Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений в
частных производных
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
В.н.с., д.ф.-м.н.
М.И. Белишев
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
-
Целью преподавания данной дисциплины является углубление знаний учащихся в
области теории дифференциальных уравнений в частных производных. В курсе
уделяется внимание развитию навыков качественного анализа решений уравнений
и систем уравнений, изучаемых в математической физике.
-
Задачей освоения дисциплины является изучение вопросов применения теории
дифференциальных уравнений в частных производных и спектральной теории к
различным задачам математической физики, таким как: краевые задачи для
эллиптических уравнений второго порядка, начально-краевые задачи для
волнового уравнения, системы Максвелла, уравнений акустики и уравнений теории
упругости.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных
уравнений в частных производных»
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы математической теории рассеяния в
теоретико-прикладных задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений в
частных производных» и её вклад в формирование результатов обучения (компетенций)
слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач;
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины;
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
функционального анализа, теории обобщенных функций и дифференциальных уравнений
с частными производными. Дисциплина «Дополнительные главы теории
дифференциальных уравнений в частных производных» дает аспирантам широкий обзор
методов анализа разрешимости и решений различных уравнений, характерных в
математической физике, позволяя критически анализировать подходы к решению близких
новых задач.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Трудоемкость по курсам
3 курс.
ач/сем
Лекции (Л)
18
Практические занятия (ПЗ)
18
Самостоятельная работа (СР)
36
Экзамен (Э)
1
Общая трудоемкость освоения дисциплины в академических часах, ач
Виды учебной работы
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Эллиптическое уравнение второго порядка.
2 Волновое уравнение.
3 Асимптотические свойства решений волнового
уравнения.
4 Линейные уравнения акустики.
5 Система Максвелла.
6 Уравнение Шредингера.
7 Уравнения теории упругости.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч.
Итого, ач
18
18
36
1
72
Л, ач
2
2
2
ПЗ, ач
2
2
2
СР, ач
4
4
4
3
3
3
3
18
3
3
3
3
18
72
6
6
6
6
36
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Эллиптическое уравнение второго
порядка.
Спектр оператора Лапласа в ограниченной
и внешней областях с различными
краевыми условиями. Внутренняя и
внешняя краевая задача. Свойство
единственности продолжения.
Волновое уравнение.
Слабые решения волнового уравнения:
существование и единственность.
Обобщенные решения. Фундаментальное
решение и принцип Гюйгенса.
Асимптотические свойства решений
волнового уравнения.
Поведение решений в ограниченной и
внешней области при больших временах.
Волновые операторы.
Линейные уравнения акустики.
Оператор акустики, его спектр в случае
ограниченной области. Существование и
единственность решений начально-краевой
задачи. Уравнения акустики в
пространстве без источников.
Система Максвелла.
Оператор Максвелла, его спектр в случае
ограниченной области. Неравенство
Гафни. Существование и единственность
решений нестационарной системы
Максвелла.
Уравнение Шредингера.
Спектр оператора Шредингера с медленно
убывающим потенциалом.
Нестационарное уравнение Шредингера в
пространстве, фундаментальное решение.
Волновые операторы.
Уравнения теории упругости.
Тензоры деформации и напряжений,
тензор модулей упругости. Закон Гука.
Слабые решения начально-краевой задачи:
существование и единственность.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
зачета. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии, такие
как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций
«Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений в частных производных»
базируется на знаниях, приобретенных слушателями на предыдущих этапах обучения, в
частности функционального анализа и уравнений математической физики.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные
главы теории дифференциальных уравнений в частных производных» является
приобретение им знания:
- Об обобщенных решениях и их роли в исследовании разрешимости различных
уравнений математической физики.
- О спектральных и асимптотических свойствах различных уравнений
математической физики.
- О качественном различии свойств решений различных уравнений математической
физики.
- Умение применять освоенные методы для решения уравнений за рамками курса.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы
теории дифференциальных уравнений в частных производных» является посещение
лекций и успешная сдача зачета для приобретения дополнительных знаний, полезных для
успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.03 Математическая
физика и выполнения квалификационной работы и последующей защиты кандидатской
диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. R. Leis, Initial Boundary Value Problems in Mathematical Physics, B. G. Teubner
Gmbh, 1986.
2. Смирнов В.И., Курс высшей математики, т. 4, ч. 2, М.: Наука, 1981.
Дополнительная литература
1. Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными, т.2. М.: Мир, 1986.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория математических проблем геофизики ПОМИ РАН, оснащенная
необходимой техникой, оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: admin@pdmi.ras.ru
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений в
частных производных
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Математическая физика
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
-
Целью преподавания данной дисциплины является углубление знаний учащихся в
области теории дифференциальных уравнений в частных производных. В курсе
уделяется внимание развитию навыков качественного анализа решений уравнений
и систем уравнений, изучаемых в математической физике.
-
Задачей освоения дисциплины является изучение вопросов применения теории
дифференциальных уравнений в частных производных и спектральной теории к
различным задачам математической физики, таким как: краевые задачи для
эллиптических уравнений второго порядка, начально-краевые задачи для
волнового уравнения, системы Максвелла, уравнений акустики и уравнений теории
упругости.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных
уравнений в частных производных»
Код
ПК-2
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
Готовность применять методы математической теории рассеяния в
теоретико-прикладных задачах математики и механики.
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений в
частных производных» и её вклад в формирование результатов обучения (компетенций)
слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать методы для
решения теоретических задач;
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе дисциплины;
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Дополнительные
главы теории дифференциальных уравнений в частных производных» является
приобретение им знания:
- Об обобщенных решениях и их роли в исследовании разрешимости различных
уравнений математической физики.
- О спектральных и асимптотических свойствах различных уравнений
математической физики.
- О качественном различии свойств решений различных уравнений математической
физики.
- Умение применять освоенные методы для решения уравнений за рамками курса.
-
Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Аттестация производится в форме экзамена.
Тесты:
1. Это уравнение не является эллиптическим:
a. Уранвение Лапласа.
b. Уравнение Пуассона.
c. Уравнение Стокса.
d. Волновое уравнение.
2. Оператор Лапласа равен
a. Дивергенции градиента.
b. Градиенту дивергенции.
c. Дивергенции ротора.
d. Ротору градиента.
3. Решение уравнения Лапласа называется:
a. Функция Грина.
b. Мелодическая функция.
c. Гармоническая функция.
d. Волновая функция.
4. Волновое уравнение является:
a. Эллиптическим.
b. Параболическим.
c. Гиперболическим.
d. Сферическим.
5. Волновое уравнение описывает колебания
a. Струны.
b. Мембраны.
c. Стержня.
d. Пластины.
e. Всего вышеперечисленного.
6. Решение волнового уравнения в двумерном пространстве называется формулой
a. Кирхгофа.
b. Пуассона.
c. Д’Аламбера.
d. Остроградского.
7. Фундаментальное решение иначе называется
a. Функция Эйлера.
b. Функция Грина.
c. Функция Гаусса.
d. Гармоническая функция.
8. Результатом применения оператора к функции Грина является
a. Функция Хевисайда.
b. Единица.
c. Дельта-функция Дирака.
d. Ноль.
9. Решение этой задачи для уравнения Лапласа не является единственным:
a. Внутренняя задача Дирихле.
b. Внешняя задача Дирихле.
c. Внутренняя задача Неймана.
d. Внешняя задача Неймана.
10. Следующее не является вариантом граничных условий:
a. Условия Дирихле.
b. Условия Неймана.
c. Условия Робена.
d. Смешанные условия.
e. Все перечисленное является вариантом граничных условий.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Дополнительные главы
теории дифференциальных уравнений в частных производных» является посещение
лекций, практических занятий, самостоятельная работа и успешная сдача экзамена для
приобретения дополнительных знаний, полезных для успешной сдачи кандидатского
экзамена по специальности 01.01.03 Математическая физика и выполнения
квалификационной работы и последующей защиты кандидатской диссертации.