Задача 1 – 15 баллов - Казанский (Приволжский) федеральный

Межрегиональная олимпиада Казанского Федерального Университета
Физика, 9 класс
Задача 1 – 15 баллов
В настоящее время в молодежной среде все более популярным становится паркур искусство перемещения и преодоления препятствий. Одним из его элементов является
“Up from down jump” - прыжок вдаль с большой высоты. При приземлении используется
ролл – кувырок через плечо. Объясните, почему приземление с кувырком предпочитается
обычному приземлению на ноги, которым пользуются все при прыжках с небольших
высот. Какие еще параметры прыжка представляются Вам важными для безопасного
приземления с большой высоты?
Решение задачи 1
Главная идея использования ролла – увеличение пути, на котором происходит
торможение отдельных частей тела. Больший путь требует меньшего ускорения, и значит,
приземление будет более безопасным. Важным представляется наличие горизонтальной
составляющей скорости в момент приземления. Для простоты кувырка.
Задача 2 – 20 баллов
Помогите разобраться в парадоксе. На рисунке 1 показано
сечение доски, наполовину погруженной в воду. Буквой С
обозначена точка приложения силы тяжести, буквой А –
силы Архимеда. Эти силы равны друг другу поэтому доска
не тонет. Если слегка повернуть эту доску (рис 2), то
указанные силы будут создавать момент увеличивающий
угол поворота. Т.е. доска начнет вращаться. Подобный
небольшой поворот может возникнуть, например, по
причине легкого волнения воды, которое существует
практически всегда. Но ведь тогда получается, что доска,
плавающая в воде должна постоянно вращаться! Где ошибка
в рассуждениях?
Решение задачи 2
Рисунок 1
Рисунок 2
На рисунке 2 ошибка. При наклоне доски меняется форма погружённой части. Точка
приложения архимедовой силы при этом сместится. На рисунке – вправо, т.к. справа
объём погруженной части больше. При этом вращающий момент сил будет возвращать
доску в первоначальное положение.
Задача 3 – 15 баллов
В U образную вертикально установленную трубку постоянного диаметра налита вода и
равное по объёму количество не смешивающейся с ней жидкости. Разница высот уровней
жидкости равна h. Найдите плотность неизвестной жидкости.
Решение задачи 3
В общем случае в условии не хватает данных, поэтому задача не имеет решения. Докажем
это.
Во-первых, жидкости можно налить так, что в каждом из колен трубки окажутся по
два вида жидкостей в неизвестных объемных пропорциях. Для случая, когда менее
плотная жидкость будет находиться только в одном колене, тоже нельзя получить ответ на
основе представленных данных. В самом деле, если обозначить высоту границы раздела
жидкостей h1, высоту верхнего уровня более плотной жидкости h2 , а высоту верхнего
уровня менее плотной жидкости h3, условие равновесия жидкости ниже h1 примет вид: (h2
 h1)gρ1  (h3  h1)gρ2  (h3  h2 h2  h1)gρ2 (плотности жидкостей ρ1  ρ2). Отсюда ρ1/ρ2 
h/(h2  h1) + 1. Но разница уровней более плотной жидкости в разных коленах (h2  h1) не
известна, поэтому при одной известной плотности, другую найти нельзя.
В пренебрежении диаметром трубки и длиной закругленной части (колена) трубки
по условию задачи (равенство объёмов жидкостей), справедливо ещё одно уравнение
(h3  h1)  (h2  h1) + 2h1. Откуда (h3  h2)  h  2h1 .Тогда (h2  h/2)gρ1  (h h2  h/2)gρ2
И мы вновь получаем уравнение с двумя неизвестными (h2 и одно из ρ), которое не имеет
решения.
Задача 4 – 15 баллов
В калориметре налито M грамм воды при температуре t. На поверхность воды опускают
кусок льда, имеющий температуру 0 ºС, с замороженной внутри железной гайкой. Масса
гайки равна m, а масса льда (без гайки) n. Найти температуру воды, когда кусок льда
полностью опустится под воду.
Решение задачи 4
Если лёд с гайкой утонут, то в конечном состоянии масса льда и железа равны
массе воды в их объёме. Тогда для оставшейся массы льда получаем уравнение
nл  m(1ρв/ρж)/( ρв/ρл1). Энергия на плавление массы льда Δ  n nк заберётся от воды.
Тогда уравнение теплового баланса можно записать Δ·λ+Δ·c·tx M·c· (t tx). Здесь
температуры измеряются по шкале Цельсия. Из этого уравнения можно найти конечную
𝑀∙𝑐∙𝑡−∆∙λ
температуру: 𝑡𝑥 = 𝑐∙(∆+𝑀) . При этом надо иметь в виду, что tx ≥ 0. Поэтому M·c·t ≥ Δ·λ .
Т.е. внутренней энергии воды должно хватить по крайней мере на плавление достаточного
(для того чтобы остаток с гайкой утонул) количества льда.
Задача 5 – 20 баллов
На рисунке изображен электронный осциллограф с
подключенным к нему фотодиодом. Фотодиод
развернут в сторону экрана осциллографа.
Объясните, почему луч отклоняется в вертикальном
направлении. Возможно ли, с помощью манипуляций
с осциллографом, увеличить или уменьшить это
отклонение? В какую сторону вдоль горизонтали
движется луч осциллографа?
Решение задачи 5
Когда фотодиод развёрнут в сторону экрана осциллографа, фотоэдс зависит от яркости
экрана. Когда луч, двигаясь по экрану, попадает в поле зрения фотодиода, фотоэдс
увеличивается. Отклонение пучка электронов зависит от фотоэдс и коэффициента
усиления. Если последний очень мал, то отклонение пучка в вертикальном направлении
будет незаметным. Однако увеличение коэффициента усиления не приведёт к отклонению
луча за границы фотодиода, т.к. при этом упадёт до нуля фодоэдс. Таким образом, при
большом коэффициенте усиления максимальное отклонение будет ограничено размерами
зрачка фотодиода. Вследствие инерции электронов в области за диодом форма пика
должна быть более пологой. Таким образом, луч на рисунке движется слева направо с
точки зрения наблюдателя.
Задача 6 – 15 баллов
Каково должно быть соответствие между ростом человека и размерами зеркала в
гардеробной?
Решение задачи 6
Половина роста человека. Рассмотрите рисунок, где указаны лучи, построенные согласно
закону отражения света.
Межрегиональная олимпиада Казанского Федерального Университета
Физика, 10 класс
Задача 1 – 15 баллов
Очень удобно заваривать чай пакетиками с заваркой, погружая их в горячую воду. Для
ускорения заварки пакетик, подвешенный к нити, периодически макают в воду. При этом
можно обратить внимание на забавную особенность: если пакетик полностью вытащить
из воды, он начинает вращаться, если же он полностью погружен в воду – вращение
быстро прекращается, даже если пакетик не касается стенок стакана. Объясните такое
поведение пакетика. Почему возникает вращение, и почему оно пропадает?
Решение задачи 1
Обычно нити делают из волокон, заплетённых вокруг друг друга в подобие косички.
Каждое из волокон, таким образом, не только вытянуто вдоль нити, но и огибает своих
соседей. При натяжении под действием силы тяжести пакетика волокна стремятся
вытянуться вертикально. Нить при этом раскручивается. Если пакетик оказывается в
жидкости, сила Архимеда уменьшает натяжение волокон и вращающий момент исчезает.
Начальное же вращение уничтожается силами вязкого трения.
Задача 2 – 15 баллов
На рисунке изображена забавная игрушка. К
деревянному цилиндру на пружинке прикреплена
вырезанная из дерева птичка. В цилиндре имеется
отверстие, в которое вставлен вертикальный
металлический стержень. Если птичка неподвижна
относительно цилиндра, последний не перемещается,
несмотря на действие силы тяжести. Если же птичку
раскачать на пружинке вверх-вниз, цилиндр начнёт
опускаться. Объясните подобное поведение игрушки.
Решение задачи 2
Не раскачивающаяся игрушка, очевидно, удерживается от падения силой трения покоя
между стержнем и цилиндром. Раз движение вдоль стержня, по условию возможно,
значит отверстие в цилиндре больше диаметра стержня. Откуда же тогда возникает сила
давления, необходимая для возникновения силы трения? Дело в том, что птичка, стремясь
упасть, поворачивает цилиндр. При этом верхний край цилиндра упирается в стержень с
одной стороны, а нижний – с другой. Как следствие, возникают силы давления на
стержень, и сила трения покоя. Если же раскачать птичку, то в некоторые моменты
времени отверстие в цилиндре не будет касаться стержня, сила трения будет
отсутствовать – цилиндр будет падать.
Задача 3 – 20 баллов
На горизонтальной поверхности лежат два бруска массами m1 и m2, соединённые лёгкой
пружиной жёсткости k. Коэффициент трения о поверхность стола обоих брусков равен .
В некоторый момент времени на первый брусок начинает действовать постоянная сила F.
Найдите её минимальное значение, необходимое для того, чтобы сдвинуть с места второй
брусок.
Решение задачи 3
Сила упругости растянутой пружины Fу  kx. При Fу ≥ μm2g второй брусок сдвинется с
места. При смещении первого бруска на расстояние x сила F обязательно должна
совершить работу по увеличению потенциальной энергии пружины, по преодолению
работы силы трения и увеличению кинетической энергии первого бруска:
Fx  kx2/2 μm1gx + m1v2/2.
Первые два слагаемых в правой части можно уменьшить, только уменьшая x. Однако из
первых двух соотношений для Fу следует, что x не может быть меньше заданного в
условии значения μm2g/k. Тогда единственным способом уменьшения работы силы F
остается уменьшение до нуля изменения кинетической энергии первого груза. То есть
этот брусок движется сначала ускоренно, потом замедленно, и в момент начала движения
второго бруска останавливается. Тогда: Fx  kx2/2 μm1gx. Из приведённых уравнений
найдём: F  μg(m2/2+m1).
Задача 4 – 15 баллов
В цилиндрический сосуд налита вода комнатной температуры. Сосуд плотно закрыт
крышкой с продетой сквозь неё трубкой, погружённой в воду. Если сосуд обливать
горячей водой, из трубки начнет бить фонтан. Оцените максимальную высоту подъёма
струи.
Решение задачи 4
Фонтан начинает бить, так как воздух внутри сосуда нагревается, давление в сосуде
увеличивается. Оценим высоту подъёма воды. Обозначив давление воздуха и температуру
в сосуде P1 и T1, учитывая закон Гей-Люссака для газа в сосуде Pа/Tк P1/T1, получаем P1 
Pа+ Pа(T1 – Tк)/Tк. Это давление можно уравновесить давлением столба воды высотой:
h  (P1 – Pа)/(ρвg)  Pа(T1 – Tк)/(Tк ρвg) 105·80/(300·103·10) м2.6 м
Задача 5 – 20 баллов
До какого напряжения зарядится конденсатор, показанный на
схеме.
Решение задачи 5
Постоянный ток не течёт через конденсатор, а следовательно, через сопротивление R2 .
Тогда по закону Ома напряжение на R2 равно 0. С другой стороны, сумма напряжений на
R2 и конденсаторе должна равняться напряжению на сопротивлении R3 (параллельное
соединение). Отсюда делаем вывод, что напряжение на конденсаторе равно напряжению
на сопротивлении R3. Через последовательно включенные резисторы R1 и R3 по закону
Ома течёт ток E/(R1+R3) . Тогда напряжение на R3 , а значит, и искомое напряжение на
конденсаторе равно ER3/(R1+R3).
Задача 6 – 15 баллов
Каково должно быть соответствие между ростом человека и размерами зеркала в
гардеробной?
Решение задачи 6
Половина роста человека. Рассмотрите рисунок, где указаны лучи, построенные согласно
закону отражения света.
Межрегиональная олимпиада Казанского Федерального Университета
Физика, 11 класс
Задача 1 – 15 баллов
На рисунке изображена забавная игрушка. К
деревянному цилиндру на пружинке прикреплена
вырезанная из дерева птичка. В цилиндре имеется
отверстие, в которое вставлен вертикальный
металлический стержень. Если птичка неподвижна
относительно
цилиндра,
последний
не
перемещается, несмотря на действие силы тяжести.
Если же птичку раскачать на пружинке вверх-вниз,
цилиндр начнёт опускаться. Объясните подобное поведение игрушки.
Решение задачи 1
Не раскачивающаяся игрушка, очевидно, удерживается от падения силой трения покоя
между стержнем и цилиндром. Раз движение вдоль стержня, по условию возможно,
значит отверстие в цилиндре больше диаметра стержня. Откуда же тогда возникает сила
давления, необходимая для возникновения силы трения? Дело в том, что птичка, стремясь
упасть, поворачивает цилиндр. При этом верхний край цилиндра упирается в стержень с
одной стороны, а нижний – с другой. Как следствие, возникают силы давления на
стержень, и сила трения покоя. Если же раскачать птичку, то в некоторые моменты
времени отверстие в цилиндре не будет касаться стержня, сила трения будет
отсутствовать – цилиндр будет падать.
Задача 2 – 15 баллов
В цилиндрический сосуд налита вода комнатной температуры. Сосуд плотно закрыт
крышкой с продетой сквозь неё трубкой, погружённой в воду. Если сосуд обливать
горячей водой, из трубки начнет бить фонтан. Оцените максимальную высоту подъёма
струи.
Решение задачи 2
Фонтан начинает бить, так как воздух внутри сосуда нагревается, давление в сосуде
увеличивается. Оценим высоту подъёма воды. Обозначив давление воздуха и температуру
в сосуде P1 и T1, учитывая закон Гей-Люссака для газа в сосуде Pа/Tк P1/T1, получаем P1 
Pа+ Pа(T1 – Tк)/Tк. Это давление можно уравновесить давлением столба воды высотой:
h  (P1 – Pа)/(ρвg)  Pа(T1 – Tк)/(Tк ρвg) 105·80/(300·103·10) м2.6 м.
Задача 3 – 15 баллов
Вдоль
диаметра
цилиндрического
стакана,
заполненного жидкостью, лежит линейка. В стакан
вплотную с линейкой опускают стержень (см. рисунок). Найдите коэффициент
преломления жидкости.
Решение задачи 3
Пренебрегая влиянием стеклянных стенок сосуда (сосуд тонкостенный), рассмотрим ход
лучей от удалённого наблюдателя Р к палочке, находящейся в точке С (см. рисунок).
Пусть луч падает в точку А под углом  и преломляется под углом . Радиус
цилиндрического сосуда |ОА|  R.
Наблюдатель видит, что изображение палочки смещается вдоль диаметра и оказывается
вблизи точки D на продолжении луча РА.
Из рисунка видно, что:
OC  OB  BC  R sin   R cos   tg     
(1)
R  tg

cos   tg  sin 
Аналогично,
R  tg
(2)
OD  OB  BD 
cos   tg  sin 
Тогда :
OD tg   cos   tg  sin  
cos    

 n
(3)
OC tg   cos   tg  sin  
cos     
Теперь необходимо сделать численные оценки из увиденного. В
показанном эксперименте угол  30°, следовательно,
cos()1. Для большинства жидкостей показатель
преломления не превосходит 1,7. В этом случае угол
преломления будет не менее 17°, и разность углов и 
составит примерно    13°. Тогда cos()  0,97. Таким
образом, можно считать, что отношение косинусов в
выражении (3) с ошибкой не более 5% равно 1. Так как
точность измерений расстояний |OC| и |OD| "на глазок"
значительно ниже (не точнее 10%), то показатель преломления
можно оценить, в пределах точности измерений, взяв
отношение |OD| к |OC|. Эти величины равны, очевидно, 4 и 3 см, соответственно.
Тогда n  4/3  1,33.
.
.
.
Задача 4 – 15 баллов
В показанной на рис схеме ключ сначала устанавливают в положение
1, а затем – 2. Найдите отношение энергии второго конденсатора в
состоянии равновесия к работе, затраченной источником. C1 = C2
Решение задачи 4
Первый конденсатор зарядится до напряжения равного эдс источника тока, при этом на
нём соберётся заряд q E·C, после переключения ключа этот заряд распределится между
конденсаторами поровну. На втором конденсаторе заряд будет E·C/2 . Его энергия E2·C/8.
Работа эдс будет равна E2·C. Отношение составит 1/8.
Задача 5 – 20 баллов
В результате сложной ядерной реакции в вершинах квадрата со стороной l оказались две
-частицы и два позитрона. Причём одинаковые частицы расположены на диагоналях.
Оцените скорости, с которыми они покинут зону наблюдения с характерным размером в
несколько сантиметров.
Решение задачи 5
Так как масса позитронов намного меньше массы -частиц, мы можем считать, что
сначала улетают позитроны, а потом разлетаются -частицы. Потенциальная энергия
2∙2∙2𝑒 2
𝑒2
позитронов в начальный момент времени:
+
, на бесконечности она перейдёт
𝑙
√2𝑙
2
в кинетическую энергию позитронов: 2mv /2. После разлёта позитронов мы можем
(2𝑒)2
рассмотреть движение -частиц. Их первоначальная потенциальная энергия
√2𝑙
8√2+1
2√2
превращается в кинетическую 2MV2/2. Таким образом, 𝑣 = 𝑒√ 𝑙𝑚√2 , 𝑉 = 𝑒√ 𝑙𝑀
Задача 6 – 20 баллов
На рисунке изображен электронный осциллограф с
подключенным к нему фотодиодом. Фотодиод
развернут в сторону экрана осциллографа.
Объясните, почему луч отклоняется в вертикальном
направлении. Возможно ли, с помощью манипуляций
с осциллографом, увеличить или уменьшить это
отклонение? В какую сторону вдоль горизонтали
движется луч осциллографа?
Решение задачи 6
Когда фотодиод развёрнут в сторону экрана осциллографа, фотоэдс зависит от яркости экрана.
Когда луч, двигаясь по экрану, попадает в поле зрения фотодиода, фотоэдс увеличивается.
Отклонение пучка электронов зависит от фотоэдс и коэффициента усиления. Если последний
очень мал, то отклонение пучка в вертикальном направлении будет незаметным. Однако
увеличение коэффициента усиления не приведёт к отклонению луча за границы фотодиода, т.к.
при этом упадёт до нуля фодоэдс. Таким образом, при большом коэффициенте усиления
максимальное отклонение будет ограничено размерами зрачка фотодиода. Вследствие инерции
электронов в области за диодом форма пика должна быть более пологой. Таким образом, луч на
рисунке движется слева направо с точки зрения наблюдателя.