олимпиадные задачи2
реклама
Условие В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте. Решение Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет. Ответ Дяде Федору 11 лет. Условие Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 — на учебу в школе, 1/6 — на просмотр кинофильмов, 1/70 — на решение олимпиадных задач, и 1/3 — на сон. Можно ли так жить? Решение Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/70 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Ответ Нет, так жить нельзя. Условие В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример. Решение Если из суммы двух чисел вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе слагаемое равно 2000, а первое – 6. Ответ 6 + 2000 = 2006. 1 Условие Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте. Решение Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 * 4 = 72 метра. Ответ 72 метра. Условие В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми? Решение Витя полил 1003 куста, из них 1000 он поливал один, а три — вместе с Аней. Точно так же Аня полила 1003 куста, из них 1000 она поливала в одиночку, а три — с Витей. Значит, вместе они полили 1000 + 1000 + 3 = 2003 куста. Следовательно, остались не политыми 2006 - 2003 = 3 розовых куста. Ответ 3 куста. Условие 2 Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами? Решение Пусть, например, A = 219. Тогда B = 912, A + B = 1131. Ответ Да, может. Условие У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число. Решение Первая цифра в два раза больше второй только у следующих двузначных чисел: 21, 42, 63 и 84. Проверкой убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет только число 21. Ответ 21.00 Условие На вопрос о возрасте его детей математик ответил: "У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет". Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день? Решение Год назад суммарный возраст детей был 11 лет, значит, родителям в сумме было 59 лет. А в год рождения первенца эта сумма равнялась 45. Значит, между этими двумя событиями прошло (59 – 45):2 = 7 лет. Следовательно, первому ребенку год назад было 7 лет, а второму – 4. Ответ 8 лет, 5 лет, 1 год. Условие 3 Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца? Решение Так как Петя оказался на десятом месте, а Вася финишировал перед ним, то Вася занял девятое место. Вася был пятнадцатым с конца, значит за ним финишировало еще четырнадцать человек. Следовательно, в гонке участвовало 23 человека. Ответ 23 человека. Условие Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10 , равно 1000 . Найдите их сумму. Решение Так как 1000 =53· 23 , то каждое из чисел в своем разложении на простые множители может содержать только двойки и пятёрки. Заметим, что оба этих множителя не могут присутствовать в разложении одного числа, иначе оно будет делиться на 10 . Следовательно, одно из чисел равно 53 , а другое — 23 . Тогда их сумма равна: 53 + 23 = 125 + 8 = 133 . Ответ 133 . Условие Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22.00 , на нем установили точное время. На какое время надо завести звонок, чтобы будильник зазвенел ровно в 6.00 ? Ответ объясните. Решение За сутки ( 24 часа) будильник уходит вперед на 9 минут, поэтому за 8 часов с 22.00 до 6.00 он уйдет вперед на 3 минуты, то есть в 6.00 он будет показывать 6.03 . На это время и надо его завести. Ответ 4 на 6 часов 3 минуты. Условие Во время игры в шахматы у Ёжика в какой-то момент оказалось на доске в два раза меньше фигур, чем у Медвежонка, при этом их было в пять раз меньше, чем свободных клеток на доске. Сколько фигур Медвежонка было съедено к этому моменту? (Напомним, что размер доски8× 8 и в начале игры у каждого по 16 фигур.) Решение Пусть у Ёжика осталось x фигур, тогда у Медвежонка осталось 2x фигур, а свободных клеток на доске — 5x . По условию задачи x + 2x + 5x =64 . Таким образом, x = 8 . Следовательно, у Медвежонка — 16 фигур, то есть ни одной не съедено. Ответ ни одной фигуры не было съедено. Условие Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько дают лимонов на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов? Решение Составим пропорцию по условию задачи: 20 лимонов — x р; x лимонов — 500 р. Таким образом, 20 : x = x : 500 , то есть x · x = 20 · 500 ; x · x = 10000 ; x = 100 . Два десятка лимонов стоят 100 рублей, значит, один десяток стоит 50 рублей. Можно также найти ответ подбором, проверить, что он удовлетворяет условию задачи, а затем показать, что как в случае, когда десяток лимонов стоит больше, чем 50 рублей, так и в случае, когда десяток лимонов стоит меньше, чем 50 рублей, условие задачи не выполняется. Ответ 50 рублей. Условие В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от 1 до 5 . В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь 5 номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах. Решение Пусть Василиса запишет на стенах камер указанный набор номеров. Тогда первые два узника будут каждую ночь меняться местами, то есть каждый из них будет возвращаться на свое изначальное место раз в два дня. Остальные три узника будут возвращаться на свои места раз в три дня. Поскольку числа 2 и 3 взаимно просты, то мы получим шесть различных размещений узников по камерам. Ответ например: 2 , 1 , 4 , 5 , 3 (в порядке номеров камер). Условие Электронные часы показывают часы и минуты (например, 16:15 ). Тренируясь в счете, Буратино находит сумму цифр на этих часах ( 1 + 6 +1 + 5 = 13 ). Запишите такое время суток, когда сумма цифр на часах будет наибольшей. Решение От учащихся не требовалось приводить вычисления или какие-то обоснования. Ответ 19:59 . Условие Какие цифры могут стоять на месте букв в примере AB · C = DE , если различными буквами обозначены различные цифры и слева направо цифры записаны в порядке возрастания? Решение 6 Переберем наибольшие возможные значения числа DE . Числа 89 и 79 — простые, поэтому не могут являться решениями. Далее рассмотрим число 78 , переберем его однозначные делители и получим ответ, приведенный выше. Дальнейшим перебором можно убедиться, что этот ответ — единственный. Ответ 13 · 6 = 78 . Условие Однажды Миша, Витя и Коля заметили, что принесли в детский сад одинаковые игрушечные машинки. У Миши есть машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Вити есть машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, а у Коли — большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ объясните. Решение Если бы Коля принес синюю маленькую машинку с прицепом, то Витя должен был принести машинку с прицепом, но у Вити она зеленая. Значит, Коля принес большую машинку, а Витя не маленькую, то есть машинку без прицепа. Тогда Миша не мог принести машинку с прицепом, и не мог принести маленькую машинку. Значит, Миша должен был принести зеленую машинку без прицепа. Таким образом, каждый из мальчиков принес большую зеленую машинку без прицепа. Ответ большую зеленую машинку без прицепа. Условие На рынке 10 бубликов меняют на 3 ватрушки, а одну ватрушку на 3 бублика и 5 рублей. Сколько стоит ватрушка? Решение Три ватрушки стоят 9 бубликов и 15 рублей. Столько же стоят 10 бубликов, то 10 бубликов. Значит, один бублик стоит 15 рублей, а ватрушка – 15·10 : 3 = 50 рублей. 7 Ответ 50 рублей. Условие У Пети в бутылке было "Фанты" на 10% больше, чем у Васи. Петя отпил из своей бутылки 11% ее содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после этого осталось больше "Фанты"? Решение Пусть у Васи в бутылке было a мл "Фанты", тогда у Пети было 1,1a мл. После того, как каждый мальчик отпил из своей бутылки, у Васи осталось 0,98a мл, а у Пети – 0,89·1,1a = 0,979a мл. Ответ У Васи. Условие На столе лежат в ряд пять монет: средняя– орлом вверх, а остальные– решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх? Решение Сначала перевернём первые 3 монеты, тогда первые две будут лежать орлом вверх, а следуюшие три– решкой вверх. Теперь перевернем последние три монеты, в результате все пять монет лягут орлом вверх. Ответ да, можно. Условие Подойдя к незнакомому одноподъездному дому и думая, что на каждом этаже по шесть квартир, Аня решила, что нужная ей квартира находится на четвёртом этаже. Поднявшись на четвёртый этаж, Аня обнаружила, что нужная ей квартира ействительно находится там, несмотря на то, что на каждом этаже – по семь квартир. Каким мог быть номер квартиры, в которую шла Аня? 8 Решение Если на этаже по семь квартир, то на четвёртом этаже квартиры начинаются с номера 22. Если на этаже по шесть квартир, то квартиры этого этажа кончаются номером 24. Поэтому номер нужной Ане квартиры не меньше 22, но не больше 24. Ответ 22, 23 или 24. Условие Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число делится на 15. Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле? Решение Если Коля ответил верно, то обе девочки ошиблись, так как число 9 нечётное и не делится на 15. Значит, верный ответ дал Роман. Но простое число не делится на 15, а единственное чётное простое число – это 2. Условие После того, как Наташа съела треть персиков из банки, уровень компота понизился на одну четверть. На сколько (относительно нового уровня) понизится уровень компота, если съесть все оставшиеся персики? Решение Поскольку треть персиков составляют одну четвертую объема банки, то все персики составляют три четвертых всего объема. Следовательно, после съедания всех персиков, уровень компота понизится на половину всей банки, то есть на две трети по сравнению с предыдущим уровнем. Ответ на две трети. Условие 9 Чтобы испечь сто блинов, маме требуется 30 минут, а Ане — 40 минут. Андрюша готов съесть 100 блинов за час. Мама с Аней пекут блины без остановки, а Андрюша непрерывно их поедает. Через какое время после начала этого процесса на столе окажется ровно сто блинов? Решение Первый способ. Мама печёт сто блинов за полчаса, значит, за два часа она испечёт 400 блинов. Аня печёт сто блинов за сорок минут, поэтому за два часа она испечёт 300 блинов. Андрюша за эти два часа съест двести блинов. Получается, что через два часа на столе окажется 400 + 300 - 200 = 500 блинов. Следовательно, для того, чтобы на столе оказалось сто блинов, потребуется времени в пять раз меньше, то есть 120 : 5 = 24 минуты. Второй способ. Производительность мамы при выпекании блинов равна 100 / 30 = 3 1/3 блина в минуту. Производительность Ани равна 100 / 40 = 2 1/2 блина в минуту. Производительность Андрюши при поедании блинов равна 100 / 60 = 1 2/3 блина в минуту. За каждую минуту стараниями мамы, Ани и Андрюши на столе появляется 3 1/3 + 2 1/2 - 1 2/3 = 4 1/6 блина. Следовательно, сто блинов появятся на столе за 100 : 4 1/6 = 24 минуты. Ответ Через 24 минуты. Условие В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу? Решение Каждая мышка за одну ночь может побывать на складе с тремя другими мышками. Чтобы побывать на складе с каждой из 23 других мышек по одному разу, ей необходимо 23/3 ночей. Но число 23 не делится нацело на три. Поэтому такая ситуация невозможна. Ответ Нет, такого быть не может. Условие 10 В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны. Можно ли составить магический квадрат 3×3 из первых девяти простых чисел? Число называется простым, если у него ровно два делителя – единица и само число. Решение Пусть первые девять простых чисел как-то расставлены в клетках квадрата. Среди них есть ровно одно четное число — 2. Сумма чисел в строке, содержащей двойку, четная (сумма двух нечетных и одного четного чисел). В строках, не содержащих двойку, сумма чисел нечетна, следовательно, суммы чисел в каких-то двух строках разные, и получить магический квадрат нельзя. Ответ Нельзя. Условие В понедельник в полдень (12-00) часы показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час эти часы впервые покажут время, на час большее, чем на самом деле? Ответ объясните. Решение Впервые часы покажут на час больше, когда они отстанут на 23 часа. Так как за каждые 4 часа они отстают на 1 час, то это произойдет через23x 4=92 часа. Поскольку 92=24· 3+20 , то пройдет трое суток и еще 20 часов. Ответ в ближайшую пятницу в 8-00. 11
