6609

6609. Брусок массой m = 1 кг находится на наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол α. Определить величину силы R, с которой брусок действует на
плоскость, если коэффициент трения между ними μ = 0,7, а ускорение свободного
падения g = 9,8 м/c2. Рассмотреть случаи α = 30° и α = 45°.
Дано: m = 1 кг; μ = 0,7; g = 9,8 м/c2; α1 = 30°; α2 = 45°.
Найти: R=?
Решение. По третьему закону Ньютона искомая сила равна по величине
и противоположна по направлению силе R', с которой плоскость
действует на брусок. Разложим R' на две составляющие:
перпендикулярную наклонной плоскости силу давления N и
параллельную наклонной плоскости силу трения (см. рисунок). В
проекции на нормаль к наклонной плоскости сумма сил, действующих
на брусок, равна нулю: N = mg cos α. Величина второй составляющей
силы R' зависит от коэффициента трения между бруском и плоскостью. Поскольку в
условии задачи не сказано, покоится ли брусок на наклонной плоскости, или скользит
по ней, необходимо рассмотреть оба эти случая по отдельности. Легко показать, что
предоставленное самому себе тело покоится на наклонной плоскости, если
коэффициент трения удовлетворяет неравенству:
𝜇 ≥ tan 𝛼
В этом случае сила трения покоя определяется из условия равновесия тела:
𝐹тр = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼.
Если же
𝜇 < tan 𝛼,
то между бруском и плоскостью действует сила трения скольжения:
𝐹тр = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼.
Учитывая, что
2,
𝑅 = 𝑅′ = √𝑁 2 + 𝐹тр
получаем ответ:
𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ √1 + 𝜇2 ∙ cos 𝛼 при 𝜇 < tan 𝛼,
𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑔 при 𝜇 ≥ tan 𝛼.
Теперь можно рассмотреть случаи
𝛼 = 30° ; 𝜇 > tan 𝛼 ; 𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 9,8 Н.
𝛼 = 45° ; 𝜇 < tan 𝛼 ;
𝑅 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ √1 + 𝜇2 ∙ cos 𝛼 = 1 ∙ 9,8 ∙ √1 + 0,72 ∙ cos 45° ≈ 8,5 Н.
Ответ.
𝑹 = 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ √𝟏 + 𝝁𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 при 𝝁 < 𝐭𝐚𝐧 𝜶,
𝑹 = 𝒎 ∙ 𝒈 при 𝝁 ≥ 𝐭𝐚𝐧 𝜶.
𝜶 = 𝟑𝟎° , 𝑹 = 𝟗, 𝟖 Н; 𝜶 = 𝟒𝟓° , 𝑹 = 𝟖, 𝟓 Н.