Задачи по теории вероятности

Номер
элемента
λi, час-1
1
2
3
0,00031
4
0,00005
0,00006
5
0,00005
0,003135
Решение:
1. Интенсивность отказа  

i
  0, 00031  0, 00005  0, 00006  0, 00005  0, 003135  0, 003605
2. Среднее время безотказной работы
T0 
1
ср

1
 277,4час
0,003605
3. Вероятность безотказной работы
T
P(t )  exp(   (t )dt )
0
100
200
300
400
P(t )  exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt ) 
0
500
100
200
300
600
700
800
600
700
 exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt ) 
400
500
900
1000
800
900
 exp(   0,003605dt )  exp(   0,003605dt )  10  0,6973  6,973
4. Плотность распределения времени безотказной работы
f (t ) 
P(t ) 6,973

 0,025
T0
277,4
1. Интенсивность отказа  
  n
n
i
i
i

10  2 106  15  4 106  32  2,5 106  8  5 106
 3, 077 106 час 1
10  15  32  8
2. Среднее время безотказной работы
T0 
1
ср

1
 324992час
3,077  10 6
3. Вероятность безотказной работы в системе в течение времени
1000
P(t )  exp(    (t )dt )  0,997
100
4. Плотность распределения времени безотказной работы системы при наработке t2  1000 час
f (t ) 
P(t ) 0,997

 0,00097
t2
1000
1. Вероятность отказа детали до момента Тн:
Q(t )  1  exp(   Tн )  1  exp( 10 5  10 4 )  0,095
2.
Вероятность того, что деталь безотказно проработает в течение времени
P(t )  1  Q(t )  0,905
3.
Вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале времени от 103 до 104 час.
10000
P(t )  exp( 
  (t )dt )  exp( 10
1000
5
 (10000  1000))  0,914
Решение:
Вычислим интенсивность отказов по всем пяти элементам
P (t )  e  t 
1
;
et
  t  ln P (t )
1
 0, 010050336
P (t )
0, 010050336
1 (t ) 
 0, 00010050336
100
2 (t )  0, 00001
 t  ln
3 (t) 
1
1

 0, 0001234568
T3 8100
4 (t ) 
1
1

 0, 0001272265
T4 7860
5 (t )  0, 000025
Интенсивность отказов системы:
5
 (t )   i  1  2  3  4  5  0, 00010050336  0, 00001  0, 0001234568  0, 0001272265  0, 000025
i 1
5
 (t )   i  1  2  3  4  5  0, 00010050336  0, 00001  0, 0001234568  0, 0001272265  0, 000025
i 1
P(t )  et
t
t
1

1

ln
1
P(t )
ln
1
1
1

 ln
 215,96
P(t ) 0, 000386187
0,92
Решение. По условию задачи отказы приборов независимы, поэтому
вероятность безотказной -работы системы равна произведению вероятностей
безотказной работы приборов. Тогда для случая высоконадежных систем имеем
Так как вероятность безотказной работы близка к единице, то в соответствии с
формулой (2.4) для Р(t) интенсивность отказов можно вычислить из выражения
. Подставляя значения Р с (100) и
время t =100 час, получим
1 / час.
Тогда частота отказов будет
1/ час.
ЗАДАЧА 1.7.Пусть время работы элемента до отказа подчинено
экспоненциальному закону λ1 = 2,5·10–5 ч–1. Требуется определить
вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю
наработку на отказ tср, если t(1,3,4) = 600, 1200, 2500 ч.
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
5
P(t )  et  e2,510
P1 (t )  e2,510
5
 0,985
5
1200
 0,97
5
2500
 0,939
P2 (t )  e2,510
P3 (t )  e2,510
600
t
P(t )  P1 (t )  P2 (t )  P3 (t )  0,985  0,97  0,939  0,897
2. Вычислим частоту отказов:
f(t )   (t ) P(t )  2,5 105  0,897  2, 4675 105
3. Средняя наработка на отказ
t ср 
1


1
 40000час
2,5  10 5
ЗАДАЧА 1.8.Система состоит из 12 600 элементов, средняя
интенсивность отказов которых λср = 0,32·10–6 ч–1.Необходимо
определить вероятность безотказной работы в течение t = 100 ч. (Среднее
значение (λср=) для остальных вариантов вычислить из таблицы в
приложении).
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λср
0,00031
0,00005
0,00006
0,00005
0,003135
721·10–6
1. Интенсивность отказов системы по формуле будет:
  ср  n  721106 12600  9,08 час1
2. Вероятность безотказной работы
P(t )  exp( t )  exp( 721  10 6  100)  0,93
ЗАДАЧА 1.9.В системе Nс = 2500 элементов, вероятность безотказной
работы ее в течение одного часа Рс(1) = 98 %. Предполагается, что все
элементы равнонадежны и интенсивность отказов одного элемента λ3=
8,4·10–6 ч–1. Требуется определить среднюю наработку до первого
отказа системы tср.с.
1. Интенсивность отказов всех элементов:
Nс
   i  2500  8,4  10 6  0,021
i 0
Средняя наработка до первого отказа системы
2.
P  exp( t )  t  ln P  t  
ln P


ln 0,98
 0,96час
0,021
ЗАДАЧА 1.10. Допустим, что на испытание поставлено 2000
однотипных механических изделий. За T3=4000 ч отказало 80 изделий,
требуется определить вероятность безотказной работы P(t)и
вероятность отказаQ(t)в течение T4=6000ч.
Решение:
1. Интенсивность отказов за T3=4000 ч
 (t ) 
n(t )
80

 0, 00001
t  n(t ) 4000  (2000  80)
где n (t ) - число отказавших элементов за время t ,
n(t ) - число не отказавших элементов.
2. Вероятность отказаQ(t)в течение T4=6000ч.
Q(t )    t  0, 00001 6000  0, 06
3. Вероятность безотказной работы Р(t)в течение T4=6000ч.
P(t)  1  Q(t )  1  0, 06  0,94
Ответ:
P(t)  0,94; Q(t )  0, 06
Приложение 1.
вариант
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
интервал(Т2)
T3
T4
3
0,00031
0,00005
0,00006
0,00005
0,003135
1100
8151
7927
№
3
Р1
0,1009
Р2
0,5066
Р3
0,3249
Р4
0,8465
Р5
0,4754