Уравнения с модулем

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
Уравнения вида |𝐟(𝐱)| = 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎
Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности
𝑓(𝑥) = 𝑎,
.
[
𝑓(𝑥) = −𝑎
Уравнения вида |𝐟(𝐱)| = 𝐠(𝐱)
Такие уравнения можно двумя способами заменить равносильными
𝑓(𝑥) ≥ 0,
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥),
{
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥);
[
условиями:
и { 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥);.
𝑓(𝑥) < 0,
𝑔(𝑥) ≥ 0
{
[ −𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Выбор способа замены зависит от того, какое и неравенств 𝑔(𝑥) ≥ 0 или
𝑓(𝑥) ≥ 0 решить легче.
Пример 1. Решить уравнение |𝑥 2 − 2𝑥 − 7| = 4.
Решение.
Исходное
уравнение
2
𝑥 − 2𝑥 − 7 = 4,
𝑥 − 2𝑥 − 11 = 0,
[ 2
.
[ 2
𝑥 − 2𝑥 − 7 = −4
𝑥 − 2𝑥 − 3 = 0
равносильно
совокупности
2
Решая эти уравнения, получим корни х= - 1; х=3; х=12√3
Ответ: - 1; 3; 12√3
Пример 2. Решить уравнение |𝑥 2 − 𝑥 − 8| = −𝑥.
𝑥 2 − 𝑥 − 8 = −𝑥,
[ 2
Решение. Исходное уравнение равносильно системе { 𝑥 − 𝑥 − 8 = 𝑥;
−𝑥 ≥ 0
𝑥 2 − 8 = 0,
[
 { 𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0;.
𝑥≤0
Решая эти уравнения, получим корни х= - 2; х=4; х=2√2. Но условию
𝑥 ≤ 0 удовлетворяют только числа – 2 и - 2√2.
Ответ: - 2; - 2√2
Пример 3. Решите уравнение |3𝑥 − 4| = 4𝑥 2 + 3𝑥 − 2.
Решение. Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля,
проще, то лучше записать уравнение как совокупность двух систем:
4
𝑥≥ ,
3𝑥 − 4 ≥ 0,
3
{
{
2
2
3𝑥 − 4 = 4𝑥 + 3𝑥 − 2;
2𝑥 + 1 = 0;
[

.
4
3𝑥 − 4 < 0,
𝑥
<
,
{
3
{
3𝑥 − 4 = −4𝑥 2 − 3𝑥 + 2
2
[ 2𝑥 + 3𝑥 − 3 = 0
Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решением
второй системы является 𝑥 =
−3±√33
4
.
Ответ:
−3±√33
4
Уравнения вида 𝐟(|𝐱|) = 𝟎
Уравнения этого вида можно решать, используя замену |𝑥| = 𝑡.
Пример 4. Решить уравнение 𝑥 2 − 5|𝑥| + 6 = 0.
Решение. Так как |𝑥|2 = 𝑥 2 , данное уравнение примет вид: |𝑥|2 − 5|𝑥| +
6 = 0.
Сделаем замену |𝑥| = 𝑡, 𝑡 ≥ 0, получим новое уравнение 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = 0,
которое имеет два положительных корня t=2; t=3. Значит, |x|=2: |x|=3, откуда
x=2, x=3.
Ответ: - 2; 2; - 3; 3
Пример 5. Решить уравнение (𝑥 − 1)2 + |𝑥 − 1| = 2.
Решение. Так как |𝑥 − 1|2 = (𝑥 − 1)2 , данное уравнение примет вид: |𝑥 −
1|2 + |𝑥 − 1| − 2 = 0. Сделаем замену |𝑥 − 1| = 𝑡, 𝑡 ≥ 0, получим новое
уравнение 𝑡 2 + 𝑡 − 2 = 0; t= - 2; t=1. Однако t= - 2 не удовлетворяет условию
𝑡 ≥ 0.
𝑥 − 1 = 1,
𝑥 = 2,
Получим уравнение |𝑥 − 1| = 1. Откуда [
[
.
𝑥 − 1 = −1
𝑥=0
Ответ: 0; 2
Уравнения, решение которых основано на свойствах модуля
Пример 6. Решить уравнение |𝑥 + 3| = |2𝑥 − 1|.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: (𝑥 + 3)2 = (2𝑥 − 1)2
 (𝑥 + 3)2 − (2𝑥 − 1)2 = 0.
Используя формулу разности квадратов, разложим левую часть на
множители: (𝑥 + 3 + 2𝑥 − 1)(𝑥 + 3 − 2𝑥 + 1) = 0  (3𝑥 + 2)(4 − 𝑥) = 0.
2
Откуда х=− ; х=4.
3
2
Ответ: − ; 4
3
Уравнения вида |𝐟𝟏 (𝐱)| + |𝐟𝟐 (𝐱)| + ⋯ + |𝐟𝐧 (𝐱)| = 𝐠(𝐱)
При решении таких уравнений применяется метод интервалов:
1. определяются точки, в которых каждая из функций равна нулю;
2. найденные промежутки разбивают область определения уравнения на
промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак;
3. исходное уравнение решается на каждом промежутке, при этом модули
опускаются с учетом знака функций на рассматриваемом промежутке;
4. объединяются решения, найденные на всех частях области определения
уравнения.
Пример 7. Решите уравнение |𝑥 2 − 5𝑥 − 6| + |2𝑥 2 − 5𝑥 + 3| = |3𝑥 2 −
10𝑥 − 3|.
Решение. Заметим, что данное уравнение имеет вид |𝑎| + |𝑎| = |𝑎 + 𝑏|.
Из свойств абсолютной величины следует, что это равенство справедливо
тогда и только тогда, когда ab0. Поэтому исходное уравнение равносильно
неравенству (𝑥 2 − 5𝑥 − 6)(2𝑥 2 − 5𝑥 + 3) ≥ 0.
3
Корни трехчленов: x=6; x= - 1; x= ; x=1. Решим неравенство методом
2
интервалов:
3
Ответ: ( - ∞; - 1][1; ][6; +∞)
2
Рассмотрим уравнение: |2 - x|=16 – 2|5 – x| - |x|
Шаг 1. Под каждым из модулей все слагаемые расположить в порядке
убывания степеней х, причем коэффициент при старшей степени х сделать
положительным числом.
|2 - x|=16 – 2|5 – x| - |x|  |x – 2|+|x|+2|x – 5|=16.
Шаг 2. Определить нули каждого выражения под знаком модуля,
присутствующего в уравнении (неравенстве). Эти точки разбивают область
определения
каждого
подмодульного
выражения
на
интервала
знакопостонства.
Шаг 3. Нанести нули каждого из выражений на отдельную силовую
прямую и расположить все эти прямые друг под другом. Указать на прямых
такие промежутки, в пределах которых все подмодульные выражения
одновременно сохраняют знакопостоянство.
Для нашего примера
Здесь на промежутках ( - ∞; 0], (0; 2], (2; 5], (5; +∞) все подмодульные
выражения одновременно являются знакопостоянными.
Шаг 4. На каждом из полученных промежутков раскрыть модули в
соответствии со знаками подмодульных выражений на этом промежутке и
решить соответствующее промежутку уравнение (неравенство). Все
полученные решения объединить в общий ответ.
В нашем примере:
1)
2)
3)
4)
𝑥 ≤ 0,
𝑥 ≤ 0,
{
𝑥 = −1.
{
−(𝑥 − 2) − 𝑥 − 2(𝑥 − 5) = 16
𝑥 = −1
0 < 𝑥 ≤ 2,
0 < 𝑥 ≤ 2,
{
𝑥 ∈ ∅.
{
−(𝑥 − 2) + 𝑥 − 2(𝑥 − 5) = 16
𝑥 = −2
2 < 𝑥 ≤ 5,
0 < 𝑥 ≤ 5,
{
𝑥 ∈ ∅.
{
(𝑥 − 2) + 𝑥 − 2(𝑥 − 5) = 16
0=8
𝑥 > 5,
𝑥 > 5,
{
𝑥 = 7.
{
(𝑥 − 2) + 𝑥 + 2(𝑥 − 5) = 16
𝑥=7
Ответ: ( - 1; 7)
Метод интервалов выручает в следующих ситуациях:
 Под знаком модуля встречаются не только линейные функции, но
квадратичные, кубические, показательные и пр.;
 Формулировка задачи не обязательно сводится к решению
уравнения или неравенства.
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение |x|=3.
Решение. Это отношение геометрически означает, что расстояние от
точки х до начала координат равно 3, т.е. х=3 или х= - 3.
Ответ: 3; - 3
Пример 2. Решить уравнение |x+5|=2.
Решение. Рассматривая |x+5| как |x – ( - 5)| данное уравнение означает что
расстояние от точки х до точки – 5 равно 2. Откладывая на числовой оси от
точки – 5 отрезок длиной 2 (в обе стороны), получим – 7 и – 3.
Ответ: - 7; - 3
Пример 3. Решить уравнение |3 – 2x|=1.
Решение. Преобразуем |3 – 2x|=|2x – 3|=|2(x – 1,5)|=2|x – 1,5|, откуда 2|x –
1,5|=1. Разделив обе части уравнение на 2, получаем |x – 1,5|=0,5. Используя
числовую ось, получаем ответ х=1 или х=2.
Ответ: 1; 2
Пример 4. Решите уравнение |х+3|=2х – 1.
Решение: х+3=0, х= - 3.
1) ( - ∞;
промежуток).
- 3) – х – 3=2х – 1, х=−
2
3
(не входит в рассматриваемый
2) [ - 3; +∞) х+3=2х – 1, х=4; 4[ - 3; +∞).
Ответ: 4
Пример 5. Решить уравнение|4 − 𝑥| + |2𝑥 − 2| = 5 − 2𝑥
Решение. Это уравнение не приводится к виду|𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)|. Поэтому
решим его методом интервалов, сопроводив решение маленькой, но важной
«уловкой», которая поможет уменьшить количество рассматриваемых
интервалов. Сначала запишем уравнение в виде: |4 − 𝑥| + |2𝑥 − 2| = 5 − 2𝑥.
Заметим, что сумма модулей |4 − 𝑥| + |2𝑥 − 2| ≥ 0. Поэтому 5 - 2x≥0, а значит,
5
𝑥≤ .
2
х - 4:
2х – 2:
Последнее наблюдение позволяет нам рассматривать лишь два
промежутка ( - ; 1] и (1; 2,5] вместо трёх: ( - ; 1], (1; 4] и (4; +). На каждом
из этих двух промежутков раскроем модули и решим соответствующие
уравнения:
𝑥 ∈ (−; 1],
𝑥 ∈ (−; 1],
{
{
−(𝑥 − 4) − (2𝑥 − 2) = 5 − 2𝑥,
𝑥 = 1,
[
[
x=1.
𝑥 ∈ (1; 2,5],
𝑥 ∈ (1; 2,5],
{
{
𝑥=1
−(𝑥 − 4) + 2𝑥 − 2 = 5 − 2𝑥
Ответ: 1
Пример 6. Найти количество целых чисел, принадлежащих области
значений функции у = |𝑥 2 + 𝑥 − 6| + |𝑥 2 + 𝑥 − 12|, заданной на отрезке
[ - 5; 5].
Решение. Методом интервалов раскроем модули:
𝑥 ∈ (−∞; −4] ∪ [3; +∞),
1) {
2
𝑦 = (𝑥 + 𝑥 − 6) + (𝑥 2 + 𝑥 − 12) = 2𝑥 2 + 2𝑥 − 18;
𝑥 ∈ (−4; −3] ∪ [2; 3),
2) {
2
𝑦 = (𝑥 + 𝑥 − 6) − (𝑥 2 + 𝑥 − 12) = 6;
𝑥 ∈ [−3; 2],
3) {
𝑦 = −(𝑥 2 + 𝑥 − 6) − (𝑥 2 + 𝑥 − 12) = −2𝑥 2 − 2𝑥 + 18;
Теперь построим график исходной функции на отрезке [ - 5; 5].
Из графика видно, что областью значений данной функции является
отрезок [6; 42]. Поэтому искомое количество целых числе из отрезка [6; 42]
равно 42 – 6+1=37.
Ответ: 37
Пример 7. Найти сумму корней уравнения или корень, если он
единственный: |𝑥 − 2| =
|3x−4|+x2 −12|x|+36
x−5
.
Решение. Это уравнение вполне можно было бы решить методом
интервалов, раскрывая модули на каждом из четырёх промежутков: ( - ; 0],
4
4
(0; ] , ( ; 2] , (2; +).
3
3
|3x−4|+(|x|−6)2
Запишем данное уравнение в виде |x - 2|=
, из которого
x−5
усматриваем «подсказку»: знаменатель x - 5 больше нуля, поскольку
неотрицательным являются числитель и левая часть уравнения. Итак, x5, а
значит подмодульные выражения x, x - 2, 3x - 4 положительные и потому
|x - 2|=x - 2, |x|=x, |3x - 4|=3x - 4.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:
𝑥>5
𝑥 > 5𝑥 = 11
𝑥>5
3𝑥−4+𝑥 2 −12𝑥+36{
{
.  {
2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 − 9𝑥 + 32
𝑥−2=
2𝑥 = 22
𝑥−5
 x=11.
Ответ: 11
Пример 8. Найти максимальный корень уравнения
𝑥 2 −2𝑥+1
𝑥 2 −4𝑥+4
+|
𝑥−1
| = 12.
𝑥−2
Решение: Поскольку х2 – 2х+1=(х – 1)2, х2 – 4х+4=(х – 2)2, то уравнение
𝑥−1
𝑥−1
принимает вид: ( )2 + | | = 12.
𝑥−2
𝑥−2
𝑥−1 2
𝑥−1
𝑥−1
Вспоминая, что ( )2 = | | , вводим новую переменную t=| |, t0.
𝑥−2
𝑥−2
𝑥−2
Данное уравнение является квадратным относительно t:
𝑡 = 3,
2
[
,
𝑡
+
𝑡
+
12
=
0,
 { 𝑡 = −4  t=3.
{
𝑡≥0
𝑡≥0
Возвращаясь к переменной х, получаем
𝑥−1
𝑥 − 1 = 3(𝑥 − 2),
2𝑥 = 5,
𝑥 = 2,5,
[
7 .
| |=3 
 { 𝑥 − 1 = −3(𝑥 − 2),  { 4𝑥 = 7,  [
𝑥−2
𝑥=
= −3
4
𝑥≠2
𝑥≠2
𝑥−2
Максимальный корень уравнения – 2,5.
𝑥−1
𝑥−2
[𝑥−1
= 3,
[
Ответ: 2,5
Пример 9. Найти целые решения уравнения |3x+26|+|2y+29|=2.
Решение. Так как х и у принимают только целые значения, то |3x+26| и
|2y+29| будут принимать только целые неотрицательные значения, причем
|2y+29| - нечетные.
|3𝑥 + 26| = 1,
Поэтому их сумма может быть равна 2, только если {
.
|2𝑦 + 29| = 1
3𝑥 + 26 = 1,
𝑥 = −9,
[
3𝑥 + 26 = −1
Следовательно, { 2𝑦 + 29 = 1,  { 𝑦 = −14,
[
[
𝑦 = −15.
2𝑦 + 29 = −1
Ответ: ( - 9; - 14), ( - 9; - 15)
Пример 10. Решить уравнение
x3
x  6x  9
2
 1.
Решение. ОДЗ: х3. Уравнение записывается в виде
На ОДЗ можно сократить и получаем
1  x  3,
1  x  3. Получаем

корни
 x  4,
 x  2,

1
 1,
x3
x3
 1.
x  32
 1
 x  3  1,

 1  1,
 x  3
откуда
т. е.
которые подходят по ОДЗ.
Ответ: 4; 2
Пример 11. Решить уравнение
x2
1

.
x 1 x 1
Решение. ОДЗ: х1. Оно имеет решение, если
Таким образом, для
x  1; 1  1;  
получаем:
1
 0,
x 1
т. е. при
x  1.
1
x2
 x 1  x 1 ,

x2   1 .
x 1
 x  1
Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое
уравнение сводится к виду x  2  x  1  x  1  0, откуда x 2  2 x  3  0.
x  1  x  1
Это квадратное уравнение решений не имеет, так как
D  0.
Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем x  2  x  1  x  1  0,
x  1  x  1
т. е.
x 2  4 x  1  0.
Квадратное уравнение имеет корни:

42 3
 2  3 ,
x 
2


42 3
 2  3 ,
x 
2

т. е. первый
корень не принадлежит множеству x  1; 1  1;  , на котором решали
уравнение, следовательно, ответом является только x  2  3.
Ответ:
x  2  3.
Пример 12. Решить уравнение
5  2 x  x 2  2 x  4.
Решение. По определению модуля:
5  2 x  0,

2
5  2 x  x  2 x  4,
5  2 x  0,

2
5  2 x   x  2 x  4.
Решаем первую систему совокупности:
Значение
является
x  2  2 13
5

x  ,
2

 x 2  4 x  9  0;

не подходит по условию
5
x .
2
5

x  2 ,

 x  2  2 13 ,

 x  2  2 13 .
Следовательно, корнем
x  2  2 13.
Решаем вторую систему совокупности:
Получили ответ
 x  5 2,
 2
 x  1  0  уравнение решений не имеет.
x  2  2 13.
Ответ:
Пример 13. Решить уравнение
Решение. Поскольку
1
 x  2  2.
x
x  2  2 13.
1
 x 2  4 x  4  2.
x
x 2  4x  4  ( x  2)2 ,
то уравнение записывается в виде
ОДЗ: х0. Решим методом интервалов.
Нулями выражений, стоящих под модулем, являются
значения разбивают числовую ось на три промежутка.
|x|
|x – 2|
–
–
+
+
0
0
и
x  2.
Эти
x
2
–
x0
+
2
x
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их
знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы:
 x  0,

I  1
  x  2   2,
 x
0  x  2,

II  1
 x  2   2,
 x
 x  2,

III  1
 x  x  2   2.

I.
 x  0,

 1
 x  x  2  2,
II.
0  x  2,

1
 x  x  2  2.
 x  0,

 1
 x  x  0,
0  x  2,

1
 x  x  0,
 x  0,
 2
 x 1
 x  0.

0  x  2,

2
1  x  0  нет решений.
 x  0,

 x  1  не корень,
 x  1  корень.
III.
 x  2,

1
 x  x  2  2,
 x  2,
 x  2,

1
 2
 x  x  4,  x  4 x  1  0,
 x  2,

 x  2  5  корень,
 x  2  5  не корень.

Решением данного уравнения являются значения
x  1
и
x  2  5.
Ответ:
Пример 14. Решить уравнение
2 x  1  2x  1  0.
Решение. Запишем уравнение в виде
2 x  1  2 x  1.
Возведем обе его части в квадрат:
имеем:
4 x 2  8 x  4  4 x 2  4 x  1,
т. е.
x  1 ; x  2  5.
12 x  3.
4( x  1)2  (2x  1)2 .
Получаем
1
x
4
После упрощения
– корень.
Ответ:
Пример 15. Решить уравнение
Решение. ОДЗ:
1 2
x  x  0,
3
т. е.
4
3 1 2
2
x  x.
1 2
4 2
x x
3
x  0, x  3.
Преобразуем данное уравнение к виду
Заменяем
4
 y.
1 2
x x
3
1 2
x x
4
3
 23
.
1 2
4
x x
3
Уравнение приобретает вид
1
y23 .
y
Решаем его как дробно-рациональное и получаем:
Последнее квадратное уравнение имеет корни:
y 2  2 y  3  0.
 y  3,
 y  1.

1
4
Возвращаясь к переменной х, получаем:








4
 3,
1 2
x x
3
4
 1 .
1 2
x x
3
Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева
положительное выражение, а справа – отрицательное.
Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и
равносильно совокупности при условии x0
Приходим к совокупности
 x 2  3x  4,
 2
 x  3x  4,
1 2
4
x x  ;
3
3
т. е.
x 2  3x  4.
 x 2  3x  4,
 2
 x  3x  4  0.
Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:
 x  1,
 x  4.

Оба они подходят по ОДЗ.
Ответ: 1; - 4
Пример 16. Решить уравнение
x 3  27  x 2  9
x3
 0.
Решение. ОДЗ: x> -3. С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно
уравнению: x3  27  x 2  9  0.
Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных
величин), получаем:
 x 3  27  0,
 2
 x  9  0,
3

 x  27 ,
 2

 x  9,
 x  3,

 x  3,
 x  3,

т. е х=3 – решение полученной
системы, оно подходит по ОДЗ.
Ответ: 3
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) |𝑥 − 1| = 2
2) |2𝑥 + 1| = 4
3) |5𝑥 + 2| = −2
4) |2𝑥 − 3| = 5
5) |𝑥 + 3| = 1
6) |3𝑥 − 2| = 6
7) |𝑥 + 1| = −3𝑥
8) |𝑥 − 7| = 0
9) |1 + 5𝑥| = 4
10) |6 − 2𝑥| = 8
2. Решите уравнение:
1) ||𝑥| − 1| = 2
2) |x − 1| + |x − 5| = 3
3) |x + 1| + |x + 2| = 1
4) |𝑥| = |4 − 𝑥|
5) |x + 3| − |x − 2| = 5
6) |𝑥 − 1| = 2|𝑥 − 4|
7) |x| + |x − 3| = 5
8) |x + 1| = |x − 5|
9) ||x| − 4| = 1
10) |x − 5| − |x − 1| = 2
3. Решите уравнение:
1) |4𝑥 + 3| = 4𝑥 + 3
2) |7𝑥 − 21| = 21 − 7𝑥
3) |7𝑥 − 1| = 21 − 9𝑥
4) |6𝑥 − 1| = 6𝑥 − 1
5) |𝑥 − 5| = 2𝑥 + 5
6) |𝑥 − 3| = −𝑥
7) |5𝑥 − 10| = 10 − 5𝑥
8)
9)
1) |𝑥 − 2| − |𝑥 + 6| = 0
2) |𝑥 + 5| = |10 + 𝑥|
3) |𝑥 + 6| = |𝑥 + 10|
4) |𝑥 + 4| = |𝑥 − 2|
5) |𝑥 − 1| = |𝑥 − 2|
6) |𝑥 + 1| = |𝑥 − 2|
7)
8) |𝑥 + 3| = |𝑥 − 5|
9) |𝑥 + 3| = |𝑥 + 7|
1) |𝑥 + 2| + |𝑥 + 3| = 𝑥
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) |6 − 2𝑥| = 3𝑥 + 1
4. Решите уравнение:
10) |𝑥 − 5| = |𝑥 − 8|
5. Решите уравнение:
10)
6. Решите уравнение:
1) |𝑥 + 1| + |2 − 𝑥| = |𝑥 + 3|
2) |7 − 2𝑥| = |5 − 3𝑥| + |𝑥 + 2|
3) |2 − 𝑥| + |3𝑥 − 6| + |𝑥| = 4
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
7. Найдите сумму корней уравнения:
1) 𝑥 2 + 2𝑥 − 4 = |2𝑥 + 5|
2) ||𝑥 + 1| − 3| = 3
3) 𝑥 + |4 − 𝑥 2 | = 3
4) 𝑥 2 + 2|𝑥| − 1 = 0
5) 2|4 − 𝑥| = |3𝑥 + 6| + 9
6) 2|𝑥 2 + 2𝑥 − 5| = 𝑥 − 1
7) |𝑥 − 2| + |𝑥 + 2| = |3 − 𝑥|
8) |𝑥 2 − 𝑥 − 3| + 𝑥 + 1 = 0
9) |𝑥 − 3| = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3
10) |𝑥 − √3| = √3|𝑥 − 1|
8. Найдите произведение корней уравнения:
1) ||5 − 4𝑥| − 3| = 8
2) 𝑥 2 − 3|𝑥| + 2 = 0
3) |𝑥 + 1 + |−𝑥 − 3|| = 𝑥 + 6
4) |2𝑥 + 4| = 5|5 − 𝑥|
5) |𝑥 2 − 𝑥| = |2𝑥 − 2|
6) |𝑥 2 − 9| − |2𝑥 + 1| = 7
7) |𝑥 2 − 3𝑥 − 5| = |𝑥 + 1|
8) 2𝑥 2 + |𝑥| = 6
9) 𝑥 2 − 2x − 4 = 4|𝑥 − 1|
10) |𝑥 3 − 𝑥| = 𝑥 + 4
9. Найдите:
1) Разность между наибольшим и
наименьшим корнями уравнения
𝑥 2 + |𝑥| = 2,75
3) Разность между наибольшим и
наименьшим корнями уравнения
2) Среднее арифметическое корней
уравнения
|𝑥 2 − 8𝑥 + 4| = 8𝑥 + 4
4) Сумму целых корней уравнения
|𝑥 − 6| ∙ (|𝑥 − 8| + |𝑥 − 4| = 4(𝑥 − 6)
||𝑥 − 2| − 3𝑥| = 4
5) Произведение числа корней
уравнения на его наибольший корень
6) Число натуральных корней
уравнения
|𝑥 2 + 𝑥 + 6| = 2𝑥 2 + 𝑥 + |3𝑥 − 2| − 10
|5𝑥 − 𝑥 2 − 8| + |𝑥 − 9| = 𝑥 2 − 6𝑥 = 17
7) Количество корней уравнения
8) Меньший корень уравнения
|𝑥 2 − 𝑥 − 1| = 1
|𝑥 2 + 5𝑥 + 6| = 2
9) Сумму рациональных корней
10) Нерациональный корень уравнения
уравнения
|𝑥 2 + 𝑥 − 3| = 𝑥
|𝑥 2 − 𝑥 − 5| = 1
10. Найдите сумму целых корней уравнения:
1) |(𝑥 − 7)(𝑥 2 + 6𝑥 + 8)| = |𝑥 − 7|(−𝑥 2 − 6𝑥 − 8)
2) |(𝑥 + 9)(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)| = |𝑥 + 9|(−𝑥 2 + 4𝑥 − 3)
3) |(𝑥 + 10)(𝑥 2 − 10𝑥 + 24)| = |𝑥 + 10|(−𝑥 2 + 10𝑥 − 24)
4) |(𝑥 − 8)(𝑥 2 + 4𝑥 + 3)| = |𝑥 − 8|(−𝑥 2 − 4𝑥 − 3)
5) |(𝑥 + 9)(𝑥 2 − 8𝑥 + 15)| = |𝑥 + 9|(−𝑥 2 + 8𝑥 − 15)
6) |(𝑥 − 11)(𝑥 2 + 8𝑥 + 15)| = |𝑥 − 11|(−𝑥 2 − 8𝑥 − 15)
7) |(𝑥 − 6)(𝑥 2 + 5𝑥 + 4)| = |𝑥 − 6|(−𝑥 2 − 5𝑥 − 4)
8) |(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 5𝑥 + 4)| = |𝑥 + 2|(−𝑥 2 + 5𝑥 − 4)
9) |(𝑥 − 8)(𝑥 2 + 10𝑥 + 24)| = |𝑥 − 8|(−𝑥 2 − 10𝑥 − 24)
10) |(𝑥 − 6)(𝑥 2 − 60𝑥 + 8)| = |𝑥 − 6|(−𝑥 2 + 6𝑥 − 8)
Дополнительные задания
1. Решите уравнение:
1) |𝑥 2 − 9| = 5
2) |𝑥 + 3| = |2𝑥 2 + 𝑥 − 5|
3) |𝑥 2 + 𝑥| = |3𝑥 + 3|
4) |2𝑥 2 + 𝑥 − 3| + 𝑥 = 1
5) 𝑥 2 + |𝑥 − 2| − 10 = 0
6) |𝑥 2 − 𝑥| = |2𝑥 − 2|
7) 𝑥 2 + 3|𝑥| − 18 = 0
8) |𝑥 2 + 𝑥| + 3𝑥 − 5 = 0
9) |𝑥 2 − 4𝑥| = 5
10) |𝑥 2 − 1| = |𝑥 2 − 𝑥 + 1|
2. При каких значениях параметра а уравнение…
1) 𝑥 + 2 = 𝑎|𝑥 − 1| имеет единственное решение?
2) 𝑥 + 1 = 𝑎|𝑥 − 3| имеет единственное решение?
3) 𝑥 + 2 = 𝑎|𝑥 − 2| имеет единственное решение?
4) 𝑥 = 𝑎|𝑥 − 5| имеет единственное решение?
5) |2𝑥 2 − 6𝑥 + 1| = 𝑎 имеет три решения?
6) 𝑥 2 − 7|𝑥| + 10 = 𝑎 имеет три различных действительных корня?
7) |𝑥 2 − 5|𝑥|+6| = 𝑎2 − 𝑎 − 2 имеет четыре корня?
8) |𝑥 2 + 𝑎𝑥| = 2𝑎 имеет три различных действительных корня?
9) 𝑥 2 − 10|𝑥| + 21 = 𝑎 имеет три различных действительных корня?
10) |3𝑥 2 − 8|𝑥|−3| = 𝑎2 − 2𝑎 имеет шесть корней?