+). Найти - Reshaem.Net

Вариант №1
1. а) Найти
z z
2
3
,
в точке М(1, 1), z  3 x  y .
x y
x
б) Показать, что функция z  e cos y удовлетворяет уравнению
2z 2z

0.
x 2 y 2
2. а) Функция z(x,y) задана неявно: z ln( x  y  z ) 
б) Найти
u du
,
, если u  2 x  y  t , где
t dt
3. Дана функция z  arctg
xy
. Найти dz.
z
 x  cos 2t ,
.

 y  1  sin 2t.
x
. Найти grad z в точке М(-1, 1).
y2
4. Дана функция u  z 2 ( x  y) . Найти
u
в точке М(0, 1, -3), если l  MN , а
l
точка N(2, 3, -2).
5. Найти экстремумы функции z  x 2 y(2  x  y) .
4
8 x
0
2 x
6. Изменить порядок интегрирования  dx
1
( 4, )
4

7. Вычислить
(1,1)
x 2 dy 
 f ( x, y)dy .
dx
1
y .
2 по дуге кривой
x
y
8. Вычислить по формуле Грина
 x  cos t ,
(
xdy

ydx
)
.
С-окружность:
.


 y  sin t.
(C )
9. Вычислить интеграл, независящий от пути интегрирования
(1, 2 )
 (2 x  3xy
2
 2 y )dx  (2 x  3x 2 y  2 y )dy .
( 0 ,1)
10. Найти дивергенцию вектора градиента функции u  e x  y  z в точке
М(1, -1, 0).
Вариант №2
1. Найти dz, z  (1  3 x )
2. Найти d2z, z  x ln
arctg
1
y
.
y
.
x
z z
xz 2
,
z
cos(
2
x

y
)

 z  0.
3. Найти
,
x y
y
2u

,
z dz
x 
2
2
,
4. Найти
, если z  x y  2y , где  u  
u d
 y   2  3u 2 .



 u 
 в направлении, составляющем с Ох угол   , с Оу   и
3
3
 l  M
5. Найти 
тупой угол с Оz; u  (2 x  y )ctg
x
 z, M(1, 2, -1).
y
6. Найти угол между ( grad z)A и ( grad z)B, где z  x  e 2 x
2
3 y
, А(1, 0) и В(2,-3).
7. Найти экстремумы функции z  x 2  xy  y 2  x  y  11 .
0
8. Изменить порядок интегрирования  dx
1
9. Вычислить по формуле Грина
x
 f ( x, y)dy .
 2 x 2
 ( xy  x  y)dx  ( xy  x  y)dy ,
(C )
2
С: y  x , y  x.

10. Вычислить  2 x cos ydx  (2 y  x sin 2 y )dy вдоль L: y = 2x от А( ;  )
2
L
до О(0, 0).
11. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить:
(1,1)
 (x
2
 2 x  y )e x dx  e x dy .
( 0, 0 )
12. Найти div( grad u), где u  arctg
xy
в точке М(1, 1, 1).
z
Вариант №3
x
y
1. а) Найти dz, z  ctg xy  2 .
2
б) Показать, что функция z  ln x 
y
удовлетворяет уравнению
x
z z
2z
 y
.
x y
xy
2. а) Найти
x 1
z dz
(1 x ) 2
, , если z  arctg
, где y  e
.
x dx
y
б) Функция z(x,y) задана неявно: x cos( y  z ) 
z
. Найти dz.
x y
u
в точке A(0, 0), если l  AB , а
l
3. Дана функция u  ln( e x  e y ) . Найти
точка B(3, 4).
4. Дана функция z  arcsin
x
. Найти grad z в точке A(1, 1).
x y
5. Найти экстремумы функции z  2 x 3  xy2  5x 2  y 2 .
1
6. Изменить порядок интегрирования  dy
0
3 2 y
 f ( x, y)dx .
y
1
(1, )
2
ydx
x2
7. Вычислить  3dy  2 по дуге кривой y  .
x
2
( 0,0)
8. Вычислить по формуле Грина
 xdx  3( x  y)dy . С-треугольник ΔABC:
(C )
A(1, 0), B(1, 3), C(-2, 3).
9. Вычислить интеграл, независящий от пути интегрирования
(1, 4 )

( 0 ,1)
(2e y  3x
x
2
x3
y  y )dx  (2e 
 x)dy .
2 y
x
10. Найти дивергенцию векторного поля F в точке М(1, 2, 1), где
F  zx 2 i  3xy j 
y
k.
z
Вариант №4
3y
1. а) Найти dz, z  (arctg 2 x) .
2
б) Показать, что функция u  ln ( x  a) 2  ( y  b) 2 при всех a и b
 2u  2u
удовлетворяет уравнению 2  2  0 .
x
y
2. а) Функция z(x,y) задана неявно:
б) Найти
x
z
 ln  1 . Найти dz.
z
y
x
z dz
, , если z  arctg ( x 2 y )  cos , где y  ln 2 x .
x dx
y
3. Найти производную функции u  3x 4  xy  y 3 в точке М0(1, 2) в
направлении, составляющем с осью Ох угол 135°.
4. Дана функция z  x 2 y  2t . Найти grad z в точке М(-1, 4, 1).
5. Найти экстремумы функции z  e 2 x ( x  y 2  2 y) .
3
x 1
2
1
x 1
6. Изменить порядок интегрирования  dx  f ( x, y)dy .
( 2 ,8 )
7. Вычислить
 (x
2
 y 2 )dx  xydy по дуге кривой y  x 3 .
( 0, 0 )
8. Вычислить по формуле Грина
 ( xdy  3 ydx) . С-треугольник ΔABC: A(1, 0),
(C )
B(1, 2), C(2, 2).
9. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить:

( ,1)
2
 2 y sin 2 xdx  cos 2 xdy .
( , 2)
6
10. Найти дивергенцию вектора градиента функции u  x 3  y 3  z 3  3xyz в
точке М(1, 1, 1).
Вариант №5
1. а) Найти du, u  arctg
xz
.
y
б) Показать, что функция u  x sin( x  y )  y cos( x  y ) удовлетворяет
 2u
 2u  2u

 0.
уравнению 2  2
xy y 2
x
2. а) Функция z(x,y) задана неявно: z  ln
б) Найти
z
u
u 1
,
 0
z

u 1
zx
. Найти dz.
y
, если z  arccos( x 2  y) , x  u cos 2  , y  u 3 sin  .
 0
x
y
3. Дана функция z  e . Найти grad z в точке М(1, 2).
4. Дана функция z  xy ln( x  y ) . Найти
z
в точке с координатами (-1, 2) по
l
направлению составляющему равные тупые углы с осями координат.
5. Найти экстремумы функции z  x 4  y 4  4( x  y)  e  .
1
6. Изменить порядок интегрирования  dx
0
7. Вычислить
 (x
3
2x
 f ( x, y)dy .
2 x x2
 y )dx  xdy по дуге параболы (расположенной над осью
( L)
Ох, пробегаемой по ходу часовой стрелке) y  2 x  x 2 .
8. Вычислить по формуле Грина
 2( x
2
 y 2 )dx  ( x  y ) 2 dy . С-треугольник
(C )
ΔABC: A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3).
9. Вычислить интеграл, независящий от пути интегрирования
(1, 0 )
(y
2
e xy  3)dx  (2 xye xy  1)dy .
2
2
( 0, 2 )
   
10. Найти дивергенцию F в точке A , ,  , где F  x cos yi  y cos z j .
2
2 4
Вариант №6
1. а) Найти dz, z  (sin 2 3 y) 3x .
4
б) Показать, что функция z 
xy
удовлетворяет уравнению
x y
2z
2z 2z
2
2
 2 
.
2
xy y
x y
x
2. а) Функция z(x,y) задана неявно: e 2 x  ln z  arctg ( z  y) . Найти dz.
б) Найти
z dz
, , если z  ln( e 2t  4 x  sin y) , где
t dt
3. Дана функция u  x 2 y 2 t 2 . Найти
 x  tgt,
.

 y  ctgt.
u
в точке A(5, 1, 2), в направлении
l
l  AB , где точка B(9, 4, 10).
4. Найти направление наибольшего возрастания функции z 
x y
в точке
y
М(2, 1, 3).
5. Найти экстремумы функции z  y x  y 2  x  6 y .
0
 dx  f ( x, y)dy .
6. Изменить порядок интегрирования

7. Вычислить
3 x
3
2
2 x2
 x  4 cos t
 xdy  ydx вдоль верхней дуги эллипса  y  2 sin t .
( L)
8. Вычислить по формуле Грина
 x
2
ydx  xy 2 dy . С-окружность: x 2  y 2  4 .
(C )
9. Вычислить интеграл, независящий от пути интегрирования
( 3, 4 )
 (4 x
3
y 3  3 y 2  5)dx  (3x 4 y 2  6 xy  4)dy .
(1, 2 )
10. Найти дивергенцию векторного поля F в точке М(1, 2, 3), где
F  xy 2 i  x 2 y j  z k .
Вариант 7
№1
а) z=(5-y)arctg√x. Найти dz.
б) z=cos(xy). Найти все производные второго порядка.
№2
а) Найти
dz
, если z=arctg(√(x2+y2)) ,x=t3, y=ln(t).
dt
б) Найти dz, если sin2(x-z)- x∙ey∙y=0.
№3
x
y
Найти производную функции u=ln(sin ) в точке М(
Ï
;2) в направлении
2
вектора s =3 i  4 j .
№4
u=√(x2+y2+z2). Найти grad u в точке А(1;2;2).
№5
Найти экстремум функции z=x2-xy+y2+3x-2y+1.
№6
2
1 2
y
4
0
 y2
Дан двойной интеграл  dy  f ( x; y )dx. Изобразить область интегрирования и
изменить порядок интегрирования.
№7
Вычислить  (2 x  y)dx  ( x  2 y)dy, ãäåL  ýëëèïñ : x  3 cos(t ), y  2 sin( t ).
L
№8
Вычислить  xdy  ydx, ãäåL-замкнутая кривая: y=4-x2 и y=0
L
а)непосредственно
б)по формуле Грина.
№9
F =(x-y2,arctg(
y
xz
),arcsin( )). Найти div F в точке (1;1;0).
x
y
Вариант 8
№1
1
2
а) z=sin3(xy+y2)-( )√x. Найти dz.
y
x
б) z=arctg( ) . Найти все производные второго порядка.
№2
а) Найти
dz
1
, если z=ln(xy+y3),y=ctg( )
x
dt
б) Найти dz, если yz+arсcos(x-z)=0.
№3
Найти производную функции z=x3 -3x2y+3xy2+1 в точке A(3;1) в направлении
вектора AB ,где B(6;5).
№4
Найти grad u в точке М(1;1;1), если u=x3y2z.
№5
Найти экстремум функции z=4(x-y)-x2-y2
№6
1
4
2
y2
Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж:  dy  f ( x, y )dx.
№7
Вычислить криволинейный интеграл  y( x  y)dx  xdy по кривой L y=2x2 от
L
точки О(0;0) до точки А(1;2).
№8
Применяя формулу Грина, вычислить
 2xdx  ( x  2 y)dy, где L- контур
L
треугольника с вершинами:А(-1;0);В(2;0);С(а;2).
№9
Найти первообразную функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу
du=y(exy+5)dx +x(exy+5)dy .Используя криволинейный интеграл, найти div F
,если F =exy(y j -x i +xy k ) в точке М(2;1;3).
Вариант 9
№1
x
y
а) z=log2(√x+y )+3 .Найти dz.
б) z=y x .Найти все производные второго порядка.
№2
2
3
z
z
x2
а) Для функции z=arctg , где x=u2ln(1+v2), y=√u∙ev найти
и
при u=1 и
u
v
y
v=0.
б) Найти dz, если
x
z
=ln( )+1.
z
y
№3
Найти производную функции u=xy2z2 в точке М(3;2;1) в направлении вектора
MN ,где N(5;4;2)
№4
y
x
Найти grad u в точке А(1;1), если u=arctg( ).
№5
Найти экстремум функции: z=x2+y2-6x+4y+2.
№6
Изобразить область интегрирования, изменить порядок интегрирования:
1
5 x 2
1
2 x2
 dx  f ( x, y)dy.
№7
Вычислить:  ydx  dy , где L-дуга циклоиды: x=t-sin(t), y=1-cos(t) (0≤t≤П).
L
№8
Применяя формулу Грина, вычислить:  2 y 2 dx  xdy , если контур С есть
ñ
треугольник с вершинами в точках: А(0;0), С(1;0), В(1;2), пробегаемый
против хода часовой стрелки.
№9
(
Вычислить:
Ï Ï
; )
6 4

cos(x)cos(y)dx- sin(y)(sin(x)-cos(y))dy.
( 0;0 )
№10
Найти div F , где F =√(xy) i +xy3 j +y2z3 k в точке М(1;1;1)
Вариант10
№1
а) z=ex(cos(y)+xsin(y)). Найти dz.
б) z=arcsin(xy). Найти все производные второго порядка.
№2
а) Найти
dz
x
, если z=tg2(x+y)- , y= x  2 .
dx
y
б) Найти dz, если е2ysin(z)-cos2(x-z)=0
№3
Найти производную функции z=x2y2-xy3-3y-1 в точке А(2;1) в направлении,
идущем от этой точки к началу координат.
№4
Найти grad u в точке Р(1;2;2) и его направлении, если u=xyz.
№5
Найти экстремум функции z=x4+y4-2x2+4xy-2y2.
№6
Изменить порядок интегрирования, изобразить область интегрирования
4
8 x
0
2 x
 dx
 f ( x; y)dy .
№7
Вычислить  xdx  ydy  ( x  y  1)dz , если α- отрезок прямой, соединяющей

точки: А(1;0;1). В(2;3;4).
№8
Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл
 2xdx  ( x  2 y) dy, где L- контур треугольника с вершинами: А(-1;0), В(0;2),
L
С(2;0).
№9
Найти первообразную функцию u(x;y) по ее полному для  дифференциалу
du=(x2-2xy2+3)dx+(y2-2x2y+3)dy, используя криволинейный интеграл.
№10
Найти div à в точке М(-2;-2;-2), где à  x 2  y i  y 2  z j  z 2  x k .
Вариант11
№1
а) z=arcsin xy  ln( y  x 2  y 2 ) . Найти dz.
б) Показать, что функция z=lnx+
y
z z
2 z
удовлетворяет уравнению
.

y
x
x y
xy
№2
а) z=arctg x 2  y 2 , где x=t3, y=lnt. Найти
dz
.
dt
б) Найти dz, если z(x,y) задана уравнением 2xy+sin2(2x-z)=0.
№3
Найти производную функции u=tg2(xyz)-xy в точке М(1;1;
направлению вектора MN , где точка N(0;2;
Ï
) по
4
Ï
).
4
№4
Найти наибольшую скорость изменения функции z= 3  x 2  y 2  2 x в точке
М(2;1)
№5
Найти экстремум функции z=2x3+2y3-36xy+430.
№6
1
2 x
0
1 1 x 2
Изменить порядок интегрирования  dx
 f ( x, y)dy.
№7
Вычислить работу силы F =(x+2y;3x-y) по контуру окружности x=3cost,
y=3sint:
а) непосредственно
б) с помощью формулы Грина
№8
du=(5x2-3xy2+2y)dx+(2x-3x2y+5y)dy. Найти u=u(x,y) c помощью
криволинейного интеграла.
№9
F  xy sin(
Ïz
Ïxy
)i  y 2 sin(
) j  e xz  2 k . Найти div F в точке М(1;-1;2).
4
2
Вариант №12
𝑥²
1. а) z=arccos 𝑥+𝑦.
Найти dz
б)Показать, что функция u=sin(x-at)+cos(x+at) удовлетворяет уравнению
𝜕²𝑢
𝜕²𝑢
=a²(
) при всех a.
𝜕𝑡²
𝜕𝑥²
2. a)Найти производную функции заданной неявно z²(x+y)=x ez - 4y
𝜕𝑢
𝑑𝑢
б) Найти 𝜕𝑡 и 𝑑𝑡 , если u=x sint+y cost, где х=2t², y=3√t
3𝑥−𝑦
3. Найти градиент функции z=ln( 𝑥² ) в точке A(2,1)
𝜕𝑢
4. Найти 𝜕𝜄̅ в точке A(-1,2), если u=x arctg(x+y), а направление вектора l
=AB, В(2,6)
5.Нати экстремумы функции z=1+6x-x²-xy-y²
6. Изменить порядок интегрирования:
3
𝑥
∫2 𝑑𝑥 ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)dy
𝑥
7. Вычислить по формуле Грина ∮(𝑐)(𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 вдоль замкнутого
𝑥
контура, образованного линиями x=y² и y= 2
8.Вычислить интеграл, не зависящий от пути интегрирования
(3,5) 1
3𝑦²
2𝑦
∫1,0 (𝑥² + 𝑥⁴ )dx - 𝑥³ dy
𝑥²
9.Вычислить интеграл ∫(𝐿) 𝑥𝑦𝑑𝑥 +4dy по дуге кривой y = 4 от точки A(0,0) до
точки В(2,1)
10. Найти div векторного поля F=(x³+xy²)i+y³j+(z+x)k в точке M(1,0,2)
Вариант № 13
1. a) z=ln(x+exy). Найти dz.
б) z=sin²(e³x+e²y). Найти все производные второго порядка.
2. а) Найти dz неявно заданной функции
3x²-6x√y+√x*z³-z -5x=0
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑥²
б) Найти (𝜕𝑢) u=1 ;
(𝜕𝑣) u=1 если z=arctg 𝑦
v=0
v=0
v
где x=u²ln(1+v²); y=√u*e
𝑧²
3. Найти производную функции u=ln 𝑥−2𝑦 в точке А(3,1,-1) в направлении,
составляющем с осями координат равные острые углы.
4. Найти градиент функции u=exy (1+z²) в точке (0,1,4)
5. Найти экстремумы функции z=ex-y (x²-2y²)
6. Изменить порядок интегрирования
3
√(25−𝑦²)
𝑓(𝑥, 𝑦)dx
∫0 𝑑𝑦 ∫4
7. Вычислить ∫(𝐿) 2𝑥𝑑𝑥 -(x+2y)dy вдоль периметра ∆АВС, где
А(0,1),В(0,2),С(2,0).
8. Вычислить по формуле Грина ∮(𝑐) 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )dx-(x+y)²dy, если С ∆АВС где
А(0,1),В(-1,2),С(3,2).
9. Вычислить интеграл, не зависящий от пути интегрирования
(3,4)
∫(2,3) (6𝑥𝑦 2 + 4𝑥 3 )dx+(6x²y+3y²)dy
𝑥
10.Вычислить дивергенцию векторного поля F=2xy i- 𝑧+𝑦k в точке А(1,0,-2).
Вариант №14
𝑐𝑜𝑠𝑥
1. a) z=2𝑐𝑜𝑠²𝑦
- 12ln tg(П4+𝑦2). Найти dz в т. A(П4;3П
).
4
б) Найти все производные второго порядка для функции z=x*exp(-y/x).
2. а) Найти z’u и z’v , если z=ln(x²+y²), x=uv, y= 𝑢𝑣.
𝑦
б) Найти dz, если z=arctg𝑧−𝑥
3. z=arctg𝑦²𝑥 . Найти:
а) производную этой функции в точке А(-1,1) по направлению вектора
АВ, где В(1,2).
б) (grad z)А , где А(-1,1).
4. Найти экстремумы функции z=x³+y³-3xy
5. Построить область, ограниченную линиями y=x, x=2+y²,y=0,y=2;
расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по этой
области; изменить порядок интегрирования и вычислить площадь этой
области.
6. Вычислить ∮(𝑐) 2𝑦²dx+xdy вдоль замкнутого контура С, образованного
линиями y=𝑥²4 и y=x, применив формулу Грина, а, затем, вычислить его,
непосредственно обходя по контуру.
2
1
7. Доказать, что криволинейный интеграл ∫(𝑧)(𝑥 + 𝑦𝑥³
)dx+(3y+𝑥²𝑦²)dy не
зависит от пути интегрирования и вычислить по отн. т. А(2,1) до т.
В(4,3).
(1;3)
8. Вычислить ∫(0;2) 𝑦𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑦.
9. Найти div F векторного поля F=(𝑥1 - y)i+(z²+xy)j+z³k в т. (1;1;0).
Вариант №15
𝑥+𝑦
1. а) z=arctg 1−𝑥𝑦
. Найти dz.
−𝑥
𝜕²𝑢
б) Показать, что функция u=x𝑒 удовлетворяет уравнению x𝜕𝑥𝜕𝑦
+2(𝜕𝑢
+
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
)=y 𝜕²𝑢
.
𝜕𝑦²
𝑑𝑧
2. а) z=tg(x+y)-ln²(x-y), y=ctgx². Найти 𝑑𝑥
.
б) Найти dz, или 2x⁺z²+cos²(xy)-z=0.
3. Найти производную функции z=x²-xy+y² в точке M(1,1) в
направлении вектора l = 6i+8j.
4. Найти экстремумы функции z=x√y-x²-y+6x+3
2
2+√(4−𝑦2 )
5. Дан двойной интеграл ∫0 𝑑𝑦 ∫𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
Изобразить область интегрирования, изменить порядок интегрирования.
𝑑𝑥𝑑𝑦
6. Вычислить ∬𝐷 𝑥²+𝑦²+9 , D – область, ограниченная полуокружностью
y=√(9-x²) и осью ОХ.
ОАВО: О(0;0); А(2;0);В(-4;2) (по формуле Грина).
8. du= (y+ln(x+1))dx+(x+1-𝑒 𝑧 )dy. Найти u=u(x,y) с помощью
криволинейного интеграла.
9. F=x𝑒 −𝑦 *i +yz²𝑒 −𝑥𝑦 *j -xz³ k; найти div векторного поля F в т. М(-1;0;2)
10. Найти величину наибольшей скорости изменения функции
u=x²+2y²+3z²-3x-2y-6z
в точке А(1;1;1).
Вариант №16
1.
а) z=𝑦 3𝑠𝑖𝑛𝑥²4𝑥 . Найти dz в т. А(√2;2).
𝑥𝑦
𝜕²𝑧
𝜕²𝑧
𝜕²𝑧
2
б) z=𝑥−𝑦. Доказать, что 𝜕𝑥² +2𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕𝑦² =𝑥−𝑦
2.
𝑑𝑧
а) z=𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥−𝑦) , y=ctgx. Найти 𝑑𝑥/.
б) Найти dz, если 5𝑧 +tgx²+arcsin(xyz)=0
3. Найти производную функции u=x²y²z² в точке А(5;1;-2) в направлении
вектора АВ, где В(9;4;10).
4. Найти градиент функции u=x sinz-y cosz в точке М(0;0;0).
5. Найти экстремумы функции z=(x²+y)√(e⁷ )
1
2−𝑥²
6. Изменить порядок интегрирования, сделать чертёж: ∫0 𝑑𝑥 ∫𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.
7. Вычислить криволинейный интеграл ∫𝐿 (𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥+x²ydy по кривой L:
4x+y²=4 от точки А(1;0) до точки В(0;2).
8. Применяя формулу Грина, вычислить ∮С [𝑦 2 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦], где С- контур
треугольника с вершинами А(a;0); В(а;а); С(0;а).
(1;3)
9. Вычислить ∫(0;2) 𝑦𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑦.
10. Найти div векторного поля F в точке А(1;-1;3), если F=xy² i +x²y j +z³ k.
Вариант №17.
1.а) z=x²2√(𝑥+𝑦) . Найти dz.
𝑥²
𝑥
1 1
б) Показать, что функция z= 2𝑦 + 2 + 𝑥 - 𝑦 удовлетворяет уравнению
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝑥³
x²𝜕𝑥 +y²𝜕𝑦 = 𝑦 .
1
𝑢
𝑑𝑧
2.а) z= 2ln𝑣 , где u=tg³x, v=ctg²x. Найти 𝑑𝑥
𝑦
б) tg(z+x) - 𝑥 = 2z неявно задаёт z=(x,y). Найти dz.
3. Найти производную функции u=ln(x²+y²+z²) в точке М(1;2;1) в
направлении вектора l(2;4;4).
𝑧
4. Найти направление наибольшего роста функции u=arcsin(√(𝑥2+𝑦2)) в точке
А(1;1;1).
5. Найти экстремумы функции z=x³y²(6-x-y).
1
1−𝑥
6. Изменить порядок интегрирования: ∫0 𝑑𝑥 ∫−√(1−𝑥²) 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦.
(1,0)
7. Вычислить ∫(0,1) (3𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 +
𝑑𝑦
2
по дуге кривой y=1-x²
8. Вычислить по формуле Грина: ∮(𝐶)(3𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦, где С-контур,
образованный линиями y=4-x², x+y=2.
(0,3) 2𝑥(1−𝑒 𝑦 )
9. Вычислить интеграл, не зависящий от пути ∫(2,0)
(1+𝑥 2 )²
𝑧
𝑒𝑦
dx+(1+𝑥²+1)dy.
10. Найти дивергенцию векторного поля F=(x+z) i +𝑥𝑦 j +x√z k в точке
А(1;-1;4).
Вариант 18
1.
1) ln(𝑐𝑡𝑔2𝑥 + √𝑦) Найти dz
2) Показать, что функция u = x∙ 𝑒 −𝑦/𝑥 удовлетворяет уравнению
𝜕2 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕2 𝑢
x∙ 𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 2( + ) = 𝑦 ∙ 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
у
𝑑𝑧
1) z = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 √𝑥 , где y = 3𝑥 2 . Найти 𝑑𝑥
2) Функция z(x;y) задана уравнением 3𝑥 2 + 6𝑥 √𝑦 − √𝑥 ∙ 𝑧 3 + 𝑧 2 − 5𝑥 = 0
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Найти 𝜕𝑥 и 𝜕𝑦
Найти производную функции 𝑢 = 3𝑥𝑦 2 + 𝑧 3 − 𝑥𝑦𝑧 в точке М(1;1;2) по
Направлению вектора →𝑀𝑁, если точка N (-1;3;3)
2.
3.
П П П
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 в точке М( ; ; )
𝑢 = tan 𝑥 − 𝑥 + 3 sin 𝑦 + 𝑧 − 𝑐𝑡𝑔𝑧 Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
4 3 2
4.
5.
6.
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 3 + 8𝑦 3 − 6𝑥𝑦 + 5
Изменить порядок интегрирования в интеграле:
1
2−𝑦
∫0 𝑑𝑦 ∫1−√1−𝑦 2 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
7.
Вычислить ∫𝑧 (𝑥 2 + 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦, где z – кривая 𝑦 = 𝑥 3 + 2 от точки
А(1;3) до точки
В(-1;1)
8. Используя формулу Грина, вычислить ∮𝑐 (1 − 𝑥 2 𝑦) 𝑑𝑥 + (1 + 𝑥𝑦 2 ) 𝑑𝑦 , где с
–
окружность 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4
(2;3)
9. Вычислить ∫(1;1) (𝑥 + 3𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑦 + 3𝑥) 𝑑𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
10. Вычислить 𝑑𝑖𝑣𝐹 в точке М(1;1;1), где 𝐹 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑖 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑧 𝑗 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑘⃗
Вариант 19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1) 𝑧 = log 2 (√𝑥 + 𝑦 + 3 ). Найти dz
2) 𝑧 = 𝑦 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥. Найти 𝑑2 𝑧
2
𝑥
𝑥/𝑦
𝑑𝑧
1) 𝑧 = 𝑡𝑔2 √𝑦 , где 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 . Найти 𝑑𝑥
2) Функция z = f(x;y) задана уравнением 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥 + 𝑦𝑧 2 − 𝑠𝑖𝑛𝑧 = 0
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Найти 𝜕𝑥 и 𝜕𝑦
Найти производную функции 𝑢 = 𝑥(𝑙𝑛𝑦 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧) в точке М(-2;1;-1)
по направлению вектора 𝑙 = 8𝑖 + 4𝑗 + 8𝑘⃗
Найти величину наибольшей скорости изменения функции
𝑢 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 + 3𝑧 2 − 3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 в точке А(1;1;1)
Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑒 𝑥−𝑦 (𝑥 2 − 2𝑦 2 )
1
1+√1+𝑦
Изменить порядок интегрирования ∫0 𝑑𝑦 ∫𝑦
𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
7.
Вычислить криволинейный интеграл ∫𝑧 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦, где z –
кривая y = sinx от точки
𝜋
А(0;0) до точки В(2 ; 1)
8.
Используя формулу Грина , вычислить ∮с (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦, где с –
контур ∆𝐴𝐵𝐶𝐴 с
вершинами А(2:0), В(2;2), С(0;2)
(1;4)
9. Вычислить ∫(0;2) 𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑦
3
𝑥
10. 𝐹 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑧 𝑖 + 2𝑥𝑦 𝑗 + 𝑙𝑛2 (𝑥𝑧 + 𝑦)𝑘⃗. Найти 𝑑𝑖𝑣𝐹 в точке А(0;2;1)
Вариант 20
1.
2.
. Найти dz
𝑦 2 ). Найти 𝑑2 𝑢
𝑦 2 )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥
1) 𝑧 = (5 −
2) 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 2 (5𝑥 −
𝑦
1
𝑑𝑧
1) 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥, где 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = 𝑙𝑛2 𝑡. Найти 𝑑𝑡
2) Функция z (x;y) задана уравнением 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥𝑦) − 3(2𝑦+3𝑧) + 𝑧 2 = 15.
Найти dz
3.
Найти производную функции 𝑢 = 𝑥 2 + ln(𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 ) в точке
М(1;2;2)
в направлении вектора 𝑆 = 6𝑖 + 3𝑗 − 6𝑘⃗
𝑥
4.
Найти ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 в точке А(2;1;1), если 𝑢 = 𝑦 − √𝑧 и его направление.
5. Найти экстремум функции 𝑧 = 3𝑥 + 6𝑦 − 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2
6.
4
√20−𝑦2
Изменить порядок интегрирования ∫0 𝑑𝑦 ∫√𝑦
𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
7. Вычислить криволинейный интеграл ∫𝑧 (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦, где z –
ломанная АВС и точки
А(0;1), В(2;5), С(0;5)
8. Применяя формулу Грина, вычислить ∮(𝑐)(𝑥 − 𝑦)2 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦, где с –
контур ∆𝐴𝐵𝐶𝐴 с
точками А(1;0), В(2;1), С(0;1)
(0;2)
9. Вычислить ∫(−4;0)(𝑥 2 − 2𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 2𝑥) 𝑑𝑦
𝑥
10. . 𝐹 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑖 + 𝑙𝑛3 (𝑧 − 𝑦)𝑗 + (𝑥 − 2)𝑧 2 𝑘⃗. Найти 𝑑𝑖𝑣 𝐹 в точке А(3;1;2)
Вариант 21
1.
1) 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥𝑦. Найти dz
𝑥
𝜕2 𝑧
𝜕2 𝑧
2) 𝑧 = 23 ∙ 𝑐𝑡𝑔3𝑦. Показать, что 𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝜕𝑦𝜕𝑥
2
2.
1) 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥
√𝑦
, где 𝑥 =
𝑣
√𝑢𝑙𝑛𝑣, 𝑦 = 𝑢2 𝑐𝑜𝑠 3.
𝜕𝑧
𝜕𝑧
Найти 𝜕𝑢
и 𝜕𝑣
𝜕𝑧
2) Функция z(x;y) задана уравнением (𝑥𝑦)2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 − 𝑥𝑦 2 = 0. Найти 𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑧2
3. Найти производную функции 𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥−2𝑦 в точке P(3;1;-1) в
направлении,
составляющем острые равные углы с осями координат
𝑥2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑧, его длину и направление в точке А(1;1)
4. 𝑧 = 3 𝑦 . Найти 𝑔𝑟𝑎𝑑
2
2−𝑥
5. Изменить порядок интегрирования: ∫−6 𝑑𝑥 ∫𝑥2 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑦
4
−1
6. Вычислить криволинейный интеграл: ∫𝑧 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 − 1) 𝑑𝑥, где z –
кривая x = cost,
Y = 2sint от точки А(1;0) до точки В(0;2)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
7. Применяя формулу Грина, вычислить ∮𝑧 𝑦 − 𝑥 , где z – контур ∆𝐴𝐵𝐶𝐴 с
вершинами
А(1;1), В(2;1), С(2;2)
𝜋
( ;1)
8. Вычислить ∫(П2;2) 2𝑦𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑦
4
1
9. 𝐹 = 𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑖 + 𝑥𝑦 3 𝑧 2 𝑗 + 𝑥−𝑧 𝑘⃗. Найти 𝑑𝑖𝑣 𝐹 в точке А(2;0;1)
1
1
10. Найти экстремумы функции: 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦, при x>0, y>0
2
Вариант 22
1.
1) 𝑧 = ln(√𝑥 + √𝑦). Найти dz
3
2) 𝑧 =
𝑠𝑖𝑛2 3𝑦
𝑥
. Найти 𝑑2 𝑧
𝑥
1
𝑑𝑧
1) 𝑧 = arcsin √𝑦 , где 𝑦 = ln(𝑥2+4). Найти 𝑑𝑥
𝑦
2) Найти dz, если z(x;y) задана уравнением 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑧−𝑥 + 𝑥
3. Найти производную функции 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑥𝑦 2 𝑧 3 в точке
М(1;1;1) по
направлению вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁, где точка N(2;3;3)
4. Найти производную функции 𝑢 = ln(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑧 2 ) в точке М(1;3;1) по
направлению
2.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢
5. Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 + 3𝑥 + 2𝑦 + 1
1
√2
1
√2
1−𝑦 2
6. Изменить порядок интегрирования ∫ 𝑑𝑦 ∫𝑦2
𝑓 𝑑𝑥
7. Вычислить работу, совершаемую под действием силы 𝐹 = (𝑥 + 𝑦)𝑖 − 𝑥𝑗
при перемещении
контура, образованного полуосями координат и второй четвертью
эллипса
x = 3cost, y = 2sint, пробегаемому против хода часовой стрелки
8. Вычислить, используя формулу Грина ∮𝑐 𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 2𝑐𝑜𝑠𝑦 − 2𝑦) 𝑑𝑥 + (𝑒 𝑥𝑦 ∙
𝑥 − 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑦) 𝑑𝑦,
где с – контур, образованный линиями xy = 1, y=1, y=2, x=0
(3;5) 𝑥−2𝑦
𝑦
9. Вычислить ∫(2;1) (𝑦−𝑥)2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + ((𝑦−𝑥)2 − 𝑦 2 ) 𝑑𝑦
10. 𝐹 =
⃗
𝑥𝑦𝑖+𝑥𝑧𝑗+𝑥𝑦𝑘
1+𝑥𝑦𝑧
. Найти 𝑑𝑖𝑣 𝐹 в точке А(1;-1;2)
Вариант 23
1.
1)𝑧 =
2)
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
2.
√𝑥
𝑦𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦
𝑢 = 𝑙𝑛
. Найти dz
1
√𝑥 2 +𝑦 2
2
. Показать, что функция u удовлетворяет уравнению𝜕𝜕𝑥𝑢2 +
=0
𝑑𝑧
𝑑𝑧
1) 𝑧 = 2𝑡𝑔𝑥𝑦 , где 𝑥 = 𝑢2 𝑠𝑖𝑛𝑣 2, 𝑦 = 𝑢3 + 𝑐𝑜𝑠𝑣. Найти 𝑑𝑢
и
𝑑𝑣
2) Найти dz, если z(x;y) задано уравнением 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑦 + 𝑧 3 𝑥 − 𝑦√𝑧 = 5
П
3. Найти производную функции 𝑧 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑦 в точке А(2;4 ) по
направлению вектора,
составляющего с осью Х угол 60
𝑥
4. Найти направление наибольшего возрастания функции 𝑢 = 𝑥𝑦 − 𝑧 в
точке М(-4;3;-1)
5. Найти экстремумы функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 9𝑦
1
4−𝑦 2
6. Изменить порядок интегрирования:∫−3 𝑑𝑦 ∫2𝑦+1 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
𝑦
7. Вычислить ∫𝑧 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦, где z – дуга параболы y=𝑥 2 от т. А(1;1)
до т.В (√3; 3)
𝑦
8. Используя формулу Грина, вычислить ∮𝑐 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑦, где с –
замкнутый контур ∆АВСА,
Где точка А(1;0), В(1;2), С(2;0)
(2;1)
9. Вычислить ∫(0;0) 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦
𝑥
𝑦
10. Найти 𝑑𝑖𝑣 𝐹 , где 𝐹 = 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑖 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑧 𝑗 + (𝑥 + 1)𝑧 3 𝑘⃗ в точке А(0;4;5)
Вариант 24
1. Найти 𝑑𝑧
𝑧 = (2𝑦 3 𝑥 + 1) × 5
2. Найти
𝜕𝑧
и
𝜕𝑥
3. Найти
и
𝜕𝑥
𝑥
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑧 = 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜕𝑧
𝑐𝑜𝑠 2
𝑦
𝑧−𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑦2
𝑧 = 2𝑒 − ln(𝑥 − 2𝑦) , 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
4. Найти скорость изменения скалярного поля
𝑢 = 5𝑥 2 𝑦𝑧 − 7𝑥𝑦 2 𝑧 + 5𝑥𝑦𝑧 2
⃗
в точке М(1;1;1) в направлении вектора 𝑎 = 8𝑖 − 4𝑗 + 8𝑘
5. Найти угол между градиентами скалярных полей
𝑥
𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2
и
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
в точке М(1;1;√7)
𝑥+𝑦
6. Найти экстремумы функции
𝑥
𝑧 = 𝑒 2 (𝑥 + 𝑦 2 )
7. Изменить порядок интегрирования
1
2−𝑦
∫0 𝑑𝑦 ∫√𝑦 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝑑𝑥
8. Применяя формулу Грина, вычислить
3
∮с (𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 5 ) 𝑑𝑥 + (4 𝑥 4 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 5 ) 𝑑𝑦
𝑦 = 𝑥 2,
𝑐:
𝑦 = 2 − 𝑥,
𝑥=0
9. Вычислить
𝑑𝑥
1
∫𝑙 𝑥 2 𝑑𝑦 + 𝑦2 , 𝑙 − дуга кривой 𝑥 = 𝑦
1
от А(1;1) к В(4; )
4
10.Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
(1;1)
∫(−1;0)(15𝑥 2 + 8𝑥𝑦 2 − 2𝑦)𝑑𝑥 + (8𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 − 3𝑦 2 )𝑑𝑦
11.Вычислить дивергенцию векторного поля
в точке
⃗
𝑢
⃗ = 𝑥 2 𝑖 + 2𝑦 2 𝑧𝑘
(1;1;-1) и пояснить физический смысл результата.
Вариант 25
1. Найти 𝑑𝑧,
𝑧 = (2𝑐𝑜𝑠𝑦 + 1)𝑥
3
2. Найти
𝜕𝑧
и
𝜕𝑥
2
𝜕𝑧
𝜕𝑦
3
𝑥
𝑥 𝑦𝑧 + 𝑡𝑔 = 0
𝑧
𝜕𝑧
Найти
3.
и
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑧 = 𝑢𝑠𝑖𝑛2 𝑣,
𝑢=
3𝑥+1
𝑦𝑥
𝑦
3
, 𝑣=
4. Найти скорость изменения скалярного поля
3
𝑢 = (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )2
⃗
в точке Мо(1;1;1) в направлении вектора 𝑙 = 2𝑖 − 𝑘
5. Найти наибольшую скорость возрастания поля
𝑢 = ln(𝑥 2 + 4𝑦 2 )
в точке М(6;4)
6. Найти экстремумы функции
𝑧 = 𝑥 2 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦 − 1) ,
𝑥 > 0, 𝑦 > 0
7. Изменить порядок интегрирования
1
2−𝑥
∫−2 𝑑𝑥 ∫𝑥 2 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑦
8. Применяя формулу Грина, вычислить
∮с+ (2𝑥𝑦 + 5𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 5𝑥)𝑑𝑦
𝑐:
𝑦 = √𝑥,
𝑦 = 0,
𝑥=9
9. Вычислить
𝑥 = 𝑡2 − 1
(𝑥
от А(-1;1) до В(0;3)
∫𝑙 𝑦 𝑑𝑥 + + 1)𝑑𝑦 , 𝑙 − дуга кривой {
𝑦 = 2𝑡 + 1
10.Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
2
𝜋
(1; )
∫(0;0)2 (𝑒 2𝑥
3
+ 𝑦 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 + (𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑦 2 𝑥 2 ) 𝑑𝑦
2
11.Даны векторы
⃗ и 𝑏⃗ = (𝑧 + 1)𝑖 + 2𝑥𝑗
𝑎 = 2𝑥𝑖 − 𝑗 + 3𝑦𝑘
Найти
𝑑𝑖𝑣(𝑎 × 𝑏⃗) в точке М(5;-1;-1)
Вариант 26
1. Найти 𝑑𝑧
𝑧=
𝑡𝑔2 (2𝑥−3𝑦)
𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠5𝑦
𝑑𝑦
2. Найти
2
𝑑𝑥
3
𝑥 + 𝑦 = 3𝑥
3. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑢
и
2 −3𝑦 3
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝑥
𝑧 = 𝑐𝑡𝑔 (
2𝑦
𝑢
+ 𝑦2) ,
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 ,
𝑦=√
𝑣
𝑣
𝑢
𝜕𝑢
4. Найти производную ( )M в направлении, идущем от М (1;1;1) к N(4;5;13)
𝜕𝑙
2 3
𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )A
5. Найти (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑧
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑥+2𝑦
𝑥
2 (𝑥
+ 𝑦 − 2𝑧)
, A (1;-1)
6. Изменить порядок интегрирования
𝑦
2−
4
2
𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑥
∫0 𝑑𝑦 ∫− 4−𝑦
√
7. Найти экстремумы функции
1
1
𝑥
𝑦
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + + ,
𝑥 > 0, 𝑦 > 0
8. Применяя формулу Грина, вычислить
∮с 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦, c - контур треугольника с вершинами
А(1;1); В(2;2); С(1;3)
9. Вычислить
∫𝑙 (𝑥 2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦, 𝑙 – дуга параболы 𝑦 = 𝑥 2
от А(-1;1) до В(1;1)
10.Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
(0;1)
∫(1;0) (𝑥 4 + 4𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥 + (6𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑦 4 )𝑑𝑦
11.Вычислить дивергенцию векторного поля
⃗ , в А(1;-1;2)
𝐹 = (𝑥𝑦)𝑧 𝑖 + (𝑦𝑧)𝑥 𝑗 + (𝑥𝑧)𝑦 𝑘
Вариант 27
1. Найти 𝑑𝑧
𝑧 = 𝑥 3 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
2
𝑥
√𝑦
𝜕𝑧
и
𝜕𝑦
𝑥𝑧 + 𝑦 𝑥𝑧 + ln(𝑥 2 +𝑧 2 ) = 0
3. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑢
2
𝜕𝑧
и
𝜕𝑣
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√
𝑥
2𝑦
,
𝑥 = 𝑢2 𝑣,
𝜕𝑢
𝑦=
𝑢
𝑣
4. Найти производную ( )M в направлении, идущем от М (0;1;2) к
𝜕𝑙
N(3;3;14)
𝑢 = 𝑥𝑐𝑡𝑔2
(𝑦+𝑧)𝜋
𝑥+1−𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )A
5. Найти (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢
2
2
2
𝑢 = 3𝑥 +𝑦 +𝑧
A(1;-1;1)
6. Изменить порядок интегрирования
1
𝑥+1
∫0 𝑑𝑥 ∫𝑥 2−1 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑦
7. Найти экстремумы функции
𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 2
8. Применяя формулу Грина, вычислить
∮с+ √𝑥 2 +𝑦 2 𝑑𝑥 + [𝑥 + 𝑦𝑙𝑛(𝑥 + √𝑥 2 +𝑦 2 )]𝑑𝑦,
𝑥𝑦 = 1
𝑐: {
𝑥 + 𝑦 = 2,5
9. Вычислить
∫𝑙 2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦, 𝑙 − дуга параболы 𝑥 = 2𝑦 2 от О(0;0) до А(2;1)
10.Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить
(1;𝑒) −𝑥
1 1 (𝑒
; )
∫(
−
22
2
𝑥3𝑦
1
)𝑑𝑥 + (𝑙𝑛𝑦 −
𝑥2𝑦2
)𝑑𝑦
11.Найти дивергенцию векторного поля
⃗
𝐹 = 𝑦 2 𝑧 3 𝑖 + 2𝑥𝑦𝑧 3 𝑗 + 3𝑦 2 𝑧 2 𝑘
в А(1;1;1)
Вариант 28
1. Найти 𝑑𝑧,
3
𝑧=
2. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
,
𝑥+𝑦
𝑧 = ln (
3. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
√3𝑥−5
cos(𝑥𝑦+7𝑦 2 )
𝑦
), где 𝑦 = cos 3𝑥
,
4𝑦 2 𝑧 + 𝑥 tg(𝑦𝑧) = 0
𝜕𝑢
4. Найти ( ) в направлении, составляющем одинаковые тупые углы с
𝜕𝑒
𝑀
осями координат
𝑥
𝑢 = 𝑥 arcsin √ + 𝑥 2 𝑦𝑧, 𝑀(1; 2; 1)
𝑦
̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧) ,
5. Найти (𝑔𝑟𝑎𝑑
𝐴
𝑧=
𝑥
√2𝑥 2 +𝑦 2
, 𝐴(2; 1)
6. Найти экстремумы функции
8
𝑥
𝑥
𝑦
𝑧 = + + 𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0)
7. Изменить порядок интегрирования
2𝑥
1
∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
0
𝑥
8. Применяя формулу Грина, вычислить
𝑐: 𝑦 = 2 −
𝑥2
2
;𝑦=
𝑥2
4
∮С (2𝑥𝑦 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑑𝑦,
− 1;𝑥 = 0 (𝑥 ≥ 0)
9. Вычислить криволинейный интеграл ∫𝐿 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 вдоль пути
𝐿: 𝑦 = 𝑒 𝑥 от 𝐴 (0; 1) до 𝐵 (1; 𝑒)
10. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования, и вычислить
(2;3)
𝑥
∫(1;1) ln 𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 + 2) 𝑑𝑦
̅̅̅̅̅̅̅ (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ))
11. Найти 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑
Вариант 29
1. Найти 𝑑𝑧,
𝑥2 + 4
𝑧 = sin (log 5
)
𝑦3
2. Найти
𝑑𝑢
𝑑𝑡
,
𝑢=
3. Найти
𝜕𝑧
𝜕𝑥
и
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝑦𝑧
𝑥
; 𝑥 = 𝑒 3𝑡 ; 𝑦 = 𝑡 2 − 1; 𝑧 =
1
cos 𝑡
,
𝑥
(3𝑥 − 𝑧𝑦) tg + 𝑦 2 𝑧 = 0
𝑧
𝜕𝑧
4. Найти ( ) в направлении, составляющем с осью 𝑂𝑋 угол 135°, 𝑀(−1; 2)
𝜕𝑒
𝑀
𝑧 = 𝑥 2 tg(𝑦 2 + 4𝑥)
5. Найти величину наибольшего подъема поверхности 𝑧 = 3𝑥 2 + 4𝑦 2 в точке
𝐴(1; 1; 7)
6. Найти экстремумы функции
𝑧 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦
7. Изменить порядок интегрирования
𝑦
0
∫ 𝑑𝑦
−1
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
−√2−𝑦 2
8. Применяя формулу Грина, вычислить
∮𝐶
𝑥
𝑦
𝑑𝑥 + 2 ln 𝑥𝑑𝑦, 𝑐 − контур △ 𝐴𝐵𝐶: 𝐴(1; 0), 𝐵(2; 2), 𝐶(1,2)
9. Вычислить криволинейный интеграл вдоль пути 𝐿: 𝑦 =
𝜋
sin 𝑥 от 𝐴(0; 0) до 𝐵 ( ; 1) ∫𝐿 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦
2
10. Доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования, и вычислить
(1;2)
∫(0;1) (𝑒 𝑥
ln 𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑥 +
𝑒𝑥
𝑦
𝑑𝑦
⃗ ; 𝑣 = 𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑥𝑘
⃗ . Найти:1) |𝑢
11. Даны векторы 𝑢
⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗ × 𝑣|
2) 𝑑𝑖𝑣(𝑢
⃗ × 𝑣)
3) 𝑟𝑜𝑡(𝑢
⃗ × 𝑣)
̅̅̅̅̅̅̅ |𝑢
4) 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗ × 𝑣|
Вариант 30
№1
1)Z=lg(√𝑥 + 𝑥 3 + 5𝑥𝑦 ). Найти dz.
2)Z=𝑋 2 arccos(y). Найти 𝑑 2 z.
№2
√𝑦
𝑑𝑧
1)z=𝑐𝑡𝑔2 ( 𝑥 ), где y=𝑒 2𝑥 . Найти 𝑑𝑥.
𝜕𝑧 𝜕𝑧
2)Функция z=f(x,y) задана уравнением arcsin(xy) +y𝑧 2 - cos(z)=0. Найти 𝜕𝑥; 𝜕𝑦.
№3
𝑧2
Найти производную функции u= ln(𝑥−𝑧𝑦) в точке М(3;1;-1) в направлении, составляющем
равные острые углы с осями координат.
№4
𝑥
Найти → u в точке Р(2;1;1), если u= 𝑦 - √𝑧, и его направление.
𝑔𝑟𝑎𝑑
№5
1 1
Найти экстремум функции z=𝑥 2 + xy + 𝑦 2 + 𝑥 +𝑦 , x> 0, 𝑦 > 0.
№6
0
𝑦
Изменить порядок интегрирования: ∫−1 𝑑𝑦 ∫−√2−𝑦2 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
№7
Вычислить, используя формулу Грина: ∮с (𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥), где с − окружность:{
𝑥 = cos(𝑡)
,
𝑦 = sin(𝑡) .
№8
Вычислить ∫𝐿 (𝑥 3 − 𝑦)dx + xdy по дуге параболы y=2x-𝑥 2 , расположенной над осью OX,
пробегаемой по ходу часовой стрелки.
№9
(0;3) 2𝑥(1−𝑒 𝑦 )
Вычислить интеграл, не зависящий от пути интегрирования: ∫(2;0)
dx + (
2
(1+𝑥 2 )
𝑒𝑦
1+𝑥 2
1)dy.
№10
𝜋
𝜋 𝜋
Найти дивергенцию векторного поля: →=xcos(y) → +ycos(z)→ в точке А(2 ; − 2 ; 4 ).
𝐹
𝑖
𝑗
+