загрузить - Назарбаев Интеллектуальные школы

Образцы заданий
для апробации внешнего независимого оценивания учебных достижений
выпускников 12 класса Интеллектуальных школ
Предмет: «Математика»
Длительность независимого экзамена: 2 часа.
Количество вопросов: 16.
Максимальный балл за независимый экзамен: 80.
Независимый экзамен состоит из трех секций: «А», «В» и «С».
Секция «А» содержит 10 вопросов множественного выбора, за которые можно
получить максимально 10 баллов.
Секция «B» включает в себя 9 вопросов открытого типа, требующих краткого
ответа. В этой секции можно заработать максимум 68 баллов.
В секции «С» представлен 1 вопрос открытого типа, требующий развернутого
ответа, за который можно набрать максимум 22 балла.
Во время экзамена разрешается пользоваться калькулятором.
1.
Вопрос 1
Укажите уравнение касательной к графику функции y = e2x – 3 в точке x = 0.
1
Ay= x–2
2
1
B y= x–3
2
Cy=x–3
D y = 2x – 2
E y = 2x – 3
A
[1]
Вопрос 1
2.
B
C
D
E
Ответ
Дополнительная информация
Баллы
D
Только при правильном ответе
1
Вопрос 2
Определите угол между векторами –i + j и j + k.
A 30°
B 45°
C 60°
D 75°
E 90°
[1]
A
1
B
C
D
E
Вопрос 2 Ответ
C
Дополнительная информация
Баллы
Только при правильном ответе
1
Воп
рос
3
3.
Точки A, B и C имеют координаты (2, 5, 1), (3, 4, 1) и (-2, 3, 2) соответственно.
(a) Составьте уравнение плоскости П, проходящей через точки А, В и С.
Напишите уравнение в виде ax + by + cz = k, где a, b, c и k целые числа.
[[3]
(b) Точка O – начало системы координат. Найдите угол между прямой ОА и
плоскостью
[[4]
Дополнительная
информация
Вопрос 3 Ответ
(a)
Вектор нормали к плоскости
перпендикулярен AB и BC ,
значит,
он
одинаково
направлен с AB × BC . AB = i
– j и BC = –5i – j + k, отсюда
и вектор нормали – i – j –6k.
Таким образом, уравнение
плоскости П будет x + y + 6z
= k при некотором k, и
подставив координаты любой
Баллы
Присуждение 1 балла за 3
нахождение
двух
векторов на плоскости.
Присуждение 1 балла за
нахождение векторного
произведения.
Присуждение 1 балла за
нахождение уравнения
2
точки получим k = 13.
(b)
плоскости.
Воп
рос
4
Угол между прямой и Присуждение 1 балла за 4
плоскостью, и угол между нахождение скалярного
прямой и вектором нормали произведения
двух

векторов.
составляют .
4.
Осн
ован
ие
кону
са
пред
став
ляет
собо
й
круг
с
пло
щад
Принимать ответы в
ью
градусах.
20
2
см . Расстояние от вершины до центра основания равно 3 см. Плоскость,
параллельная к основанию конуса, делит ее на две части с равными объемами.
Каково соотношение площадей боковых поверхностей этих двух частей?
2
Угол между прямой
вектором нормали:
и Присуждение 1 балла за
нахождение
длины
каждого вектора.


 OA  n 
arccos 
=
arccos

 OA n 
Присуждение 1 балла за


нахождение угла между


13


прямой и нормалью к
 30  38 


плоскости.
Поэтому угол между прямой
и вектором нормали равен Присуждение 1 балла за
1,18, а угол между прямой и нахождение угла между
плоскостью составит 0,40.
прямой и плоскостью.
[[
5]
Дополнительная
информация
Вопрос 4 Ответ
Баллы
Поскольку один из двух Присуждение 1 балла за 5
частей такой же конус, он вычисление
объема
должен
иметь
высоту, исходного конуса.
3
Присуждение 1 балла за
высоты вычисление
высоты
конуса
после
конуса и его части
боковой разреза.
которая равна
исходного
площадь
поверхности
3
1
2
будет
Воп
рос
5
1 2
)
2
5. В
пря
мом
круг
ово
м
кону
се
ради
ус
осно
вани
й r
см и
выс
ота
Присуждение 1 балла за
вычисление
боковой
первоначальной площади.
части
Следовательно, соотношение поверхности
площади
боковой конуса.
поверхности
Присуждение 1 балла за
1 2
1 2
3
3
( ) : (1 – ( ) )
вычисление
боковой
2
2
поверхности
другой
или
части.
(3
1: ( 3 4 – 1)
Присуждение 1 балла за
окончательное решение.
или
2
1 : ( 2 3 – 1).
h см.
(а) Найдите радиус наибольшего шара, вписанного в конус, выразите через h и r.
[[3]
(b) Покажите, что отношение объема шара к объему конуса равно
4rh
2
(r  r 2  h 2 ) 3
.
[[
3]
4
P =
Значение r постоянное, но значение h может быть разным.
(c)
Покажите, что наибольшее значение Р
от переменной
h равно
1
2
(можно считать, что постоянное положительное значение P является максимумом).
[8]
………………………………………………
В оставшейся части этого вопроса h фиксируется в значении, которое
максимизирует P.
(d)
Покажите, что наивысшая точка шара лежит на середине отрезка,
соединяющего вершину конуса с центром его основания.
[2]
…………………………………………
(e) Найдите, относительно r, радиус наибольшего шара, который может быть
помещен
сверху первого шара и полностью находиться в конусе.
[[2]
5
(f)Покажите, что если этот процесс продолжать бесконечно, то отношение
4
объема всех шаров к объему конуса будет стремиться к .
7
[4]
…………………………………………………..
(b)5
Вопрос
(a)
Дополнительная
Балл
Ответ Объем конуса 1 r2h и объем 1 балл присуждается 3
Информация
ы
3
за объемы шара и
3


4 осевое
hr
Посмотрите на
сечение:
1 балл конуса.
присуждается 3


шара
2
2
за
выявления
3  r  r h 


1
балл
присуждается
подобных
Объем сферы, как доля объема за выражение объема
треугольников.
конуса упрощается до требуемой
шара в качестве доли
формы.
конуса.
1 балл объема
присуждается
за
составление
1
балл
присуждается
соответствующего
за
упрощение
к
уравнения.
требуемому виду.
(c)
При стационарном значении1 балл
P 1присуждается
балл присуждается 8
dP
за
Rправильное
из
имеем
= 0, следовательноза выражение
Из подобных
треугольников
dh
применение формулы
уравнения.
R
r
производной
=
, отсюда hr – rR =  1
2
2
h

R
2
2
2
r h
частного.
8rh (r  r 2  h 2 ) – 12rh3 (r  h ) =
1 балл присуждается
R r 2  h02 и
за
применения
hr
R=
формулы
2
r 8rr2h
 hr22  h 2 + 8r3h + 8rh3 – 12rh3
производной
сложной
функции
=0
r 2  h2 .
Так как мы заинтересованы 1 балл присуждается
только в r > 0 и h > 0
за
применения
2r r 2  h 2 = h2 – 2r2
формулы
4
2 2
производной
h – 8h r = 0
сложной
функции
2
2
2
Таким образом, положительное (r  r  h ) .
постоянное
значение
P 1 балл присуждается
получится только при h = 2r 2 .
за
полностью
Применив это значение h, правильное
1
получим P = , как требовалось. дифференцирование
2
P.
6
1 балл присуждается
за
приравнивание
производной 0.
1 балл присуждается
за исключение всех
квадратных корней
уравнения.
1 балл присуждается
за
решение
уравнения.
1 балл присуждается
за доказательство P=
1
.
2
(d)
Радиус шара составляет
1 балл присуждается 2
2
r , так
за
нахождения
2
что
верхняя
часть
шара радиуса шара.
находится на высоте r 2 от
основания,
что
составляет 1 балл присуждается
за
сравнение
с
половину высоты.
высотой.
(e)
Наибольший
шар,
который
может быть помещен в этой
области, связан с проблемой со
всеми длинами, разделенными на
2. Радиус наибольшего шара,
следовательно,
(f)
2
r.
4
1 балл присуждается 2
за разделение длины
на 2.
1 балл присуждается
за выведение, что
радиус шара будет
также разделен на
два,
и
предоставление
правильного
значения.
Объем каждого шара будет равен 1 балл присуждается 4
1
за
определения
объема предыдущего шара.
8
коэффициента
Отношение объема шаров к масштабирования
объему
конуса
является между шарами.
геометрической прогрессией с 1 балл присуждается
1
определение
первым членом равным
и за
2
геометрической
1
прогрессии.
знаменателем .
8
1 балл присуждается
7
Поэтому
сумма
бесконечно за
определение
убывающей
геометрической первого
члена
и
4
знаменателя
будет равна .
7
геометрической
прогрессии.
1 балл присуждается
за
применения
формулы
суммы
бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии.
8