Дряева Минат Георгиевна

Задачи на смеси и сплавы.
Текстовые задачи традиционно считаются одними из самых сложных. Это
можно объяснить тем, что если задачи другого
рода
можно решить с
помощью алгоритмов, то решение текстовых задач требует анализировать
текст, выделять главное в условии, составлять план решения, а также
переводить условие задачи на математический язык уравнений, неравенств,
графических образов, т.е. составлять математическую модель.
Рассмотрение текстовых задач удобно проводить, разбивая их на классы.
В основу такого разбиения обычно кладут вид физического процесса, в
терминах которого описана задача: движение, работа, смешивание веществ и
т.п. При решении любых задач, прежде всего, нужно грамотно прочитать
условие, последовательно остановиться на каждой строчке, и попытаться
выразить условие в качестве какого-то уравнения.
В
КИМ-ах
по
математике
имеется
много
задач
практической
направленности. В связи с этим возникает необходимость глубже рассмотреть
задачи на проценты, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с
построением математических моделей реальных ситуаций.
Задачи на смеси и сплавы имеют практическую направленность. Умение
выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо всем, так как с
процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин
«смесь» независимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная).
Смесь состоит из основного вещества и примеси.
Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное
содержание
или
концентрацию.
При
решении
задач
данного
типа
используются следующие допущения:
1. Все получающиеся смеси и сплавы однородны;
2. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»:
если два раствора соединяют в «новый» раствор, то выполняются равенства:
m = m1 + m2 – сохраняется масса.
3.Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей сплава.
Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой
долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе
всей смеси.
Задачи на смеси можно разделить на два вида:
1. Задаются, например, две смеси с массами m1 и m2 и с концентрациями в
них некоторого вещества. Смеси сливают. Требуется определить массу этого
вещества в новой смеси и его новую концентрацию.
2. Задается некоторый объем смеси и от этого объема начинают отливать
определенное количество смеси, а затем доливать такое же или другое
количество смеси с такой же концентрацией данного вещества или с другой
концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
Задачи на смешение растворов разных концентраций.
Решим типовую задачу в общем виде и выведем формулу.
Задача: Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное
содержание меди в них p1% и р2% соответственно. В каком отношении
нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе,
получить сплав, содержащий p% меди?
Массовая доля
меди в сплаве
Масса каждого
сплава
Масса меди в
каждом сплаве
I cплав
Р1 %
m 1 кг
(m 1*p 1)/100 кг
II сплав
Р2 %
m 2 кг
(m 2*p 2)/100 кг
Новый
сплав
Р %
( m 1+m2)p/100 кг
(m 1+m 2) кг
Т. к. масса меди в новом сплаве равна сумме масс меди в каждом из взятых
кусков, то получим уравнение:
(m 1p1)/100+(m 2p2)/100=( m 1+m 2)*P/100,
m1 (p1-p) =m2(p-p 2).
Исследуем данное уравнение при условии, что будем брать ненулевые
массы сплавов.
I случай. Если p1 , p2 и p попарно не равны, то получим формулу
m1 p  p 2

m2
p1  p
m1 (p1 - p) =m2(p – p2) или
II случай.
Возьмём два сплава с одинаковым процентным содержанием
меди, т.е. p1=p2 .
Решая уравнение, получим, что
p1=p2=p.
III случай.
Если p2 =p, или p1= p , то вывод тот же.
Если взять два сплава, массы которых одинаковы, т.е.
m1 = m2 , то процентное содержание нового сплава станет равно среднему
арифметическому процентных концентраций исходных сплавов.
Задача: Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого
вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого же вещества.
Найдите концентрацию раствора.
𝑚1 𝑝 − 11
=
𝑚2 19 − 𝑝
𝑚1 = 𝑚2 , 𝑝 = 15 или т. к. массы исходных растворов равны, то
𝑝=
11 + 19
2
𝑝 = 15 .
Задача: Сколько килограммов 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг
10%-го раствора, чтобы получить 12%-ый раствор соли?
𝑚1
1
12−10
= 20−12
𝑚1 = о, 25.
Задача: Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го
раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной
кислоты?
Решение.
Наименование
веществ, смесей
% содержание (доля)
вещества
Масса
раствора
(г)
Масса
вещества (г)
70 % = 0,7
200
0,7·200
-
х
-
8 % = 0,08
200 + х
0,08(200 + х)
Исходный раствор
Вода
Новый раствор
0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124 , х = 1550
Ответ: 1,55 кг воды.
Старинный метод решения задач или «метод креста».
«Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для
случаев с двумя растворами.
На концах отрезков записывают исходные
массовые доли растворов, на пересечении отрезков – заданная, а справа на их
концах записываются разности между исходными и заданной массовыми
долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо
слить исходные растворы.
Задача. (смешивание двух веществ). Имеется два сплава с разным
содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60%
золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы
получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
35
20 частей
60
5 частей
40
Соотношение первого и второго растворов
20:5 или 4:1.
Способ Л. Ф. Магницкого для трех веществ.
Указанный Л. Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо дважды
применить способ записи исходных данных и необходимых количеств
веществ, причем в первый раз взять вещества с большей и меньшей
стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. Повторив
действие вычитания и соответствующей записи разности, получим доли, в
которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (на
соответствующих строках). Сложив доли дешевого вещества, найденные в
первый и во второй раз, получим долю дешевого вещества в общей смеси.
Задача: Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких
долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6
гривен за фунт?
5
6
6
5
2
8
1
6
12
1
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен
и 12 гривен за один фунт.
Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой
8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
Остановимся подробнее на предложенной задаче. Нетрудно видеть, что эта
задача имеет (бесконечное) множество решений. Действительно, составим
систему уравнений этой задачи, положив: x - искомая часть фунта,
стоимостью в 5 гривен , y - искомая часть фунта, стоимостью в 8 гривен , z
- искомая часть фунта, стоимостью в 12 гривен. Тогда
5х + 8у + 12𝑧 = 6
{
х+у+𝑧 = 1
Откуда
х=
2  4z
,
3
у=
1  7z
.
3
По условию значение y положительно, поэтому необходимо учитывать
условие:
1-7z ≥ 0, или z ≤
1
7
.
1
Поэтому при любом z 0≤ z≤ , мы получаем решение для x и y.
7
Рассмотрим различные примеры решения нашей задачи.
1) Если z=
1
10
, то y =
1
10
, x=
8
10
;
2) z=
1
8
, то y =
1
24
, x=
5
6
;
3) Покупка, при которой мы берем максимальную возможную часть дорогого
1
сорта. Тогда z = , откуда мы находим
7
y=0, x=
6
7
;
4) ) Покупка, при которой мы берем наименьшую возможную часть
дешевого сорта, xmin . Тогда z принимает наименьшее значение, откуда
z=0, x=
2
3
, y=
1
3
.
Обратим внимание на то, что метод креста нам дал не экстремальное
решение, а некоторое промежуточное решение.
Задачи на многократные переливания.
Рассмотрим задачи, при решении которых можно выявить общую
закономерность изменения концентрации раствора в результате многократно
повторяющейся операции.
Решим в общем виде такую задачу:
В сосуде, объём которого равен V0 литров, содержится раствор соли
концентрации С0. Из сосуда выливается a литров смеси и доливается a
литров воды, после чего раствор тщательно перемешивается. Эта
процедура повторяется n раз. Какова станет концентрация соли в
растворе после n таких процедур?
Если в задаче n раз отливают некоторое количество раствора и затем
столько же раз приливают такое же количество воды или другого
однородного вещества, то для решения задачи пригодится формула:
Сn  C0 (1 
a n
)
V0
Где n– количество шагов, V0- начальный объём, который сохраняют
неизменным при каждом шаге Сn- конечная концентрация,C0- начальная
концентрация,
a – объём отливаемой каждый раз смеси
Докажем эту формулу:
Последовательность С0, С1, С2, Сn-1, Сn представляет собой убывающую
геометрическую прогрессию концентраций раствора.
Выражение Сn* V0 соответствует количеству соли после проведения n-ой
процедуры.
Но эта же соль присутствовала в (V0 – a) л предыдущего раствора
в количестве Сn-1 (V0 –a)л Составим уравнение: Сn* V0 = Сn-1 (V0 –a) и
разделим обе части на V0 :
Сn  Cn 1 (1 
Сn  C0 (1 
a
) , откуда получаем
V0
a n.
)
V0
Где n– количество шагов, V0- начальный объём, который сохраняют
неизменным при каждом шаге Сn- конечная концентрация,C0- начальная
концентрация,
a – объём отливаемой каждый раз смеси
Докажем эту формулу:
Последовательность С0, С1, С2, Сn-1, Сn представляет собой убывающую
геометрическую прогрессию концентраций раствора.
Выражение Сn* V0 соответствует количеству соли после проведения n-ой
процедуры.
Но эта же соль присутствовала в (V0 – a) л предыдущего раствора
в количестве Сn-1 (V0 –a)л Составим уравнение: Сn* V0 = Сn-1 (V0 –a) и
разделим обе части на V0 :
Сn  Cn 1 (1 
Сn  C0 (1 
a
) , откуда получаем
V0
a n.
)
V0
Задача: В сосуде имелось 1250 л 80%-го раствора кислоты. Из него три
раза отливали некоторое количество раствора, добавляя такое же количество
воды. В результате в сосуде осталось 125л чистой кислоты. Какое количество
раствора брали из сосуда каждый раз?
3
С3=С0(1-a/1250)
3
0,1=0,8(1-a/1250)
3
0,125=(1-a/1250)
0,5=1-a/1250
a/1250=0,5
a=625. Ответ: 625л.
Иногда мы сосредотачиваемся на решении уравнения, но совершенно
забываем, что, собственно, требовалось найти. Получается, что задача
решена верно, а ответ — неправильный. Прежде чем записать ответ, надо
вернуться к задаче и еще раз прочитать что требуется найти. Потому что
решить уравнение – это еще не значит решить текстовую задачу.
Это правило работает для всех текстовых задач.
Дряева Минат Георгиевна,
Учитель математики
г. Владикавказа.
Использованная литература.
1. Прокопенко Н. И.Задачи на смеси и сплавы. – М.: Чистые пруды, 2010.
2. О.А.Городнова Статья «Учимся решать задачи на «смеси и сплавы»,
г-та«Математика» №36 за 2004 г.
3.« Занимательной алгебры» авт. Я.И. Перельман.