основных и дополнительных погрешностей, влияющих на точность измерения.
ГОСТ 8.401 – 80 ГСИ . Классы точности средств измерений.
Класс точности средств измерений предписывает:
1,0  10 n 1,5  10 n ( 1,6  10 n )
2,0  10 n
2,5  10 n ( 30  10 n )
4,0  10 n
5,0  10 n
6,0  10 n
Значения в скобках в новых приборах не используются.
Таблица 2.2.1
Форма выражающая
погрешность
Абсолютная 
Пример обозначения
класса точности
 0,1 мм
Относительная

Относительная

0.2/0.1
Приведенная

1,5
Основная погрешность
  0,1 мм
  0,5 %

x
Абсолютная основная
погрешность
  0,1 мм
 0,5 % от «x»

   0,2  0,1   k  1 %
 x


   0 .5 %
  % от «x»
 0.5 % от «xk»
Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности , записываемый в виде
числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах
от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра,
работающего в диапазоне измерений 0 – 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении
стрелки в любом месте шкалы не превышает 0,3 В. Соответственно, среднее квадратичное отклонение s прибора
составляет 0,1 В.
Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения
измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В
погрешность составит 20%. Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение
меняется на 0,1 – 0,5 В.
Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора.
Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность s прибора всегда принимают половину цены его
наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли
деления, так как результат измерения от этого не станет точнее.
Динамические погрешности средств измерений. Основные положения и определения. Перечислить характеристики
средств измерений, описывающие их динамические свойства.
Динамическая погрешность измерений - это погрешность результата измерений, свойственная результатам
динамического измерения [1,6,36,42], т.е. погрешность, возникающая при измерении переменных во времени величин
или неустановившихся периодических процессов и обусловленная инерционными свойствами средств измерений.
Динамическая погрешность средства измерения d(t) может быть определена как разность между сигналом на
выходе средства измерения x(t) и истинным значением измеряемой величины, приведенной к выходу.
d t   xt   x0' t  ,
(2.2.1)
где значения величин d(t), x(t), x0(t) соответствуют моменту времени t.
Выражение (2.2.1) свидетельствует, что динамическая погрешность является функцией времени и зависит от
характера входного сигнала.
Истинным значением измеряемой величины является ее значение на входе измерительного устройства x0(t).
Для сравнения входных и выходных величин между собой необходимо сделать их приведение "к входу" или "к выходу"
средства измерения. Воспользовавшись приведением "к выходу", запишем значение динамической погрешности d(t) в
виде
d(t) = x(t) - Kx0(t),(2.2.2)
где
x(t)
выходной сигнал;
x0(t)
входной сигнал;
К
статический передаточный коэффициент.
Статический передаточный коэффициент находится в статических условиях работы измерительного устройства
как отношение приращения выходной величины х к приращению входной величины х0:
K=x/x0.
(2.2..3)
В первой главе при классификации погрешностей измерений отмечалось, что динамическая погрешность может
быть представлена в виде суммы двух составляющих - систематической и случайной. Однако из-за большой сложности
разделения динамических погрешностей на систематические и случайные составляющие такого разделения обычно не
проводят, а ограничиваются рассмотрением суммарной динамической погрешности, определяемой выражением (2.2.2).
Вместе с тем следует отметить, что динамическая погрешность в виде (2.2.2) сравнительно редко используется
на практике. Это объясняется тем, что d(t) характеризует реакцию измерительного устройства на вполне определенный
входной сигнал x0(t). Величина погрешности в этом случае зависит как от динамических свойств измерительного
устройства, так и от вида входного сигнала, причем каждому входному сигналу соответствует своя динамическая
погрешность. В силу этого для описания динамических свойств самих измерительных приборов (или устройств), а не
системы прибор-сигнал предпочитают использовать другие характеристики. Наиболее полно динамические свойства
измерительного устройства описываются передаточной функцией W(p), которая, как известно, определяется
соотношением
W  p 
где
x p 
,
x0  p 
(2.2.4)
р
комплексная переменная величина;
х0(р), х(р) - входной и выходной сигналы, преобразованные по Лапласу, при нулевых начальных
условиях.
Другими важными характеристиками измерительных устройств являются амплитудно- и фазово-частотные
характеристики.
Амплитудно-частотной характеристикой измерительного устройства называется зависимость амплитуды выходного
сигнала от частоты выходного сигнала (при постоянстве амплитуды входного сигнала)
Фазово-частотной характеристикой измерительного устройства называется зависимость фазового сдвига между
выходным и входным сигналами от частоты изменения входного сигнала.
2.3.
Оценить погрешность результатов прямых многократных наблюдений в соответствии с требованиями
ГОСТ 8.207 – 76, предполагая, что наблюдения подчиняются нормальному закону распределения. Значения результатов
наблюдений приведены в табл. 2.1. Выявить промахи методом «3  » и табличным методом. Варианты заданий
приведены в табл. 2.2.
Полученные результаты расчетов округлить и представить в соответствии с требованиями нормативных
документов.
Примечание. Термин «наблюдение» используется в государственном стандарте ГОСТ 8.207 – 76, в соответствии с
которым проводится оценка искомых погрешностей. В настоящее время вместо термина «наблюдение» используется
термин «однократное измерение».
ЗАДАЧА
Номер наблюдения
Результат
измерения, В
Исходные данные
4
5
6
1
2
3
40,2
40,3
40,4
39,9
40,5
40,9
7
8
9
10
40,6
40,8
39,7
39,8
Таблица 2.2
Вариант задания
Параметр
2
1,0
0,8
0,2
50
40,9
0,95
Кл. т.
δτ, %
∆м , В
Uк, В
Uп, В
Р
В табл. 2.2 приняты следующие обозначения:
Кл. т. – класс точности используемого вольтметра;
δτ – относительная температурная погрешность вольтметра;
∆м – абсолютная методическая погрешность;
Uк – верхний (конечный) предел шкалы вольтметра;
Uп – предполагаемый промах;
Р – принятая доверительная вероятность.
Решение:

1.
Среднее арифметическое значение U

U
2.

1 n
  U i , U  40,31 В
n i 1
Среднее квадратическое отклонение

 (U
i 1

имеет значение

n
i
 U )2
n 1
,
  0,4121 В
3. Выявление промахов
Метод «3 σ»:

U n  U  3 , U n - не промах.
40,9  40,31  0,59  1,23 - не промах
Метод Смирнова-Греббса:

Un U

 Wt , U n - не промах, Wt - табличное значение.
40,9  40,31
0,4121
4.
 1,43  2,29 - не промах.
Не исключенная систематическая погрешность
k
m

j 1
При
P  0.95
m  2  k  1.1
2
j
,
k  f  P, m 
1 
Uk
 %
100%
1 
50
 0,7  0,35 B
100%
__
U
2 
  %
100%
2 
40,31
 0,8  0,32 B
100%
3   м
  1,1  0,352  0,322  0,22  0,566 В
5.
Оценка случайной погрешности
  t 
P=0,95,

 
t  f P, n   Коэффицент Стьюдена

U
n=10,
t=2,26
 


0,4121
 0,13 B
10
U
n ,
  2,26  0,13  0,2945 B
U
6.
;
Оценка суммарной погрешности
  k   
0,8 


 8,0 ,

U
0,566
 8,0
0,13
0,8  4,3  8,0 отсюда следует
0,8 
 

 
k 3,
   2   2


k 
U

   
U
  k   
Ответ :
0,566
 0,297 B
1,1  3
   0,297 2  0,132  0,324 B
k 
0,566  0,2945
 1,895 ,
0,324  0,13
  1,895  0,324  0,614 B
40,31  0,614 B