Лекция: «Аналитическая геометрия в пространстве». 10 класс.

Лекция: «Аналитическая геометрия в пространстве». 10 класс.
Цель лекции: знакомство с координатами в пространстве, применение метода координат
при решении задач, подробное и углубленное изучение векторного метода с целью более
полного ознакомления учащихся с данными темами и их ролью в математике
1.Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия.
11. Актуализация знаний учащихся.
Повторить из планиметрии:
А) координатная плоскость, название осей, координаты точки;
Б)частные случаи расположения точек (на осях координат);
В) координаты середины отрезка;
Г) длина отрезка;
Вектор и его координаты на плоскости.
111. Работа по теме урока.
1.1 Три взаимно перпендикулярных оси ОХ, ОУ, ОZ образуют прямоугольную систему
координат в пространстве: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.
1.2 Координатные плоскости: ХОУ, ХОZ? YOZ. Единичный отрезок – масштаб для всех
трёх осей.
1.3 Различают левые и правые тройки расположения осей (большой, указательный и
средний пальцы левой и правой рук)
1.4 Любая точка М в пространстве имеет три координаты: М(х;у;z)
Координатные квадранты, изменение знаков
Координат точек в зависимости от квадрантов
Z
М (х;у;z)
О.
у
х
1.5 Расположение точки в зависимости от координат: М (1;2;3)
1.5.1 на осях координат
Ось ОХ – М (х;0;0)
Ось ОУ – М (0;у;0)
Ось OZ – М (0;0;z)
1.5.2 на координатных плоскостях:
Плоскость ХОУ – М (х;у;0)
Плоскость XOZ – M (x;0;z)
Плоскость YOZ – M (0;y;z)
1.5.3 Зеркальная симметрия относительно плоскостей и изменение координат:
(ХОУ) : М (х;у;z)
М  (x;y;-z)
(XOZ): M (x;y;z)
(YOZ): M (x;y;z)
М  (x;-y;z)
М  (-x;y;z)
1.5.4 Центральная симметрия относительно начала отсчёта:
М  (-x;-y;-z)
М(x;y;z)
1.5.5 Осевая симметрия:
Ось ОХ: M(x;y;z)
Ось ОУ: М(x;y;z)
Ось OZ: M (x;y;z)
М  (x;-y;-z)
М  (-x;y;-z)
М  (-x;-y;z)
2. Векторы на плоскости.
2.1. Определение вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные
векторы.

 
 

а  в , а  в , с  в

с

а

в
Коллинеарные векторы
 

  
2.1.1 Равные векторы: а  в , еслиа  в и а  в
2.1.2 Единичный вектор, нулевой вектор, свойство транзитивности для векторов6
Два вектора, сонаправленные третьему, сонаправлены между собой;
Если первый вектор противоположно направлен второму, а второй противоположен
третьему, то первый и третий сонаправлены
2.1.3 Сложение векторов, правило треугольника, правило параллелограмма, правило
многоугольника, правило параллелепипеда
.
   
     
а  в  к  к  с  та  в  с  т
2.1.4 Разность векторов
2.1.5 Умножение вектора на число
2.1.6 Свойства сложения и умножения
   
А) коммутативность: а  в  в  а



а ( х   у )  ах  в у
Б) дистрибутивность:  


х(а  в )  ха  хв
2.2 Скалярное произведение вектором.
   

2.2.1 а  в  а  в  cos(ав ) - формула скалярного произведения
2.2.2 Свойства скалярного произведения:
   
Коммутативность: а  в  в  а
Ассоциативность: к(а*в)=ка*кв=кв*кА
Дистрибутивность: а(в+с)= ав+ас
.3 Операции с векторами, заданными координатами
3.1 Радиус – вектор
единичные орты по координатным осям;
     
i , j, k : i  j  k  1




a  axi  a y j  az k ;


a (a x ; a y ; a z )  удобно, a ( x; y; z )
3.2 Операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное произведение
векторов, заданных координатами.


 
a ( x1 ; y1 ; z1 ), b ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) : a  b  ( x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 )
 
a  b  ( x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 )

ka (kx; ky; kz).

 
a  x12  y12  z12 , a  b  x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2 .
Угол между векторами
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2

cos( ab ) 
2
x1  y12  z12 x 22  y 22  z 22
Координаты вектора: M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ), M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 ) : M 1M 2 ( x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 )
Пример. Найти координаты вектора АВ, угол между векторами ОА и ОВ, длину вектора
АВ, если А(4;4;7), В (3;0;4)
3.3 Угол между осями координат и вектором OA( x1 ; y1 ; z1 )
  угол между осью ОХ и вектором ОА
  угол между осью ОУ и вектором ОА
  угол между осью OZ и вектором ОА
cos  
cos  
x1
x
 1 ;
a
x12  y12  z12
y1
y
 1
a
x12  y12  z12
z
cos   1
a
cos 2   cos 2   cos 2   1.
Пример. Найти углы, образованные вектором ОА (2;-2;-1) с осями координат. (48, 131, 109
градусов)
3.4 Координаты середины отрезка.
A( x1 ; y1 ; z1 ) B( x 2 ; y 2 ; z 2 ),
3.4.1

AB  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 ,
x1  x 2 y1  y 2 z1  z 2
;
;
)
2
2
2
3.4.2 Деление отрезка в данном отношении.
A( x; y; z ) A1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , A2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ), точка А делит отрезок А1 А2 в отношении т : п
x
O  середина отрезка АВ O(
m 2 x1  m1 x 2
m y  m1 y 2
m z  m1 z 2
,y 2 1
,z 2 1
.
m1  m 2
m1  m 2
m1  m 2
Пример. Найти координаты точки А, делящей отрезок СД в отношении 2:3, если С(2;4;-1),
Д(-3;-1;6). Ответ: А(0;2;9/5).
3.4.3 Скалярное произведение единичных ортов
3.5 Векторное произведение векторов.
3.5.1 Определение. Векторным произведением векторов а (множимое) и в (множитель)
называется третий вектор с (произведение), который строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих
векторах;
2)его направление перпендикулярно плоскости параллелограмма;
3)направление вектора с выбирается так, чтобы он с векторами а и в составлял правую тройку.
 


Обозначение: а  в  с или с  ав .
3.5.2 Векторное произведение основных единичных ортов.
*∙i=0, j*.i=-k, k*.i=j, i*j=k, j*j=0, k*j=-I, i*k=-j, j*k=I, k*k=0
3.5.3 Выражение векторного произведения через координаты векторов сомножителей6
𝑦1
𝑎1 (𝑥1; 𝑦1 ; 𝑧1 ), ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎2 (𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ), ⃗⃗⃗⃗
𝑎1 × ⃗⃗⃗⃗
𝑎2 = (|𝑦
2
𝑧1
𝑥1
;
−
|
|
𝑧2
𝑥2
𝑧1 𝑥1
𝑧2 | ; |𝑥2
𝑦1
𝑦2 |).
Например. Найти векторное произведение векторов
а⃗(3; −4; −8)и в
⃗ (−5; 2; −1). Ответ: с(20; 43; −14)
3.5.4 Нахождение площади треугольника, заданного координатами вершин.
А(3;4;-1), В (2;0;4), С (-3;5;4)
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ(−1; −4; 5), ⃗⃗⃗⃗⃗
АС(−6; 1; 5), 𝑆 = 2 |АВ
АС|,
1
25
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ × АС
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−25;
АВ
−25; −25), 𝑆 = 2 √625 + 625 + 625 = 3 √3
3.5.5 Компланарные векторы – если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной
плоскости.
3.5.6 Смешанное произведение.
3.6.1 Определение. Смешанным произведением (или векторно – скалярным) трёх векторов а⃗, в
⃗ ,с
(в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора
а⃗ на векторное произведение в
⃗ × с., т.е. а∙(в×с). Обозначается: авс.
3.6.2 Признак компланарности : если авс=0, то векторы компланарны. Если система а,в,с –
правая, то авс>0, если левая – то авс<0.
3.6.3 Геометрический смысл: объём параллелепипеда, построенного на векторах – 𝕍=±а(в×с).
Например. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах
а⃗(1; 2; 3), в
⃗ (−1; 3; 4), с(2; 5; 2). Ответ: 27.
4. Определитель третьего порядка (повторить)
а1
|а2
а3
в1
в2
в3
с1
с2 | = а1 в2 с3 + с1 а2 в3 + в1 с2 а3 − с1 в2 а3 − а1 с2 в3 − в1 а2 с3 .
с3
−2 −1 −3
1 2 3
Например. Вычислить определитель: |−1 4
6 | , |−1 3 4|.
1
5
9
2 5 2
4.1 Найти объём треугольной пирамиды АВСД, заданной координатами вершин: А (2;-1;1),
В (5;5;4), С (3;2;-1), Д (4;1;3). Решение:
3 6 3
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(3;
(1;
(2;
АВ 6; 3), АС 3; −2), АД 2; 2), 𝕍 = ± 6 |1 3 −2| = 3
2 2 2
5. Уравнения основных геометрических фигур и их взаимное расположение.
нормали.
,М(x;y;z)
ММесто для формулы.
Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором
Нормали. 𝑛⃗ − нормаль плоскости 𝛼. 𝑛⃗(а; в; с)
Уравнение плоскости, проходящей через точку
М(𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) имеет вид: а(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
Или Ax+By+Cz+D=0.
5.2 Особые случаи положения плоскости относительно системы координат.
5.2.1 Ax+By+Cz=0 - плоскость, проходит через начало координат.
5.2.2 Аx+By+D=0 - параллельна оси OZ? Ax+CZ +D=0 – параллельна оси ОУ, By+Cz+D=0 –
параллельна оси ОХ.
5.2.3 Параллельность плоскостям: Ах+Д=0 – параллельна плоскости YOZ, Ву+Д=0 – параллельна
плоскости XOZ, Cz+D=0 – параллельна плоскости ХОУ. Уравнения х=0, у=0, z=0 – представляют
соответственно плоскости YOZ, XOZ, XOY.
5.2.4 Взаимное расположение плоскостей.
А)плоскости 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷 = 0 и 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷 =
0 параллельны, если их нормали коллинеарны, т. е. 𝑛
⃗⃗⃗⃗1 (𝐴1 ; 𝐵1 ; 𝐶1 ) ↑↑ (↑
↓)𝑛
⃗⃗⃗⃗2 (𝐴2 ; 𝐵2 ; 𝐶2 ), а это означает, что
𝐴1
𝐴2
𝐵
𝐶
= 𝐵1 = 𝐶1 , например плоскости 2𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 + 11 =
2
2
0 и − 4𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 + 36 = 0 параллельны.
В) перпендикулярность плоскостей : если скалярное произведение нормалей равно 0, или
А1 А2 + В1 В2 + С1 с2 = 0. Например: 3x-2y-2z+7=0 и 2x+2y+z+4=0, 6-4-2=0, ⟹𝑛
⃗⃗⃗⃗1 ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛2 .
В)Угол между плоскостями.
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 =0 и 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = ±
А1 А2 +В1В2 +С1С2
|𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗1 ||𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗2|
, 𝜑 = ∠(𝑛
⃗⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗
𝑛2 ).
Например: угол между плоскостями x-y+√2z+2=0 и x+y+√2z-3=0 равен 600или1200
1
, так как cosφ=±2 .
5.3 Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М0 (x0;y0;z0), M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2)
𝑥 − 𝑥0
| 𝑥1−𝑥0
𝑥2− 𝑥0
M1
M0
𝑦 − 𝑦0
𝑦1 − 𝑦0
𝑦2 − 𝑦0
𝑧 − 𝑧0
𝑧1 − 𝑧0 | =0
𝑧2 − 𝑧0
M(x;y;z)
Например: составить уравнение плоскости, проходящей
M2
через точки М0(1;2;3), М1(2;1;2), М2(3;3;1). Ответ: x+z-4=0.
5.4 Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости.
М0(x0;y0;z0), M1(x1;y1;z1), Ax+By+Cz+D=0
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
| 𝑥1− 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0 | = 0 , например, cоставить уравнение плоскости, проходящей через
𝐴
𝐵
𝐶
точки М0(1;2;3) и М1(2;1;1) перпендикулярно плоскости 3x+4y+z-6=0. Ответ: x-y+z-2=0.
5.5 Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно к двум плоскостям:
Θ1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0, Θ2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0, Р −
плоскость, проходящая через точку М0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ), 𝑃 ⊥ Θ1 , 𝑃 ⊥ Θ2 ,
𝑥 − 𝑥0
| 𝐴1
𝐴2
𝑦 − 𝑦0
𝐵1
𝐵2
𝑧 − 𝑧0
𝐶1 | = 0
𝐶2
Например. М(1;3;2) и плоскости x+2y+z-4=0, 2x+y+3z+5=0
𝑥−1
| 1
2
𝑦−3 𝑧−2
2
1 | = 0, 5𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0
1
1
5.6 Расстояние от точки до плоскости:
𝑀1 (𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 ), 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, 𝑑 − расстояние, 𝑑 =
|𝐴𝑥1 +𝐵𝑦1 +𝐶𝑧1 +𝐷|
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2
;
Например расстояние от точки М(3;9;1) до плоскости x-2y+2z-3=0 равно : 𝑛⃗(1; −2; 2), 𝑑 =
|1∗3−2∗9+2∗1−3|
√1+4+4
=
16
3
1
= 5 3.
5.7 Уравнение прямой в пространстве:
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0
;
𝐴
ℓ: { 2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0 где ⃗⃗⃗⃗
𝑁1 (𝐴1; 𝐵1 ; 𝐶1 ) и ⃗⃗⃗⃗
𝑁2 (𝐴2 ; 𝐵2 ; 𝐶2 ) нормали плоскостей, 𝑛⃗(𝑙; 𝑚; 𝑘) −
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛⃗ = 𝑁1 × 𝑁2 ,
направляющий вектор прямой.
Например: найти направляющий вектор прямой 𝑙: {
5.8 Угол между прямой и осями координат: 𝑐𝑜𝑠 ∝=
𝑘
√𝑙 2 +𝑚2 +𝑘 2
2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 8 = 0
.
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0
𝑙
√𝑙 2 +𝑚2 +𝑘 2
; 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑚
√𝑙 2 +𝑚2 +𝑘2
; 𝑐𝑜𝑠𝛾 =
; где 𝑙, 𝑚, 𝑘 − −координаты направляющего вектора прямой.
Например: найти углы, которые образует прямая ℓ: {
2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 8 = 0
с осями координат.
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 1 = 0
5.9.1 Угол между двумя прямыми – угол между их направляющими векторами.
5.9.2 Угол между прямой и плоскостью – угол между нормалью плоскости и направляющим
вектором прямой.
6. Уравнение сферы: (x-x0)2+(y-y0)2+ (z-z0)2=R2.
7 Каноническое уравнение прямой.
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 5 = 0 ⃗⃗⃗⃗
ℓ: {
𝑁 (2; 3; −1), ⃗⃗⃗⃗
𝑁2 (1; −3; 2), 𝑛⃗(3; −5; −9), пусть х =
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 1
3𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥−𝑥
𝑦−𝑦
𝑧−𝑧
1, тогда {
𝑧 = 3, 𝑦 = 2, 𝑀(1; 2; 3), 𝑎 0 = 𝑏 0 = 𝑐 0 −
−3𝑦 + 2𝑧 = 0
каноническое уравнение прямой,
𝑥−1
3
=
𝑦−2
−5
=
𝑧−3
−
−9
каноническое уравнение прямой.
Параметрическое уравнение прямой:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
параметрическое уравнение прямой.
Литература.
1.А.В.Погорелов. Геометрия. 10 – 11 классы.
2.Б.Г.Зив. Дидактический материал по геометрии.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.
4. Т.Симакова. Основы аналитической геометрии.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
= 𝑡, ⟹ {𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 −
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡