Решения репетиционного экзамена. Математика (базовый уровень) 11 класс Вариант 110203 1.Вычислите (1

Решения репетиционного экзамена. Математика (базовый уровень) 11 класс
Вариант 110203
7
1
1.Вычислите (1 8 − 8 2) 8.
7
1
15
Решение. Выполним преобразования: (1 8 − 8 2)8 = ( 8 −
−
53 8
8
17
2
15
)  8 =( 8 −
68
8
) 8 =
= −53.
Ответ: - 53
2.Найдите значение выражения
1,6103
410−1
.
Решение. Преобразуем выражение, используя свойства степени:
0,4 104 = 0,410000 = 4000.
1,6103
410−1
16
=40 103−(−1) =
Ответ: 4000
3. Ежемесячная плата за телефон составляет 200 рублей в месяц. В следующем году она
увеличилась на 2%.Сколько рублей будет составлять ежемесячная плата за телефон в
следующем году?
Решение. Посчитаем, сколько рублей составляет 2% от 200 рублей: 200  0,02 = 4(руб).
Значит, в следующем году плата составит: 200+4 = 204(рубля)
Ответ: 204
4. Работа постоянного тока ( в джоулях) вычисляется по формуле 𝐴 =
𝑈2 𝑡
𝑅
, где U -
напряжение ( в вольтах), R - сопротивление (в омах), t - время ( в секундах). Пользуясь
этой формулой, найдите А (в джоулях), если t =15с, U = 6 В и R= 9Ом.
Решение. Подставим данные, согласно формуле: А =
62  15
9
= 60.
Ответ: 60
5. Найдите cos x , если sinx = - 0,6 и 270° < х < 360°.
Решение. Поскольку угол х лежит в четвертой четверти, его косинус положителен.
Поэтому
cos x = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = √1 − (−0,6)2 = √1 − 0,36 = √0,64 = 0,8.
Ответ: 0,8
6. В среднем за день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция
длится 7 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая
хватит на все дни конференции?
Решение. Узнаем сколько пакетиков чая потребуется на 7 дней: 70  7 = 490 .
Вычислим сколько пачек чая потребуется на все дни конференции: 490100 = 4,9.
Значит, на все дни конференции потребуется 5 пачек чая.
Ответ: 5.
7. Решите уравнение х2 + 12 = 7х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
укажите меньший из них.
Решение: Преобразуем данное уравнение х2 + 12 = 7х  х2 - 7х + 12 = 0. По теореме
Виета для квадратного уравнения х1  х2 = 12, х1 + х2 = 7.Таким образом, х1 = 3, х2 = 4.
Наименьший корень х = 3.
Ответ: 3.
8.Какой наименьший угол ( в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в
1300?
Решение: Меньший угол ( в градусах), который образуют минутная и часовая стрелки
часов в 1300 составляет одну двенадцатую часть от всего круга, т.е. искомый угол
составит: 36012 = 30.
Ответ: 30
9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
А) диаметр монеты
Б) рост жирафа
В) высота Эйфелевой башни
Г) радиус Земли
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 6400 км
2) 324 м
3) 20 мм
4) 5 м
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A
Б
В
Г
Решение:
Определим наибольшую из величин — радиус Земли, следовательно, значение 1). Определим наименьшую из величин — диаметр монеты, следовательно, значение 3). Рост жирафа
из оставшихся двух значений удовлетворяет
значению 4). Оставшаяся величина - высота Эйфелевой башни, следовательно, принимает значение 2).
О т в е т : 3421.
10. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Пояснение.
Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3:10 = 0,3.
О т в е т : 0,3.
11. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц
2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 2003 году. Ответ дайте в
градусах Цельсия.
Пояснение.
Из диаграммы видно, что наибольшая среднемесячная температура составляла 20 °C (см. рисунок).
О т в е т : 20.
12. Для группы иностранных гостей требуется купить 12 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Цена путеводителя и условия доставки
всей покупки приведены в таблице.
Интернет- Цена одного
путеводителя
магазин
(руб.)
Стоимость
доставки
(руб.)
Дополнительные условия
А
280
250
Нет
Б
270
350
Доставка бесплатно, если
сумма заказа превышает 3600
руб.
В
300
250
Доставка бесплатно, если
сумма заказа превышает 3500
руб.
Во сколько рублей обойдется наиболее дешевый вариант покупки с доставкой?
Решение:
Рассмотрим все варианты.
При покупке в магазине А цена двенадцати путеводителей составит 3360 руб., с доставкой —
3610 руб.
При покупке в магазине Б цена двенадцати путеводителей составит 3240 руб., с доставкой —
3590 руб.
При покупке в магазине В цена двенадцати путеводителей составит 3600 руб., доставка будет
бесплатной.
Следовательно, наименьшая стоимость покупки с учётом доставки составляет 3240 руб.
О т в е т : 3240
13. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=40 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое
больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Объём воды, налитой в цилиндр, высотой h и радиусом равен 𝛑𝙍 2 h.Следовательно, при
увеличении радиуса цилиндра в 2 раза, при неизменном объёме, высота стола воды окажется в 22
=4 раза меньше, значит, вода во втором цилиндре достигнет уровня 10 см.
О т в е т : 10 см.
14.
Решение. Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Он положителен и меньше 1, если касательная наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом меньше 45°; больше 1, если угол наклона больше 45°, но
меньше 90°;если угол наклона больше 90° ,то угловой коэффициент отрицательный. Поэтому в
точке А угловой коэффициент положителен и больше 1, в точке Д — угловой коэффициент положителен и меньше 1, в точке В — отрицателен и больше −1, в точке С — отрицателен и меньше
−1. Таким образом, получаем соответствие А — 4, В — 3, С – 1 и Д — 2.
О т в е т : 4312
15. В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС, медиана ВМ равна 4 см. Площадь треугольника
АВС равна 8√5. Найдите длину стороны АВ.
Решение. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой
треугольника, значит, равна 4см. Из формулы площади треугольника S = 1|2ah вычислим
основание равнобедренного треугольника АС = S0.5h = 8√5  (0,54) = 8√5  2 = 4√5 см.
Из прямоугольного треугольника АМВ по теореме Пифагора вычислим длину стороны АВ.
АМ2 + ВМ2 =АВ2, (2√5)2 + 42 = 20 + 16 = 36, АВ2 = 36, значит АВ = 6см.
Ответ: 6
16. Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллель-
ное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.
Решение:
Сечение, параллельное оси цилиндра — прямоугольник. Одна его сторона равна образующей цилиндра. Найдем вторую его сторону из прямоугольного треугольника в основании по формуле: АВ = 2 √𝑟 2 − ℎ2 , где AB − данная сторона, r − радиус основания цилиндра, а h − расстояние от сечения до оси цилиндра. АВ = 2√132 − 122 = 2 5 = 10. Таким
образом, площадь данного сечения равна 18  10 = 180.
О т в е т : 180.
17. Решение: Рассмотрим соотношения:
29
3
2) 13 = 2 13 , это число соответствует точке С;
37
3
4) ( 3 )-1 = 37 ≈ 0,08 это число соответствует точке А;
3) √10 ≈ 3,1 это число соответствует точке Д;
1) log 5 7 , это число соответствует точке В.
Значит, А – 4, В – 1, С – 2, Д – 3.
Ответ: 4123
18. В фирме N работают 60 человек, из них 50 человек знают английский язык, а 15 человек
— французский. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
В фирме N
1) если человек знает французский язык, то он знает и английский
2) хотя бы три человека знают оба языка
3) не больше 15 человек знают два иностранных языка
4) нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки
В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
1) Утверждение не следует из приведённых данных.
2) Утверждение следует из приведённых данных. Оба языка знают минимум 5 человек.
3) Утверждение не следует из приведённых данных, поскольку сотрудники могут знать другие
языки помимо французского и английского.
4) Утверждение не следует из приведённых данных.
О т в е т : 2.
19. Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15.
В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Решение:
Если число делится на 15, то оно также делится на 3 и на 5. Поэтому в последнем разряде
числа должен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёркиваем 27. Остаётся 745135. Посчитаем
сумму цифр — 25. Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была
кратна трём. В таком случае можно вычеркнуть цифру 1 и получить число 74535, цифру 4 и получить 75135 или вычеркнуть цифру 7 и получить число 45135.
О т в е т : 74535, 75135 или 45135.
20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного
пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42
медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение:
Пусть Николай сделал сначала х операций второго типа, а затем у операций первого
типа. Тогда имеем:
4х − 3у = 0, количество золотых монет не изменилось
х = 18,
{
 {
у = 24.
х + у = 42, медных монет стало на 42 больше.
Тогда серебряных монет стало на 4у – 7х = 96 – 126 = - 30 больше, то есть на 30 меньше.
Ответ : 30.