Математика Длительность независимого экзамена: 2 часа. Количество вопросов: 16.

Математика
Длительность независимого экзамена: 2 часа.
Количество вопросов: 16.
Максимальный балл за независимый экзамен: 80.
Независимый экзамен состоит из трех секций: «А», «В» и «С».
Секция «А» содержит 10 вопросов множественного выбора, за которые можно
получить максимально 10 баллов.
Секция «B» включает в себя 9 вопросов открытого типа, в этой секции можно
заработать максимум 68 баллов.
В секции «С» представлено 1 вопрос открытого типа, за который можно
набрать максимум 22 балла.
Во время экзамена разрешается пользоваться калькулятором.
Примерные вопросы независимого экзамена по математике:
1.
Вопрос 1
Напишите уравнение касательной к графику функции y = e2x – 3 в точке x = 0?
A
y= x–2
B
y= x–3
C
y=x–3
D
y = 2x – 2
E
y = 2x – 3
1
2
1
2
A
Вопрос 1
B
C
D
[1]
E
Ответ
Дополнительная информация
Баллы
D
При правильном ответе только
1
2.
Вопрос 2
Определите угол между векторами –i + j и j + k.
A
B
C
D
E
30°
45°
60°
75°
90°
A
Вопрос 2
3.
B
C
D
[1]
E
Ответ
Дополнительная информация
Баллы
C
При правильном ответе только
1
Вопрос 3
Точки A, B и C имеют координаты (2, 5, 1), (3, 4, 1) и (-2, 3, 2) соответственно.
(a) Составьте уравнение плоскости П, проходящей через точки А, В и С. Напишите
уравнение в виде ax + by + cz = k, где a, b, c и k целые числа
3]
(b) Точка O – начала систем координат. Найдите угол между прямой ОА и
плоскостью
4]
Ответ
Дополнительная
информация
(a)
Вектор нормали к плоскости
перпендикулярна AB и BC , так
по направлению AB × BC . AB =
i – j и BC = –5i – j + k, отсюда и
вектор нормали – i – j –6k.
Таким образом, уравнение x + y
+ 6z = k при некотором k, и
подставляя координаты любой
точки дает k = 13.
Присуждение 1 балла за
нахождение двух векторов
на плоскости.
Присуждение 1 балла за
нахождение векторного
произведения
Присуждение 1 балла за
нахождение уравнения
плоскости
(b)
Угол между прямой и плоскости, Присуждение 1 балла за
и угол между прямой и вектора нахождение скалярного

произведения двух
нормали составляют .
2
векторов.
Присуждение 1 балла за
Вопрос 3
Баллы
3
4
Угол между линией и вектором
нормали:
arccos (
OA n
) = arccos (
OA n
13
30  38
Угол между прямой и вектором
нормали поэтому равна 1.18 и
угол между прямой и
плоскостью составляет 0,40.
нахождение коэффициента
каждого вектора.
Присуждение 1 балла за
нахождение угла между
линией и нормалью к
плоскости.
Присуждение 1 балла за
нахождение угла между
прямой и плоскости.
Принимать ответы в
градусах.
Вопрос 4
4. Основание конуса представляет собой круг с площадью 20 см2. Расстояние от
вершины до центра основания 3см. Плоскость, параллельной к основанию конуса,
делит ее на две части с равными объемами. Каково соотношение площадей
поверхности этих двух частей?
5]
Вопрос 4
Ответ
Дополнительная
информация
Поскольку один из двух частей
Присуждение 1 балла за
такой же конус, он должен иметь вычисления объема
исходного конуса.
1
высоту, которая равна 3
Присуждение 1 балла за
2
исходного конуса и его площадь вычисления высоты части
конуса после разреза
изогнутой поверхности будет
Присуждение 1 балла за
1
(3 ) 2 первоначальной площади.
вычисления изогнутой
2
поверхности части конуса
Следовательно, соотношение
площади изогнутой поверхности, Присуждение 1 балла за
вычисления изогнутой
1 2
1 2
3
3
( ) :1– ( )
поверхности другой части.
2
2
Присуждение 1 балла за
окончательное решение
или
1: 3 4 – 1.
или
2
1 : 23 – 1
Баллы
5
5.
Вопрос 5
В прямом круговом конусе радиус оснований r см и высота h см.
(а) Найдите, радиус наибольшей сферы, вписанной в конус, выразить через h и r.
3]
(b) Покажите, что соотношение объема сферы к объему конуса равно
P=
4rh 2
(r  r 2  h 2 ) 3
Значение r постоянное, но значение h может быть разным.
3]
(c) Покажите, что наибольшее значение Р от переменной h равно
1
2
(наибольшее
положительное значение P, это - максимум.)
В оставшейся части этого вопроса h устанавливается в значении, которое
максимизирует P.
[8]
(d) Покажите, что вершина сферы лежит на
вершину конуса с центром его основания.
середине линии, соединяющей
[2]
(e) Найдите, с точки зрения r, радиус наибольшей сферы, которая может быть
помещена сверху первой сферы и полностью содержаться в конусе.
[2]
(f)
Покажите, что, если этот процесс продолжить бесконечно, то отношения
объема конуса, к сумме объемов шаров заполненные сферами, равно
4
7
[4]
Вопрос 5
(a)
Ответ
Глядя на плоскость симметрии:
Дополнительная
информация
1 балл присуждается за
выявления подобных
треугольников.
балл присуждается за
формирования
соответствующего
уравнения.
Баллы
3
1 балл присуждается за
изменения порядка где
R является объектом.
Из
подобных
r
r h
2
R
hR
=
2
треугольников,
so hr –rR =
R r 2  h2 и
hr
R=
(b)
r  r 2  h2
Объем конуса
сферы
1
3
(
1
r2h и объем
3
hr
r  r 2  h2
Объем сферы, как доля объема
конуса упрощается до требуемой
формы.
(c)
1 балл присуждается за
объемы шара и конуса.
1 балл присуждается за
долю.
1 балл присуждается за
упрощения к
требуемому виду.
3
1 балл присуждается за 8
правильное применение
что это необходимо для
формулы производной
1

2
2
2
частного.
8rh (r  r 2  h 2 ) – 12rh3 (r  h ) = 0
1 балл присуждается за
2
2
2
3
3
3
8r h r  h + 8r h + 8rh – 12rh = 0 применения формулы
Так как мы заинтересованы только сложной производной
дифференцирования
вr>0иh>0
2
2
2
2
r 2  h2 .
2r r  h = h – 2r
1 балл присуждается за
h4 – 8h2r2 = 0
Таким образом, только
применения формулы
положительное стационарное
сложной производной
дифференцирования
значение, когда h = 2r 2 .
1
(r  r 2  h 2 ) 2 .
Заменяя это значение h дает P =
2
1 балл присуждается за
как требовалось.
полностью правильный
дифференциацию P.
1 балл присуждается за
нахождения
Стационарное значение
dP
= 0, так
dh
производной 0.
1 балл присуждается за
искоренения всех
квадратных корней из
уравнения.
1 балл присуждается за
решения уравнения.
1 балл присуждается за
проверку того, что P=
1
.
2
(d)
Радиус сферы составляет
2
r , так
2
что верхняя часть сферы находится
на высоте r 2 от основания, что
составляет половину высоты.
(e)
Наибольшая сфера, которая может
быть размещена в этой области,
является такой же проблемой со
всеми длинами, разделенными на
2.Радиус наибольшего шара,
следовательно,
(f)
2
r.
4
Объем каждой сферы будет равно
1
объем предыдущей сферы.
8
Пропорции конуса, заполненного
сферами, сформирует
геометрическую прогрессию с
первым значением
отношением
1
и общим
2
1
.
8
Поэтому сумма будет равно
4
.
7
1 балл присуждается за
нахождения радиуса
сферы.
1 балл присуждается за
сравнения с высотой.
2
1 балл присуждается за
разделение длины на 2.
1 балл присуждается за
то, что вывели, что
радиус сферы будет
также разделен на два,
и предоставление
правильного значения.
2
1 балл присуждается за
определения
коэффициента
масштабирования
между сферами.
1 балл присуждается за
определение
геометрической
прогрессии.
1 балл присуждается за
определения исходного
значения и общего
соотношения.
1 балл присуждается за
применения формулы
для суммы к
бесконечности.
4